高考第一輪復習數(shù)學：5.3 兩點間距離公式、線段的定比分點與圖形的平移

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.55.3 兩點間距離公式、線段的定比分點與圖形的平移知識梳理1.設a（x1，y1），b（x2，y2），則=（x2x1，y2y1）.|=.2.線段的定比分點是研究共線的三點p1，p，p2坐標間的關系.應注意：（1）點p是不同于p1，p2的直線p1p2上的點；（2）實數(shù)是p分有向線段所成的比，即p1p，pp2的順序，不能搞錯；（3）定比分點的坐標公式（1）.3.點的平移公式描述的是平移前、后點的坐標與平移向量坐標三者之間的關系，特別提示1.定比分點的定義：點p為所成的比為，用數(shù)學符號表達即為=.當0時，p為內(nèi)分點；0時，p為外分點.2.定比分點的向量表達式：p點分成

2、的比為，則=+（o為平面內(nèi)任一點）.3.定比分點的應用：利用定比分點可證共線問題.點擊雙基1.（2004年東北三校聯(lián)考題）若將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量a平移，使圖象上點的坐標由（1，0）變?yōu)椋?，2），則平移后的圖象的解析式為a.y=f（x+1）2b.y=f（x1）2c.y=f（x1）+2d.y=f（x+1）+2解析：由平移公式得a=（1，2），則平移后的圖象的解析式為y=f（x1）+2.答案：c2.（2004年湖北八校第二次聯(lián)考）將拋物線y2=4x沿向量a平移得到拋物線y24y=4x，則向量a為a.（1，2）b.（1，2）c.（4，2）d.（4，2）解析：設a=（h，k），由平移公式得代

3、入y2=4x得（k）2=4（h），22k=44hk2，即y22ky=4x4hk2，k=2，h=1.a=（1，2）.答案：a思考討論本題不用平移公式代入配方可以嗎?提示：由y24y=4x，配方得（y2）2=4（x+1），h=1，k=2.（知道為什么嗎?）3.設a、b、c三點共線，且它們的縱坐標分別為2、5、10，則a點分所得的比為a.b.c.d.解析：設a點分所得的比為，則由2=，得=.答案：c4.若點p分所成的比是（0），則點a分所成的比是_.解析：=，=（+）.（1+）=.=.=.答案：5.（理）若abc的三邊的中點坐標為（2，1）、（3，4）、（1，1），則abc的重心坐標為_.解析：設a

4、（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），則 重心坐標為（，）.答案：（，）（文）已知點m1（6，2）和m2（1，7），直線y=mx7與線段m1m2的交點m分有向線段的比為32，則m的值為_.解析：設m（x，y），則x=3，y=5，即m（3，5），代入y=mx7得5=3m7，m=4.答案：4典例剖析【例1】 已知點a（1，6）和b（3，0），在直線ab上求一點p，使|=|.剖析：|=|，則=或=.設出p（x，y），向量轉化為坐標運算即可.解：設p的坐標為（x，y），若=，則由（x+1，y6）=（4，6），得解得此時p點坐標為（，4）.若=，則由（x+1，y6）=（4，6）得解得p（，

5、8）.綜上所述，p（，4）或（，8）.深化拓展本題亦可轉化為定比分點處理.由=，得=，則p為的定比分點，=，代入公式即可；若=，則=，則p為的定比分點，=.由兩種方法比較不難得出向量的運算轉化為坐標運算，是解決向量問題的一般方法.【例2】 已知abc的三個頂點坐標分別是a（4，1），b（3，4），c（1，2），bd是abc的平分線，求點d的坐標及bd的長.剖析：a、c兩點坐標為已知，要求點d的坐標，只要能求出d分所成的比即可.解：|bc|=2，|ab|=，d分所成的比=.由定比分點坐標公式，得d點坐標為（95，）.|bd|=.評述：本題給出了三點坐標，因此三邊長度易知，由角平分線的性質(zhì)通過定比

6、分點可解出d點坐標，適當利用平面幾何知識，可以使有些問題得以簡化.深化拓展本題也可用如下解法：設d（x，y），bd是abc的平分線，=，.，即=.又=（1，3），=（x3，y4），=（4，2），=.（4+）x+（23）y+920=0.又a、d、c三點共線，共線.又=（x4，y1），=（x+1，y2），（x4）（y2）=（x+1）（y1）.由可解得d點坐標為（95，），|bd|=.思考討論若bd是ac邊上的高，或bd把abc分成面積相等的兩部分，本題又如何求解?請讀者思考.【例3】 已知在abcd中，點a（1，1），b（2，3），cd的中點為e（4，1），將abcd按向量a平移，使c點移到原點o

7、.（1）求向量a；（2）求平移后的平行四邊形的四個頂點的坐標.解：（1）由abcd可得=，設c（x3，y3），d（x4，y4），則又cd的中點為e（4，1），則由得即c（，2），d（，0）.a=（，2）.（2）由平移公式得a（，1），b（，1），c（0，0），d（1，2）.闖關訓練夯實基礎1.（2004年福州質(zhì)量檢查題）將函數(shù)y=sinx按向量a=（，3）平移后的函數(shù)解析式為a.y=sin（x）+3b.y=sin（x）3c.y=sin（x+）+3d.y=sin（x+）3解析：由得3=sin（+）.=sin（+）+3，即y=sin（x+）+3.答案：c2.（2003年河南調(diào)研題）將函數(shù)y=2si

8、n2x的圖象按向量a平移，得到函數(shù)y=2sin（2x+）+1的圖象，則a等于a.（，1）b.（，1）c.（，1）d.（，1）解析：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，a=（，1）.答案：b3.（2004年東城區(qū)模擬題）已知點p是拋物線y=2x2+1上的動點，定點a（0，1），若點m分所成的比為2，則點m的軌跡方程是_，它的焦點坐標是_.解析：設p（x0，y0），m（x，y）.代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=y+=（y+），p=，焦點坐標為（0，）.答案：x2=（y+） （0，）4.把函數(shù)y=2x24x+5的圖象按向量a平移后，得

9、到y(tǒng)=2x2的圖象，且ab，c=（1，1），b·c=4，則b=_.解析：a=（0，0）（1，3）=（1，3）.設b=（x，y），由題意得則b=（3，1）.答案：（3，1）5.已知向量=（3，1），=（1，2），.試求滿足+=的的坐標.解：設=（x，y），則=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），=（x+3，y+1）（1，2）=（x+4，y1），則所以=（11，6）.6.已知a（2，3），b（1，5），且滿足=，=3，=，求c、d、e的坐標.解：用向量相等或定比分點坐標公式均可，讀者可自行求解.c（1，），d（7，9），e（，）.培養(yǎng)能力7.（2004年福建，17）設函數(shù)f（x）

10、=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），xr.（1）若f（x）=1，且x，求x；（2）若y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）（|m|）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求實數(shù)m、n的值.解：（1）依題設f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由1+2sin（2x+）=1，得sin（2x+）=.|x|，2x+.2x+=，即x=.（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（xm）+n的圖象，即y=f（x）的圖象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.又|m|，m=，n=1.8.有點難度喲！（

11、2004年廣州綜合測試）已知曲線x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線c.（1）求曲線c的方程；（2）過點d（0，2）的直線與曲線c相交于不同的兩點m、n，且m在d、n之間，設=，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）原曲線即為（x+2）2+2（y+1）2=2，則平移后的曲線c為x2+2y2=2，即+y2=1.（2）設m（x1，y1），n（x2，y2），則由于點m、n在橢圓x2+2y2=2上，則即消去x22得，22+8y2+8=22+4+2，即y2=.1y21，11.又0，故解得.故的取值范圍為，+）.思考討論本題若設出直線l的方程y=kx+2，然后與x2+2y2=2聯(lián)立，利

12、用韋達定理能求解嗎?（不要忘記討論斜率不存在的情況）讀者可嘗試一下.探究創(chuàng)新9.甲船由a島出發(fā)向北偏東45°的方向做勻速直線航行，速度為15 n mile/h，在甲船從a島出發(fā)的同時，乙船從a島正南40 n mile處的b島出發(fā)，朝北偏東（=arctan）的方向作勻速直線航行，速度為10 n mile/h.（如下圖所示）（1）求出發(fā)后3 h兩船相距多少海里?（2）求兩船出發(fā)后多長時間相距最近?最近距離為多少海里?解：以a為原點，ba所在直線為y軸建立如下圖所示的坐標系.設在t時刻甲、乙兩船分別在p（x1，y1），q（x2，y2），則由=arctan，可得cos=，sin=，x2=10

13、tsin=10t，y2=10tcos40=20t40.（1）令t=3，p、q兩點的坐標分別為（45，45），（30，20）.|pq|=5，即兩船出發(fā)后3 h時，兩船相距5 n mile.（2）由（1）的解法過程易知|pq|=20.當且僅當t=4時，|pq|的最小值為20，即兩船出發(fā)4 h時，相距20 n mile為兩船最近距離.思悟小結1.理解線段的定比分點公式時應注意以下問題：（1）弄清起點、分點、終點，并由此決定定比；（2）在計算點分有向線段所成比時，首先要確定是內(nèi)分點，還是外分點，然后相應地把數(shù)量之比轉化為長度之比.也可直接由定義=獲解.2.線段的定比分點的坐標表示，強化了坐標運算的應用

14、，確定的值是公式應用的關鍵.3.關于平面圖形的平移，主要確定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特別注意分清新舊函數(shù)解析式.4.配湊法、待定系數(shù)法、對應點代入法是確定平移向量的重要方法.教師下載中心教學點睛1.線段的定比分點公式=，該式中已知p1、p2及可求分點p的坐標，并且還要注意公式的變式在p1、p2、p、中知三可求第四個量.2.定比分點坐標公式要用活不要死記.可設出坐標利用向量相等列方程組.該解法充分體現(xiàn)了向量（形）與數(shù)之間的轉化具有一般性.3.平移前后坐標之間的關系極易出錯，要引導學生弄清知識的形成過程不要死記硬背.拓展題例【例1】 （2004年豫南三市聯(lián)考）已知f（a，b）=sin2

15、2a+cos22bsin2acos2b+2.（1）設abc的三內(nèi)角為a、b、c，求f（a，b）取得最小值時，c的值；（2）當a+b=且a、br時，y=f（a，b）的圖象按向量p平移后得到函數(shù)y=2cos2a的圖象，求滿足上述條件的一個向量p.解：（1）f（a，b）=（sin2a）2+（cos2b）2+1，由題意得c=或c=.（2）a+b=，2b=2a，cos2b=cos2a.f（a，b）=cos2asin2a+3=2cos（2a+）+3=2cos2（a+）+3.從而p=（，3）（只要寫出一個符合條件的向量p即可）.【例2】 設曲線c的方程是y=x3x，將c沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長度后，得到曲線c1.（1）寫出曲線c1的方程；（2）證明：曲線c與c1關于點a（，）對稱.（1）解：c1：ys=（st）3（xt）.（2）分析：要證明曲線c1與c關于點a（，）對稱，只需證明曲線c1上