離散數(shù)學(xué)課件：6-2幾種特殊的格

1、(一一)模格模格：設(shè)：設(shè)是由格是由格所誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)，所誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)，若若 a,b,c A, 當(dāng)當(dāng)a b時(shí)，滿足時(shí)，滿足a (b c)=b (a c),則稱則稱是是模格模格.判斷以下格是否是模判斷以下格是否是模格格.(1)ecbda解：解： x, y, z a, b, c, d, e, 鉆石格鉆石格則必有則必有x=e或或y=a.若若x=e, 則則x (y z)=y (x z)=y z ,y z .若若y=a, 則則x (y z)=y (x z)=x z ,x z .所以鉆石格是模格所以鉆石格是模格.若若x y,二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格判斷以下格是否是模判斷以下格是否是模格格.ecbd

2、a五角格五角格(2)解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)閐 c, 但但c (d b)=d (c b)=c ad e=c,=d.所以五角格不是模格所以五角格不是模格.二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格模格的判定模格的判定定理一定理一：格格L是模格當(dāng)且僅當(dāng)是模格當(dāng)且僅當(dāng)L不含與五角格同構(gòu)不含與五角格同構(gòu)的子格的子格.證明：證明：（充分性）（充分性）假設(shè)假設(shè)L不是模格，不是模格，則由定義，存在則由定義，存在a,b,c L, 滿足滿足a b, 但但a (b c) b (a c),實(shí)際上：必有實(shí)際上：必有a b, 且且a (b c) b (a c), (b (a c)是是a, (b c)的上界。的上界。)令：令：x=a (

3、b c), y=b (a c), 又令：又令：u=b c, v=a c, 下面證明下面證明L=x,y,u,v,c構(gòu)成構(gòu)成L的的5階子格階子格, 且且L與五角格同構(gòu)與五角格同構(gòu).（L到五角格的同構(gòu)映射到五角格的同構(gòu)映射 : (x)=d, (y)=c, (u)=e, (v)=a, (c)=b, 如右圖所示如右圖所示)ecbda(u)(v)(y)(x)(c)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格定理一定理一：格格L是模格當(dāng)且僅當(dāng)是模格當(dāng)且僅當(dāng)L不含與五角格同構(gòu)不含與五角格同構(gòu)的子格的子格.ecbda(u)(v)(y)(x)(c)x=a (b c), y=b (a c), u=b c, v=a c證明（續(xù)）

4、證明（續(xù)）：（充分性）：（充分性）顯然顯然u x y v, u c v, 由由 所以所以L關(guān)于關(guān)于 和和 封閉，且封閉，且c x, c y.可得可得x c=y c=u. 又由又由 可得可得x c=y c=v.下面證明下面證明c u, c v且且x u, y v: 假設(shè)假設(shè)c=u, 則則c x x c=xx=v, 矛盾矛盾, 故故c u；假設(shè)假設(shè)c=v, 則則y c c y=y y=u,矛盾矛盾, 故故c v；假設(shè)假設(shè)x=u, 則則x c x c=cc=v, 矛盾矛盾, 故故x u ；假設(shè)假設(shè)y=v, 則則c y c y=c c=u,矛盾矛盾, 故故y v .x c y c=b (a c) c=

5、b c=uu c u=x c y c a c=va c=v=二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格定理二定理二：格格L是模格的充分必要條件是：是模格的充分必要條件是： a,b,c L, 假設(shè)假設(shè)a b, 則：則： a c=b c且且a c=b c a=b.模格的判定模格的判定證法一證法一：(必要性必要性) 設(shè)設(shè)L是模格，則是模格，則a (a c)=b (a c)a= b (b c)=b(充分性充分性) 若若L不是模格，不是模格， 不妨設(shè)不妨設(shè)L有如下圖的有如下圖的與五角格同構(gòu)的子格，與五角格同構(gòu)的子格， 則則b,c,d導(dǎo)致矛盾導(dǎo)致矛盾.ecbda(b)(a)(c)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格a

6、(b c)= 而由給定條件，只而由給定條件，只需證：需證：定理二定理二：已知已知 a,b,c L, 假設(shè)假設(shè)a b, 必有：必有： a c=b c且且a c=b c a=b, 證明證明L是模格是模格.定理二充分性的第二種證法：定理二充分性的第二種證法：直接證明直接證明證法二證法二： 需證：若需證：若a b, 則則a (b c)= b (a c).以及以及a (b c) b (a c)(III). (a (b c) c =(b (a c) c (I)(a (b c) c=a (b c) c)=a c; a b (a c),又：又：a a c, a b,a c (b (a c) c,但但b (a

7、c) a c,(b (a c) c (a c) c=a c,故故(a c) b) c=a c.(a (b c) c=(b (a c) c (II)(1) 先證先證(I)式：式： (a (b c) c =(b (a c) c.二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格(2) 再證再證(II)式：式： (a (b c) c=(b (a c) c (3) 最后證不等式最后證不等式(III)： a (b c) b (a c).根據(jù)分配不等式，根據(jù)分配不等式，a (b c) (a b) (a c), a b, a b=b, a (b c) b (a c).由由I. 若若a b, 則：則：(a (b c) c=(b

8、 (a c) c根據(jù)對(duì)偶原理得：根據(jù)對(duì)偶原理得：若若b a, 則：則： a,b,c L, 若若a b,有：有：(a (b c) c=(b (a c) c, a,b是是L中任意元素，中任意元素，(b (a c) c=(a (b c) c.定理二充分性的第二種證法：定理二充分性的第二種證法：直接證明直接證明二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格：設(shè)：設(shè)是由格是由格所誘導(dǎo)的代數(shù)所誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)，若系統(tǒng)，若 a, b, c A, 滿足滿足a (b c)=(a b) (a c)(1)a (b c)= (a b) (a c)(2) 則稱則稱是是分配格分配格.(二二)分配格分配格二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格定

9、理三定理三：若在一個(gè)格中交運(yùn)算對(duì)并運(yùn)算可分配，則：若在一個(gè)格中交運(yùn)算對(duì)并運(yùn)算可分配，則并運(yùn)算對(duì)交運(yùn)算也一定可分配并運(yùn)算對(duì)交運(yùn)算也一定可分配. 反之亦然反之亦然.證明：證明： 如果格中任意元素如果格中任意元素x, y, z滿足滿足x (y z)=(x y) (x z), 那么對(duì)格中任意取定的元素那么對(duì)格中任意取定的元素a, b, c, 有有(a b) (a c)=a (a b) c) =a (a c) (b c) =(a (a c) (b c) =a (b c). (a b) a) (a b) c) 類似可證，逆命題也成立類似可證，逆命題也成立.F分配格定義中的條件可減弱為：需且只需分配格定義中

10、的條件可減弱為：需且只需(1)式式或或(2)式其中之一成立式其中之一成立.二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格判斷以下格是否是分配判斷以下格是否是分配格格。(1) 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?P, Q, R P(S), P(QR)= (PQ)(PR)P(QR)= (PQ)(PR)所以該格是分配格。所以該格是分配格。 F 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)S=a, b, c時(shí)時(shí), 哈斯圖如右圖所示哈斯圖如右圖所示: a, b, c a, bb, c a, cbac 二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格判斷以下格是否是分配判斷以下格是否是分配格格。(2)解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閎 (c d)=b e=b,(b c) (b d)=a a=

11、a,所以所以b (c d) (b c) (b d), 從而該格不是分配格從而該格不是分配格.鉆石格鉆石格ecbda二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格判斷以下格是否是分配判斷以下格是否是分配格格.(3)解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閐 (b c)=d e=d,(d b) (d c)=a c=c,所以所以d (b c) (d b) (d c),從而該格不是分配格。從而該格不是分配格。五角格五角格ecbda二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格定理四定理四：分配格必是模格：分配格必是模格.證：證：a b=b.因此因此 a (b c)= b (a c),則則 a, b, c A, 有有a (b c)= (a b) (a c

12、)設(shè)設(shè)是一個(gè)分配格，是一個(gè)分配格，即即是是模格模格.當(dāng)當(dāng)a b時(shí)，有時(shí)，有F模格不一定是分配格模格不一定是分配格.分配格與模格分配格與模格如：鉆石格是模格，但不是分配格。如：鉆石格是模格，但不是分配格。二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格什么樣的模格是分配格？什么樣的模格是分配格？定理五定理五：模格模格L是分配格是分配格 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a,b,c L：(a b) (b c) (a c)=(a b) (b c) (a c)證明：證明：（充分性）（充分性）a (b c)= a (a c) (b c)=a (a b) (a c) (b c)=a (a b) (a c) (b c)=a (a b) (

13、a c) (b c)注意到注意到a b a, a c a, 而而L是模格，是模格，上式上式=所以所以(a b) (a (a c) (b c)=(a b) (a c) (a b c)=(a b) (a c)即即 a,b,c L,(a b) (b c) (a c)=(a b) (b c) (a c) a,b,c L, a (b c)=(a b) (a c)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格什么樣的模格是分配格？什么樣的模格是分配格？定理五定理五：模格模格L是分配格是分配格 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a,b,c L：(a b) (b c) (a c)=(a b) (b c) (a c)證明證明(續(xù)續(xù))： （必

14、要性）（必要性） a,b,c L,(a b) (b c) (a c)=(a b) (b c) (a c)即即 a,b,c L, a (b c)=(a b) (a c) a (b c)=(a b) (a c)(a b) (b c) (a c)=(b (a b) c) (a c)(a b) b) (a b) c) (a c)=(b (a c) (b c) (a c)=(b (a c) (a c) (a c)=(a b) (b c) (a c) 二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格=(b (a c) (a c)什么樣的模格是分配格？什么樣的模格是分配格？定理六定理六：模格模格L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)是分配格當(dāng)

15、且僅當(dāng)L不含與鉆石不含與鉆石格同構(gòu)的子格格同構(gòu)的子格.證明：證明： 顯然顯然.(鉆石格不是分配格鉆石格不是分配格) 則由定理五，必有則由定理五，必有a,b,c L, 滿足：滿足：假設(shè)假設(shè)L是模格但非分配格，是模格但非分配格，(a b) (b c) (a c) (a b) (b c) (a c)(為什么一定為什么一定是是 ？參見(jiàn)？參見(jiàn)教材教材6-1習(xí)題習(xí)題(9)令：令：u= (a b) (b c) (a c), v= (a b) (b c) (a c), 又令：又令：x=u (a v), y=u (b v), z=u (c v),下面證明下面證明L=u,v,x,y,z構(gòu)成構(gòu)成L的子格的子格, 且

16、與鉆石格同構(gòu)且與鉆石格同構(gòu).（L到五角格的同構(gòu)映射到五角格的同構(gòu)映射 : (u)=e, (v)=a, (x)=b, (y)=c, (z)=d, 如右圖所示如右圖所示)ecbdavuxyz二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格定理六定理六：模格模格L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)是分配格當(dāng)且僅當(dāng)L不含與鉆石不含與鉆石格同構(gòu)的子格格同構(gòu)的子格.證明（續(xù)）：證明（續(xù)）：ecbdavuxyzu= (a b) (b c) (a c), v= (a b) (b c) (a c),x=u (a v), y=u (b v), z=u (c v)先證先證L=u,v,x,y,z關(guān)于關(guān)于 和和 是是封閉封閉的：的：以計(jì)算以計(jì)算x y,

17、 x y為例：為例：而而a v=代入，得：代入，得：注意到注意到a (b c) a c, 注意到注意到b b c, x y=b v=x y=x y =u (b (a (b c) (a c)x y =u (a b) (b c) (a c)u (a v) (b v)a (a b) (b c) (a c)=a (b c)b (a b) (b c) (a c)=b (a c)u (a (b c) (b (a c)=u v=v (u v)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格定理六定理六：模格模格L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)是分配格當(dāng)且僅當(dāng)L不含與鉆石不含與鉆石格同構(gòu)的子格格同構(gòu)的子格.證明（續(xù)）：證明（續(xù)）：ecbd

18、avuxyzu= (a b) (b c) (a c), v= (a b) (b c) (a c),x=u (a v), y=u (b v), z=u (c v)而而a u=代入，得：代入，得：注意到注意到a c a (b c), 注意到注意到b c b, 從而從而x y=b u=x y=x y=v (b (a (b c) (a c)x y =v (a b) (b c) (a c)同理可以推出：同理可以推出：x z=y z=u, x z=y z=vv (a u) (b u)a (a b) (b c) (a c)=a (b c)b (a b) (b c) (a c)=b (a c)v (a (b

19、c) (b (a c)=v u=u (u v) x=u (a v)=注意到注意到u v, v (a u),y=u (b v)= v (b u)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格定理六定理六：模格模格L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)是分配格當(dāng)且僅當(dāng)L不含與鉆石不含與鉆石格同構(gòu)的子格格同構(gòu)的子格.證明（續(xù)）：證明（續(xù)）：再證再證L中元素中元素u,v,x,y,z互不相等：互不相等：u x v, u y v, u z v.由關(guān)于封閉性的討論可知：由關(guān)于封閉性的討論可知：假設(shè)假設(shè)x=u, 則則x y=y=z=v, 但但y z=u, 且且u v,矛盾，矛盾，y, x z= z,所以所以x u.同理可證：同理可證：y u,

20、 z u, x v, y v, z v.假設(shè)假設(shè)x=y, 則則x y=x, 但但x y=v,且且x v, 矛盾，矛盾， 所以所以x y.同理可證：同理可證：x z, y z.從而從而y z=v,二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格分配格的判定分配格的判定 L是分配格是分配格. 定理七定理七：格格L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)是分配格當(dāng)且僅當(dāng)L中中沒(méi)有任何沒(méi)有任何子格子格與與鉆石格鉆石格或或五角格五角格同構(gòu)同構(gòu).證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)長(zhǎng)是分配格，是分配格，根據(jù)定理四，根據(jù)定理四，L必是模格必是模格.根據(jù)定理一，根據(jù)定理一， L不含與五角格同構(gòu)的子格不含與五角格同構(gòu)的子格.再根據(jù)定理六，再根據(jù)定理六， L也也不含與

21、鉆石格同構(gòu)的子格不含與鉆石格同構(gòu)的子格.因?yàn)橐驗(yàn)長(zhǎng)不含與五角格同構(gòu)的子格，不含與五角格同構(gòu)的子格，根據(jù)定理一，根據(jù)定理一， L是模格是模格.根據(jù)定理六，根據(jù)定理六，又因?yàn)橛忠驗(yàn)長(zhǎng)也也不含與鉆石格同構(gòu)的子格不含與鉆石格同構(gòu)的子格.二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格判斷以下格是否是分配判斷以下格是否是分配格格.dgabcfe解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)槭窃摳竦氖窃摳竦淖痈?，子格，二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格 而這個(gè)子格與五角格同而這個(gè)子格與五角格同構(gòu)，構(gòu)， 所以該格不是分配格所以該格不是分配格.五角格五角格ecbda分配格的判定分配格的判定 定理八定理八：格格L是分配格是分配格 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a,b,

22、c L, 有：有：a c=b c且且a c=b c a=b.證明證明：假設(shè)假設(shè)L不是分配格不是分配格, a=a (b c)=(a b) (a c)= (b a) (b c)= b (a c)= b (b c) =b 若若L是分配格，假設(shè)是分配格，假設(shè)a c=b c且且a c=b c, 則：則： 則由定理七，有子格則由定理七，有子格L同構(gòu)于鉆同構(gòu)于鉆石格或五角格石格或五角格.若若L同構(gòu)于鉆石格同構(gòu)于鉆石格，設(shè)其最大元是，設(shè)其最大元是v, 最小元是最小元是u, 其其它元素是它元素是x,y,z, 則則x z=y z, x z=y z, 但但x y,若若L同構(gòu)于五角格同構(gòu)于五角格，設(shè)其最大元是，設(shè)其最

23、大元是v, 最小元是最小元是u, 其其它元素是它元素是x,y,z, 且且x y, 則則x z=y z, x z=y z, 但但x y.二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格a (a c)=與條件矛盾與條件矛盾;與條件矛盾與條件矛盾.分配格與模格充要條件的比較分配格與模格充要條件的比較&格格L是分配格是分配格 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a,b,c L, 有：有：a c=b c且且a c=b c a=b.&格格L是模格的充分必要條件是：是模格的充分必要條件是： a,b,c L, 假設(shè)假設(shè)a b, 則：則： a c=b c且且a c=b c a=b.&分配格一定是模格，模格未必是分配格分配

24、格一定是模格，模格未必是分配格二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格 該子格中必有子格與該子格中必有子格與鉆石格鉆石格或或五角格五角格同構(gòu)，同構(gòu)， 假設(shè)存在一個(gè)分配格，它的某個(gè)子格不假設(shè)存在一個(gè)分配格，它的某個(gè)子格不是分配格，是分配格， 則由定理七，則由定理七， 從而原分配格中含有從而原分配格中含有與與鉆石格鉆石格或或五角格五角格同構(gòu)的子格，同構(gòu)的子格， 設(shè)設(shè)是一個(gè)分配格，是一個(gè)分配格，是是由它誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)，設(shè)由它誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)，設(shè) 是是的子格，的子格，分配格的判定分配格的判定定理九定理九 分配格的子格必是分配格。分配格的子格必是分配格。證一：證一：a (b c)= (a b) (a c)所以所以

25、B是一個(gè)分配格。是一個(gè)分配格。證二證二 ： (反證法反證法)與定理七矛盾與定理七矛盾. A, 有有則則 a, b, c B二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格分配格的判定分配格的判定定理十定理十：每個(gè)鏈?zhǔn)欠峙涓瘢好總€(gè)鏈?zhǔn)欠峙涓?證：證： a, b, c A, 分以下兩種情況討論：分以下兩種情況討論： 設(shè)設(shè)是鏈，是鏈， 則則必是格必是格.二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格情況情況1：a b且且a c:a (b c)= 所以所以a (b c)=(a b) (a c). 又又(a b) (a c)=b c, b c,此時(shí)必有此時(shí)必有a b c,從而從而定理十定理十：每個(gè)鏈?zhǔn)欠峙涓瘢好總€(gè)鏈?zhǔn)欠峙涓?續(xù)證：續(xù)

26、證：分配格的判定分配格的判定二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格因?yàn)橐驗(yàn)閍 (b c)= 所以所以a (b c)=(a b) (a c).情況情況2：b a或或c a:(a b) (a c)=a, a,(6-2習(xí)題習(xí)題(2) 判斷下圖中給出的格是否是判斷下圖中給出的格是否是分配格。分配格。解法一解法一解：解： 因?yàn)樽痈褚驗(yàn)樽痈?和子格和子格均與五角格同構(gòu)，所以均與五角格同構(gòu)，所以該格不是分配格。該格不是分配格。根據(jù)定理七根據(jù)定理七， 設(shè)設(shè)是格，是格，是由是由所誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)所誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)，設(shè)設(shè)B A且且B，若運(yùn)算若運(yùn)算 和和 在在B中封閉中封閉，則稱則稱是是的的子格子格。fcdebafcdeaf

27、cdba(1)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格(教材教材6-2習(xí)題習(xí)題(2) 判斷下圖中給出的格是判斷下圖中給出的格是否是分配格。否是分配格。解法二解法二解：解： 根據(jù)根據(jù)定義，定義，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x, y, z A, 滿足滿足x (y z)=(x y) (x z)時(shí)時(shí), 是分配格。是分配格。=60組。組。共要計(jì)算共要計(jì)算36Afcdeba2/計(jì)算量太計(jì)算量太大了！大了！(1)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格編程求解編程求解界面設(shè)計(jì)：界面設(shè)計(jì)：二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格ecbda圖圖1：鉆石格：鉆石格編程求解編程求解 利用程序判斷鉆石格是否是分配格。利用程序判斷鉆石格是否是分配格。1

28、3245二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格ecbda編程求解編程求解 利用程序判斷五角格是否是分配格。利用程序判斷五角格是否是分配格。圖圖2：五角格：五角格14235二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格編程求解編程求解利用程序判斷格利用程序判斷格是否是分是否是分配格。配格。a, b, c a, bb, c a, cbac 圖圖3：格：格13245678二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格編程求解編程求解(6-2習(xí)題習(xí)題(2) 判斷下圖中給出的格是否是分判斷下圖中給出的格是否是分配格配格.fcdeba123456(1)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格a, b, c a, bb, c a, cbac 因?yàn)橐?/p>

29、為是分配是分配格，格，(6-2習(xí)題習(xí)題(2) 判斷下圖中給出的格是否是判斷下圖中給出的格是否是分配格。分配格。解法三解法三解：解： 根據(jù)定理九根據(jù)定理九, 其子格其子格也是分配格。也是分配格。而本題中的格與該子格同構(gòu)，所而本題中的格與該子格同構(gòu)，所以也是分配格。以也是分配格。fcdebaa, b, c a, bb, c a, cbac (1)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格 (6-2習(xí)題習(xí)題(2)判斷下圖中給出的幾個(gè)格是判斷下圖中給出的幾個(gè)格是否是分配格否是分配格.(2)ecdba解：解：因?yàn)樵摳衽c因?yàn)樵摳衽c(1)中的分配格中的分配格的子格的子格同構(gòu)，所以同構(gòu)，所以它是分配格它是分配格.二、幾

30、種特殊的格二、幾種特殊的格fcdeba (6-2習(xí)題習(xí)題(2)判斷下圖中給出的幾個(gè)格是判斷下圖中給出的幾個(gè)格是否是分配格否是分配格.(3)gcedbaf解：解：因?yàn)樵摳竦淖痈褚驗(yàn)樵摳竦淖痈衽c與五角格同構(gòu)，五角格同構(gòu)，二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格五角格五角格ecbda所以該格不是分配格所以該格不是分配格. (6-2習(xí)題習(xí)題(1)試舉兩個(gè)含有試舉兩個(gè)含有6個(gè)元素的格，個(gè)元素的格，其中一個(gè)是分配格，另一個(gè)不是分配格其中一個(gè)是分配格，另一個(gè)不是分配格.解：解：圖圖(a)中的格是分配格，圖中的格是分配格，圖(b)中的格不是分配格中的格不是分配格. 圖圖(b)ecbdaf子格子格與與鉆石格同構(gòu)鉆石格同

31、構(gòu)二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格fcdeba圖圖(a)(三三)有界格有界格：設(shè)：設(shè) 是格，若存在是格，若存在a A, 對(duì)對(duì)任意任意x A,有有 a x 則稱則稱a為為的全下界，記為的全下界，記為0. ：設(shè)：設(shè) 是格，若存在是格，若存在a A, 對(duì)對(duì)任意任意x A,有有 x a 則稱則稱a為為的全上界，記為的全上界，記為1. 二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格全下界、全上界全下界、全上界解：解：定理十一定理十一：格的全下（上）界若存在必唯一：格的全下（上）界若存在必唯一.那么按全下界的定義，有那么按全下界的定義，有同時(shí)成立，同時(shí)成立，從而從而a=b.假設(shè)假設(shè)格格有兩個(gè)全下界有兩個(gè)全下界a和和b,

32、 a,b A, a b和和b a, 二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格有界格有界格有界格有界格：具有全下界和全上界的格稱為：具有全下界和全上界的格稱為有界格有界格.判斷以下格是否是有界判斷以下格是否是有界格格.(1) 解：解：全下界：全下界：所以該格是有界格所以該格是有界格. 全上界：全上界： S 二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格判斷以下格是否是有界判斷以下格是否是有界格格.abd hcf eg (2) 解：解：全下界：全下界：所以該格是有界格所以該格是有界格. 全上界：全上界：h a 二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格有界格的性質(zhì)有界格的性質(zhì)證：證：a 1= 1,a 1= a;a 0= a,a

33、0= 0.所以所以 a A, 有有再由格的性質(zhì)六，得：再由格的性質(zhì)六，得：a 1= 1,a 1= a;a 0= a,a 0= 0.1是是 的的零元零元.0是是 的的幺元幺元.0是是 的的零元零元.1是是 的的幺元幺元.0 a 1. 定理十二定理十二： 設(shè)設(shè)有界格，則有界格，則 a A, 有有 因?yàn)橐驗(yàn)槭怯薪绺?，是有界格?二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格補(bǔ)元補(bǔ)元格格中的各個(gè)元素是否有補(bǔ)元，若有，中的各個(gè)元素是否有補(bǔ)元，若有，請(qǐng)求出請(qǐng)求出.解：解：全下界是全下界是全上界是全上界是,S. 在格在格中，中， A P(S), A(S-A) =A(S-A) =S,.所以所以S-A是是A的補(bǔ)元的補(bǔ)元.Fa和和b互為補(bǔ)元互為補(bǔ)元.：設(shè)：設(shè) 是有界格，是有界格，a A, 若若 b A, 使使 a b=1, a b=0,則稱則稱b是是a的的補(bǔ)元補(bǔ)元. 二、幾種特殊的格二、幾種特殊的格