七年級(jí)（數(shù)學(xué)）專題 18簡(jiǎn)單的不定方程、方程組 專項(xiàng)講練-附歷年真題及解析答案

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理專題18 簡(jiǎn)單的不定方程、方程組閱讀與思考 如果方程(組)中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，那么解往往有無(wú)窮多個(gè)，不能唯一確定，這樣的方程(組)稱為不定方程(組) 對(duì)于不定方程(組)，我們常常限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解加上這類(lèi)限制后，解可能唯一確定，或只有有限個(gè)，或無(wú)解這類(lèi)問(wèn)題有以下兩種基本類(lèi)型： 1判定不定方程(組)有無(wú)整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)； 2如果不定方程(組)有整數(shù)解，求出其全部整數(shù)解 二元一次不定方程是最簡(jiǎn)單的不定方程，一些不定方程(組)常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求其整數(shù)解 解不定方程(組)，沒(méi)有固定的方法可循，需具體問(wèn)題具體分析，經(jīng)常用到整數(shù)的整除、奇數(shù)偶數(shù)、因數(shù)分

2、解、不等式分析、窮舉、分離整數(shù)、配方等知識(shí)與方法根據(jù)方程(組)的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)變形，并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)與方法是解不定方程(組)的基本思路例題與求解【例1】滿足 (01 998)的整數(shù)對(duì)(，)共有_對(duì) (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 解題思路：由方程特點(diǎn)，聯(lián)想到平方差公式，利用因數(shù)分解來(lái)解答【例2】電影票有10元，15元，20元三種票價(jià)，班長(zhǎng)用500元買(mǎi)了30張電影票，其中票價(jià)為20元的比票價(jià)為10元的多( ) A20張 B15張 C10張 D5張 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 解題思路：設(shè)購(gòu)買(mǎi)10元，15元，20元的電影票分別為，張根據(jù)題意列方程組，整體求出的值 【例3】某人家中的電話號(hào)碼是八位數(shù)，將前四

3、位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得14 405，將前三位數(shù)組成的數(shù)與后五位數(shù)組成的數(shù)相加得16 970，求此人家中的電話號(hào)碼 (湖北省武漢市競(jìng)賽試題) 解題思路：探索可否將條件用一個(gè)式子表示，從問(wèn)題轉(zhuǎn)換入手 【例4】一個(gè)盒子里裝有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最終盒內(nèi)都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子? (重慶市競(jìng)賽試題) 解題思路：無(wú)論怎樣取，盒子里的棋子數(shù)不變。恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解【例5】 甲組同學(xué)每人有28個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有30個(gè)核桃，丙組同學(xué)每人有31個(gè)核桃，三組的核桃總數(shù)是365個(gè)問(wèn)：三

4、個(gè)小組共有多少名同學(xué)? (海峽兩岸友誼賽試題)解題思路：根據(jù)題意，列出三元一次不定方程，從運(yùn)用放縮法求取值范圍入手【例6】某中學(xué)全體師生租乘同類(lèi)型客車(chē)若干輛外出春游，如果每輛車(chē)坐22人，就會(huì)余下1人；如果開(kāi)走一輛空車(chē)，那么所有師生剛好平均分乘余下的汽車(chē)問(wèn)：原先租多少輛客車(chē)和學(xué)校師生共多少人?(已知每輛車(chē)的容量不多于32人) 解題思路：設(shè)原先租客車(chē)輛，開(kāi)走一輛空車(chē)后，每輛車(chē)乘坐人，根據(jù)題意列出方程求解，注意排除不符合題設(shè)條件的解能力訓(xùn)練A級(jí)1若，則_2已知， (0)，則的值等于_31998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字和，那么他的年齡是_歲 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)4已知，為整數(shù)，且，

5、若，則的最大值為_(kāi) (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)5，都是質(zhì)數(shù)，則方程共有( )A1組解 B2組解 C3組解 D4組解(北京市競(jìng)賽試題)6如圖，在高速公路上從3千米處開(kāi)始，每隔4千米設(shè)一個(gè)速度限制標(biāo)志，而且從10千米處開(kāi)始每隔9千米設(shè)一個(gè)測(cè)速照相標(biāo)志，則剛好在19千米處同時(shí)設(shè)置這兩種標(biāo)志，問(wèn)下一個(gè)同時(shí)設(shè)置這兩種標(biāo)志的地點(diǎn)的千米數(shù)是( ) A32千米 B37千米 C55千米 D90千米7給出下列判斷：不定方程的整數(shù)解可表示為 (為整數(shù))不定方程無(wú)整數(shù)解不定方程無(wú)整數(shù)解其中正確的判斷是( )A B C D8小英在郵局買(mǎi)了10元的郵票，其中面值0.10元的郵票不少于2枚，面值O.20元的郵票不少于5枚，面

6、值0.50元的郵票不少于3枚，面值2元的郵票不少于1枚，則小英最少買(mǎi)了( )枚郵票 A17 B18 C19 D20 (“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)9小孩將玻璃彈子裝進(jìn)兩種盒子，每個(gè)大盒子裝12顆，每個(gè)小盒子裝5顆，若彈子共有99顆，所用大小盒子多于10個(gè)，問(wèn)這兩種盒子各有多少個(gè)?10中國(guó)百雞問(wèn)題：雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一，百錢(qián)買(mǎi)百雞問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何?(出自中國(guó)數(shù)學(xué)家張丘建的著作算經(jīng))11已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬都是整數(shù)，且周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等，求長(zhǎng)方形的面積 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)12已知是滿足的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解問(wèn)：這樣的整數(shù)有多少個(gè)？（“華羅庚金杯”競(jìng)賽

7、試題）B級(jí)1如果，滿足，那么_ (“祖沖之杯”邀請(qǐng)?jiān)囶})2已知，為正偶數(shù)，且，則_3一個(gè)四位數(shù)與它的四個(gè)數(shù)字之和等于1 991這個(gè)四位數(shù)是_ (重慶市競(jìng)賽試題)4城市數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽共設(shè)金、銀、銅三種獎(jiǎng)牌，組委會(huì)把這些獎(jiǎng)牌分別裝在五個(gè)盒中，每個(gè)盒中只裝一種獎(jiǎng)牌每個(gè)盒中裝獎(jiǎng)牌枚數(shù)依次是3，6，9，14，18現(xiàn)在知道其中銀牌只有一盒，而且銅牌枚數(shù)是金牌枚數(shù)的2倍則有金牌_枚，銀牌_枚，銅牌_枚5若正整數(shù)，滿足，則這樣的正整數(shù)對(duì)(，)的個(gè)數(shù)是( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6有甲、乙、丙3種商品，單價(jià)均為整數(shù)，某人若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若購(gòu)甲4件、乙10件、丙l件共需33元，則此人購(gòu)甲

8、、乙、丙各1件共需( )元A6元 B8元 C9元 D10元7在方程組中，是不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的組數(shù)為( ) A6 B3 C多于6 D少于3 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)8一個(gè)兩位數(shù)中間插入一個(gè)一位數(shù)(包括0)，就變成一個(gè)三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)一位數(shù)后變成的三位數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)的9倍，這樣的兩位數(shù)有( )個(gè) A1 B4 C10 D超過(guò)109李林在銀行兌換了一張面額為l00元以內(nèi)的人民幣支票，兌換員不小心將支票上的元與角、分?jǐn)?shù)字看倒置了(例如，把1234元看成了3412元)，并按著錯(cuò)的數(shù)字支付，李林將其款花去350元之后，發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍，于是急忙到銀行將多領(lǐng)的款額退回，

9、問(wèn)：李林應(yīng)退回的款額是多少元? (“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)10某人乘坐的車(chē)在公路上勻速行駛，從他看到的某個(gè)里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)時(shí)起，一小時(shí)后他看到的里程碑上的數(shù)恰好是第一次看到的數(shù)顛倒了順序的兩位數(shù)，再過(guò)一小時(shí)。他看到的里程碑上的數(shù)又恰好是第一次看到的兩位數(shù)之間添上一個(gè)零的三位數(shù)，問(wèn)這三塊里程碑上的數(shù)各是多少? (“勤奮杯”競(jìng)賽試題)11已知四位數(shù)滿足，求這樣的四位數(shù) (“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)12求方程的正整數(shù)解 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)專題18 簡(jiǎn)單的不定方程、方程組例1 3 提示：(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47，(n-m)與

10、(n+m)奇偶性相同，對(duì)3995的任一正整數(shù)分解均可得到一個(gè) (m，n).例2 C 設(shè)購(gòu)買(mǎi)10元，15元，20元的電影票分別為x，y，z張.則，-×15得5( z-x)=50，解得z-x=10.例3設(shè)此8位數(shù)為，將記為x，記為y，記為z. x，y，z均為自然數(shù).即電話號(hào)碼是100 000 x+10 000 y +z，且100x999，0y9，1000z9999，則，得1111 y x=285，由100x999，y0，得，故電話號(hào)碼是82616144.例4提示：設(shè)盒子里共有x(x200)粒棋子，則12a-1=11b=x(a、b為正整數(shù))，解得a=10，b=11，x=121.例5設(shè)甲組學(xué)

11、生a人，乙組學(xué)生b人，丙組學(xué)生c人，由題意得28a+30b+31c=365.因28（a+b+c）28a+30b+31c=365.得a+b+c13.04，所以a+b+c13.因31（a+b+c）28a+30b+31c=365. 得a+b+c11.7，所以a+b+c12因此a+b+c=12或13.當(dāng) a+b+c=13 時(shí)，得2b+3c=1，此方程無(wú)正整數(shù)解；當(dāng) a+b+c=12 時(shí)，符合題意.例6設(shè)原先租客車(chē)x輛，開(kāi)走一輛空車(chē)后，每輛車(chē)乘坐k人，顯然x2，23k32.依題意有：22x+1=k(x-1).則.因?yàn)閗為自然數(shù)，所以必是自然數(shù)，但23是質(zhì)數(shù)，因數(shù)只有1和23，且x2，x-1=1或x-1=

12、23.如果x-1=1，則x=2，k=45，不符合k32的題設(shè)條件. 如果x-1=23，則x=24，k=23，符合題意.這時(shí)旅客人數(shù)等于k(x-1)=23×23=529人.A級(jí)1. . 2.13. 18 提示：設(shè)某人出生于，則，即11x+2y=88，解得.4. 5013 提示：由題中條件得a+b+c=a+4011，又因?yàn)閍+b=2006，ab.故2a2006，a1003.又因?yàn)閍為正整數(shù)，故a的最大值為1002，于是a+b+c的最大值為5013.5. B6. C 設(shè)置限速標(biāo)志、照相標(biāo)志的千米數(shù)分別表示為3+4x，10+9y（x、y為自然數(shù)），將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求不定方程3+4x=10+9y的

13、正整數(shù)解，則，4（y+3），為所求的解.7. A 8.A 9.大小盒子分別為2個(gè)，15個(gè).10.設(shè)雞翁、雞母、雞雛數(shù)目分別為x、y、z.則有，消去z，得7x+4y=100，顯然（0，25）是方程的一個(gè)特解，所以方程的通解為（t為整數(shù)）.于是z=100-x-y=100+4t-25-7t=75-3t.由x、y、z0且t為整數(shù)得，解得，將t的值代入通解，得四組解為（x，y，z）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）（0，25，75）應(yīng)舍去11設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬高分別為x，y，則，或4或6，或4或3，故長(zhǎng)方形面積為18或1612由方程組得，當(dāng)（其中m，n是整數(shù)）時(shí)

14、，方程有整數(shù)解消去上面方程的k，得：，由得：（其中t為整數(shù)）將代入得，解不等式，得：，故有個(gè)的值使原方程組有整數(shù)解B級(jí)1144 提示：210 提示：31972 設(shè)這個(gè)四位數(shù)為，則，即，從而，又最大為99+18=117故，即，得，進(jìn)一步得，故這個(gè)四位數(shù)為1972412 14 24 提示：由題目中“通牌枚數(shù)是金牌枚數(shù)的2倍”得知金牌與銅牌數(shù)的和為3的倍數(shù)因?yàn)殂y牌只有一盒，所以銅牌數(shù)和金牌數(shù)的和應(yīng)為3，6，9，14，18中四個(gè)數(shù)的和因此銀牌數(shù)為14枚，金牌數(shù)為（3+6+9+18）=12枚，銅牌數(shù)為24枚5C 提示：6A7A 提示：有方程組得：8B 提示：設(shè)兩位數(shù)為10a+b，中間插入的一位數(shù)為m，則

15、9(10a+b)=100a+10m+b，10(a+m)=8b9原來(lái)支票的面額是14.32元，兌換員看錯(cuò)成了32.14元，應(yīng)退回32.14-14.32=17.82元10設(shè)第一次看到的兩位數(shù)為，則以后兩次看到的數(shù)分別為，由題意得，即，正理解的：x=1，y=6，故三塊里程碑上的數(shù)分別是16，61，10611當(dāng)，此時(shí)不存在滿足條件的四位數(shù)當(dāng)時(shí)，則于是，若，得：，即1131滿足條件；若，得，即1130滿足條件當(dāng)時(shí)，則，于是，若，得，無(wú)解；若或，得，無(wú)解當(dāng)時(shí)，則，于是，若，得，即1112滿足條件；若，得，即2011滿足條件；若，得，即2010滿足條件12由題中條件易知x，y，z都大于1不妨設(shè)，則，即，由此得或3