必修4平面向量(講義和練習(xí))

1、必修4第二章 平面向量一、知識綱要1、向量的相關(guān)概念：(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，記為 AB或a。向量又稱矢量。注意 向量和標(biāo)量的區(qū)別：向量既有大小又有方向；標(biāo)量只有大小，沒有方向。普通 的數(shù)量都是標(biāo)量，力是一種常見的向量。 向量常用有向線段來表示，但也不能說向量就是 有向線段，因為向量是自由的，可以平移；有向線段有固定的起點和終點，不能隨意移動。(2) 向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向線段的長度。記作：| AB|或丨a |。注意 向量本身不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。(3) 零 向 量：長度為0的向量叫零向量，記為0，零向量的方向是任意的。注

2、意 | a丨二0;0與0的區(qū)別：寫法的區(qū)別，意義的區(qū)別。(4) 單位向量：模長為1個單位長度的非零向量叫 單位向量。注意 若向量a是單位向量，則| a | =1。2、向量的表示：(1) 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如 AB，注意：方向是“起點指向終點”。(2) 符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如 a， b等；(3) 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量-_44_i、j為基底向量，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a = xi yj二x,y，稱x,y為向量a的 坐標(biāo)，a = x,y叫做向量a的坐標(biāo)表示。此時| a | =； x2 y2。T若已知A,

3、%)和B(X2,y2)，則AB= x?% y?-% ，即終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。特別的，如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)數(shù)值與向量的終點坐標(biāo)數(shù)值相同。3、向量之間的關(guān)系:（1）平行（共線）：對于兩個非零向量，若它們的方向相同或相反的，那么就稱這種關(guān)系為平行，記作a / b。換言之，方向相同或相反的兩個非零向量叫 平行向量（共線向量）。相互平行的兩個向量之間的夾角為 0度或180度，記為va, b> = 0 0或1800。由于向量可以進行任意的平移（所以向量又叫自由向量），所以平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。注意 數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要

4、素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”的含義，要理解好平行向量中的“平行” 與幾何中的“平行”是不一樣的。 規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問 題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。平行向量無傳遞性（因為有0）.（2）不平行：對于兩個非零向量a和b，如果平移后它們的夾角不是0度或180度，則 稱這兩個向量不平行。此時，它們夾角的范圍是 <a,b> （0,二）。特別的，當(dāng)<a,b> =二（即90°）時，稱為兩個向量 垂直，記為ab。24、由向量之間的關(guān)系引出的術(shù)語：（1） 同向向量：如果兩個向量方向相同（

5、即：共線并且夾角為0度），那么就稱這兩個 向量是同向向量。<a,b> = 0（2） 反向向量：如果兩個向量方向相反（即：共線并且夾角為180度），那么就稱這兩 個向量是反向向量。<a , b > =二注意:同向向量和反向向量都是共線向量。 并且只考慮方向，不研究模長的大小關(guān)系。（3）相等向量： 長度相等且方向相同的兩個向量叫 相等向量，記為a二b。注意:相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，是 同向向量的升級版。X1 = Xp 相等向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為：（x-yj =（x2,yp） uy = yp 若a二b，且b二c，則a二c。即向量相等具有傳遞性。(4) 相反向量：長度相等且方向

6、相反的兩個向量叫相反向量，a的相反向量記為一a ,AB的相反向量記為：一 AB或BA，零向量的相反向量仍是零向量。注意:相反向量是反向向量的升級版，要求方向相反，且大小相等，即|a| = | b|。 若a與b為相反向量，則a b =0 。X = -x2 相反向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為：(x2,y2)=丿川i 雙重取反必還原：-(-a)=a。5、向量的線性運算：(1) 向量加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。注意加法性質(zhì)： 0，a二a，0二a，任何向量與零向量的和都是任何向量； a+(-a)=(-a)+a=0，對相反向量的和一定為零向量；、+_ H 4 - 向量加法滿足交換律：a+b=b+a ;、+-

7、 4- -4 - 向量加法滿足結(jié)合律：(a +b ) +c=a + ( b +c);(2) 向量減法：求兩個向量差的運算叫做向量的加法。記作：a -b =a (-b)，即求兩個向量a與b的差，等于向量a加上b的相反向量。注意 a+( _a)=(_ a)+a =0 ;若a、b是互為相反向量，貝U a=-b,b = -a,a + b=0.小結(jié) 加減法的運算法則：(作圖)“三角形法則”“平行四邊形法則”說明向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：(1) 用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量

8、(2) 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：AB BCPQ QR AR，但這時必須“首尾相連”(3) 向量的數(shù)乘運算：實數(shù)與向量a的積是一個向量，所得的結(jié)果表示：在 a的方向(或a的相反方向) 取倍構(gòu)成一個新向量，記作 a。'a的長度與方向規(guī)定如下： 入司=|九 a ； 當(dāng)，0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)=0時， a = 0，方向是

9、任意的 數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律：先”丄 a " a = a 喘：、，(咒補丄)a a- a， (a b b6、向量的投影和數(shù)量積：(1) 兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為二，則a b= | a ) b | cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)規(guī)定0a=Oa b(2) 向量的投影：| b | cos"* R,稱為向量b在a方向上的投影|a|投影的絕對值稱為射影4 耳 44(3) 數(shù)量積的幾何意義：a b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積、向量的模與平方的關(guān)系：a h2 =ii2(5) 、乘法公式成立：a bia_b =：2一爲(wèi)2小；(a&#

10、177;b)=扌2 ±2扌 b+b2=±2才 b+矽(6) 平面向量數(shù)量積的運算律： 交換律成立：a 2二b a 對實數(shù)的結(jié)合律成立：a b = - a匕=a，b；一三r 分配律成立：a二b c=ac=bC=c，a=b特別注意:(1 )結(jié)合律不成立：a b c = a b c ；(2) 消去律不成立冒b二a C不能得到b =c (3) a b =0不能得至U a = 0或b =07、向量的坐標(biāo)運算:(1) 已知起點和終點的坐標(biāo)，求向量坐標(biāo)：已知A(Xi,yJ和B(X2,y2)，則AB= x?% y?-% ，即終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)(2) 已知向量的坐標(biāo)，求向量的模：已知 2

11、= ( x, y )，則 a = Jx2 + y2 ；2 2已知 A(xi,yi)和B(X2,y2)，則 AB= X2-X1, y2-yi ，此時,|AB|=' X2-X1 + y?” ，本 公式等價于“兩點間距離公式:已知A(為,yd和B(x2,y2)則AB =J(x2-Xj $ +(y2-% $ =Jx2 +也y2 ”。(3) 已知兩個向量的坐標(biāo)，求這兩個向量加減、數(shù)乘和數(shù)量積： 加減：已知a二口, )b=(x2, y2 )，則a±b = X注x 2y 4卻2 )，即對應(yīng)橫縱坐標(biāo)相加減 數(shù)乘：已知a=(x,y )，則7： = (x,y)= (Xx,hy)，即倍數(shù)對坐標(biāo)作分

12、配。4HT、一、 數(shù)量積：已知a =為,y, ,b =冷,y2，則a b x1 x2 y1 y2，即對應(yīng)坐標(biāo)之積再相加(4) 已知兩個向量的坐標(biāo)，求這兩個向量的夾角或夾角余弦值：已知：=(心 ),b =區(qū) y2 )，則 cos(a,b) = =Xl x： + 力目; 2。'|a|b| 上2*2沢上2 + 丫228、向量的夾角已知兩個非零向量a與b，作oA=a, OB=b,則/ aob=v （ of：一 < 1800）叫做向量a與b的夾角,記為:a,b °注意 研究向量夾角時，必須將兩個向量的起點移動到同一點上； 當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量a與b同方向時，：:a,b =o 當(dāng)且

13、僅當(dāng)a與b反方向時:：:a,b 二二4 0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題 cosH = cos<a,b,XMz+yy2. 向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系：當(dāng)二為銳角時，a * b >0 （反之不成立，因為數(shù)量積為正數(shù)的兩個向量不一定構(gòu)成銳角，可能是平行且同向）；當(dāng)二為鈍角時，a b v0° （反之不成立，因為數(shù)量積為負(fù)數(shù)的兩個向量不一定 構(gòu)成鈍角，可能是平行且反向）9、平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量， 那么對這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有 一對實數(shù) '，匕使：ae qe,，其中不共線的向量e.e,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。若給定

14、一組基底向量，則平面內(nèi)的任何一個向量都存在一組實屬對與之對應(yīng)，當(dāng)這組基底是兩個相互垂直的單位向量時，這組基底可以構(gòu)成一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)叫平面直角坐標(biāo)系， 與向量對應(yīng)的實數(shù)對就是坐標(biāo)10、向量垂直（共線）的基本定理（1）共線：a / b二 a二b,（b = 0），此為向量平行的符號表達(dá)。44 HXt =兀x2若）,b二化亠），則a/b二xy（ 2 ；yi = 0或_ ，此為向量平行的坐標(biāo)y =上 y,表達(dá)。I Xi 亠.X2X =1 +幾yi y2i 注意對于“ a b=扌=胡討工0）”當(dāng)a=0時，可以看成是非零向量b的o倍（即丸=0 ）,所以規(guī)定“零向量0與任何非零向量b平行”（2）垂直：非零

15、向量a和b滿足：a_b= a：=o，此為向量平行的符號表達(dá)。若a =：Xi, yi ,by2，則a _b xi X2 yi =0，此為向量平行的坐標(biāo)表達(dá)。即:兩個向量非零向量垂直等價于這兩個向量的數(shù)量積為0。若a和b中有一個向量是零向量，則數(shù)量積一定為o,此時無需討論a和b是否垂直。所以 規(guī)定“零向量0與任何非零向量b平行”，但是不規(guī)定“零向量0與任何非零向量b垂直”。11、有向線段的定比分點（1）、定義：設(shè)點P是直線Pf2上異于卩!、P2的任意一點，若存在一個實數(shù)九，使RP=PP2，則九叫做點P分有向線段PP2所成的比，P點叫做有向線段PP2的以定比為九的定比分點。（簡稱：點P為定比分點）（

16、2）、丸的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點在線段P2上時二 >0；當(dāng)P點在線段P2P,的延長線上時二-1： 0 ； 當(dāng)P點在線段Pf2的延長線上時二 <- 1；1 若點P分有向線段RP2所成的比為人，則點P分有向線段BP所成的比為T（3）、線段的定比分點公式：即 P "xi + % yi + hy |I i +九'i中九特別地，當(dāng)二i時，就得到線段PiP2的中點公式xXiX2X -2yyiy2y _設(shè)RX）、P（卷yj，P（x,y）分有向線段RP2所成的比為九，則分點P的坐標(biāo)為 y二、經(jīng)典例題【例1】已知A (1,2) , B (4,2),貝y向量AB的坐標(biāo)為

17、：7B =向量AB的模為：i"Abi=AB按向量a =( 1,3)平移后得到的向量是例 2】 平面上，把一個圖形整體向某個方向移動一段距離，若移動前點A坐標(biāo)為(-2,3)，移動后，點A的對應(yīng)點A'坐標(biāo)為(2, -1),則平移向量為 AA'，移動的距離為【例3】下列命題：(1)若a =b，貝U a=b。(2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。(3)若 忒DC ，則ABCD是平行四邊形。(4)若ABCD是平行四邊形，則 TB=DC 。(5 )若a=b,b=c，則 a=c。(6)若 a ll b, bll c ,則 a/c。其中正確的是【例4】給出下列命題:

18、若| a| =| b|，則 a=b ；若 A, B,D是不共線的四點，貝U "AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;44444 ,4b:=c ,則a=c ；a：=b的充要條件是| a|=|C,若a= b ,b |且 all b ；44若 all b , bll c，貝U a/ c ；其中正確的序號是【例5】求參數(shù)的值:(1)設(shè)非零向量a、b不共線，c=ka+b ,d =a+kb (kR),若 c / d，試求 k44(2)已知向量 a =(1,2), b =(x,1),u =a 2b , v = 2a -b，且 u/v ,求實數(shù) x的值4【例6】判斷下列各命題正確與否：（1） Oa=O ；（ 2） 0.才=0 ；（ 3 ）若 a - 0,a= a c，則 b=l ；（4）若a b = a c，貝y b = c當(dāng)且僅當(dāng)a= 0時成立；（5）（a b） c =a （b c）對任意a,b,c向量都成立；（6）對任意向量a，有a2 = a?【例 7】已知 a= 4,3 , b = -1,2 ,4bn = 2a b，按下列條件求實數(shù)的值（i）用_n；（2）m/n ；m = n【例8】平移