大自然中的分形現(xiàn)象——大樹

1、大自然中的分形現(xiàn)象大樹、問題敘述:1967年，一篇題為英國的海岸線究竟有多長？的論文出現(xiàn)在美國的科學(xué)雜志上，此論文對海岸線本質(zhì)有獨(dú)特的闡述，甚至震驚了當(dāng)時的學(xué)術(shù)界。與此同時，此論文也成了作者M(jìn)andelbrot思想的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。分形理論也從此迅速發(fā)展起來，而Mandelbrot也成了分形理論的奠基人。翻開過去的歷史，不由的要懷疑分形的誕生和研究海岸線的長度為什么能夠聯(lián)系在一起。而大自然中最常見的分形現(xiàn)象就是一一大樹！粗略的看大樹，發(fā)現(xiàn)樹的每一個分支和整棵樹的形狀是相似的，將主樹干加上幾根枝條，再對枝條趨于無限地加枝條，就得到了一棵完整的樹。聯(lián)系 Mandelbrot提出的分形的定義：如果一個圖形的

2、部分以某種方式與其整體數(shù)學(xué)樹”，和真實的樹相比較，得出本身相似，這個圖形就稱為分形。然后我們就通過繪出大自然中最常見的分形現(xiàn)象。二、問題分析：為了研究方便，我們將樹的結(jié)構(gòu)盡可能簡化，使他成為一個十分簡單的數(shù)學(xué)模型：設(shè)圖形T。為一條單位長直線段，將其二等分，在中點(diǎn)上各向兩邊30角的方向1延伸出兩條 Lo長的線段得到圖形 Ti。將Tn的每段做3同樣的變換，得到 Tn 1。當(dāng)n趨向于無窮大時得到一棵數(shù)學(xué)樹”（見右圖1）。但是這棵數(shù)學(xué)樹”太簡單了，如果繪出來的話就不像一棵樹，而像一個掃帚。為了能夠得到更真實的樹，我們不妨再給出一個稍微復(fù)雜的樹模型：設(shè)圖形To為一條1單位長直線段，在第一個三等分點(diǎn)上各向

3、兩邊45角的方向延伸出兩條 Lo長的線段，在211中點(diǎn)處向左以30延伸出一L0長的線段，再在第二個三等分點(diǎn)處向右方以30延伸出- L023的線段。得到圖形 T1。將Tn的每5個分支做同樣的變換，得到 Tn1 （見下圖2）。圖2三、實驗程序：hold onaxis(-0.5,0.5,0,1)z10=0;z50=i;z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3;plot(real(z10,z50),imag(z10,z50)con vert1=0.75*exp(i*pi/4);co nvert2=0.75*exp(-i*

4、pi/4);con vert3=exp(i*pi/6);c on vert4=exp(-i*pi/4);A=z10,z50;n=5;N=0;for k=0:( n-1)N=N+5Ak;endfor k=1:Nz10=A(k,1);z50=A(k,2);z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3;z5(1)=z20+(z50-z20)*co nvertl;z1(1)=z20;plot(real(z1(1),z5(1),imag(z1(1),z5(1)z5(2)=z20+(z50-z20)*co nvert2;z1(2

5、)=z20;plot(real(z1 (2),z5 (2),imag(z1 (2),z5 (2)z5(3)=z30+(z50-z30)*co nvert3;z1( 3)=z30;plot(real(z1 (3),z5 (3),imag(z1 (3),z5 (3)z5(4)=z40+(z50-z40)*co nvert4;z1(4)=z40;plot(real(z1 (4) ,z5 (4) ),imag(z1 (4) ,z5 (4)z5(5)=z50;z1(5)=z40;A(5*k-3,:)=z1(1),z5(1);A(5*k-2,:)=z1 (2),z5 (2);A(5*k-1,:)=z1(3

6、),z5(3);A(5*k,:)=z1(4),z5(4);A(5*k+1,:)=z1(5),z5(5);end四、實驗數(shù)據(jù)結(jié)果及分析：數(shù)學(xué)樹”迭代次數(shù)為n,此時我們令n分別為1、3和5,下面三幅圖分別為對應(yīng)迭代圖。510. 90. 8,0. 7,0. 6,0. 50. 40. 30. 20. 10IlliIlli-0. 5 -0. 4 -0. 3 -0.2 -0. 100.10. 20. 30.40. 5迭代一次10.90.80.70.60.50.40.30.20.1IIIIIIIII-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5迭代五次五、實驗結(jié)論從上面的實驗結(jié)果可知，數(shù)學(xué)樹”和真實的大樹相比（下面兩幅圖），可知大樹背后就隱藏著這類具有自相似層次結(jié)構(gòu)的分形幾何原理。0.90.80.70.60.50.40.30.20.10:綜上所述，在我們生活中