二次函數(shù)和相似三角形的綜合應(yīng)用

1、二次函數(shù)和相似三角形的綜合應(yīng)用1、如圖，已知拋物線y=（x+2）（xm）（m0）與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)。（1）若拋物線過點(diǎn)M（2，2），求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。2、如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D。（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似

2、，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止。當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？3、如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tanBAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DOC。拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C。 （1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t。設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)CEF與COD相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；是否存在一點(diǎn)P，使P

3、CD的面積最大？若存在，求出PCD面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由。4、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)H。（1）直接填寫：= ，b= ，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；（2）在軸上是否存在點(diǎn)D，使得ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQAC于點(diǎn)Q，當(dāng)PCQ與ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 5、已知拋物線C1：y=a（x+1）22的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（2，1）。（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C1的解析式；（2）如圖1，將拋物線C1向下平移2

4、個(gè)單位后得到拋物線C2，且拋物線C2與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，求SOAC：SOAD的值；（3）如圖2，若過P（4，0），Q（0，2）的直線為l，點(diǎn)E在（2）中拋物線C2對(duì)稱軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，直線m過點(diǎn)C和點(diǎn)E。問：是否存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，說明理由。6、如圖，已知：如圖，直線y=-x+與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)D、E分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)停止）；對(duì)稱軸過點(diǎn)A且頂點(diǎn)為M的拋物線y=a（xk）2h（a0）始終經(jīng)過點(diǎn)E，過E作EGOA交拋物線于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F

5、，連結(jié)DE、DF、AG、BG。設(shè)D、E的運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長度/秒和個(gè)單位長度/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEF是菱形？判斷此時(shí)AFG與AGB是否相似，并說明理由；（3）當(dāng)ADF是直角三角形，且拋物線的頂點(diǎn)M恰好在BG上時(shí)，求拋物線的解析式。備用圖7、如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，4），對(duì)稱軸是直線，線段AD平行于軸，交拋物線于點(diǎn)D。在軸上取一點(diǎn)C（0，2），直線AC交拋物線于點(diǎn)B，連結(jié)OA， OB，OD，BD。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在坐標(biāo)

6、平面內(nèi)是否存在點(diǎn)E使EODAOB？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。8、如圖1，矩形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線y=x2-4x+3經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且其頂點(diǎn)M在CD上。（1）請(qǐng)直接寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A ，B ，C ，D ；（2）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)G，與直線BD交于點(diǎn)H，如圖2。當(dāng)線段PH=2GH時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，點(diǎn)K在直線BD上，且滿足KPHAEF，求KPH面積的最大值。9、如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過點(diǎn)

7、B的拋物線y=x2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D（3，4）。（1）求直線BD和拋物線的解析式；（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一疑點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線BD上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH垂直于x軸，交直線BD于點(diǎn)H，當(dāng)四邊形BOHP是平行四邊形時(shí)，試求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)。10、如圖，拋物線y=ax22ax+c（a0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G。（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線上

8、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在CD上方，過點(diǎn)P的直線x=m與線段CD、AC、x軸分別交于點(diǎn)F、M、E，連結(jié)PC，則是否存點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（3）在（2）的條件下判斷PCM的形狀，并說明理由。11、平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)A在x軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OB，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過C、O、A三點(diǎn)（1）直接寫出這條拋物線的解析式；（2）如圖1，對(duì)于所求拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)E，設(shè)EBO的面積為S1，菱形ABCD的面積為S2，當(dāng)S1S2時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)n的取值范圍；（3）如圖2，已知

9、D（0，）為y軸上一點(diǎn)，連接AD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/秒的速度沿OB方向運(yùn)動(dòng)，1秒后，動(dòng)點(diǎn)Q從O出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿折線OAB方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0t6），是否存在實(shí)數(shù)t，使得以P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與ADO相似？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由。12、如圖1，已知菱形ABCD的邊長為，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)。點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3），拋物線y=ax2b（a0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點(diǎn)。（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）將菱形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點(diǎn)B作直線BECD于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，連接DF

10、、AF。設(shè)菱形ABCD平移的時(shí)間為t秒（0t3）是否存在這樣的t，使ADF的周長最?。咳舸嬖?，求出t的值；若不存，請(qǐng)說明理由。若ADF與DEF相似，求出t的值。13、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A（1，0），直線l：x=m（m1）與x軸交于D。（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；（2）在直線l上找點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，

11、請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。14、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直線x=m（m>2）與x軸交于點(diǎn)D。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線x=m（m>2）上有一點(diǎn)E（點(diǎn)E在第四象限），使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出m的值及四邊形ABEF的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由。15、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過A（-1，0），B（4，

12、0），C（0，2）三點(diǎn)。（1）求這條拋物線的解析式；（2）E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若將直線BC平移，使其經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接BD，試求出BDA的度數(shù)。 16、如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E。（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連結(jié)ON、BN，當(dāng)點(diǎn)F在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)

13、，求BON 面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）連結(jié)AN，當(dāng)BON面積最大時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)求使得BOP與OAN相似（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對(duì)應(yīng)）的點(diǎn)P的坐標(biāo)。17、已知：如圖，二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0），交y軸于C（0，2），過A，C畫直線。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點(diǎn)為H。若M在y軸右側(cè)，且CHMAOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若M的半徑為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。18、如圖，拋物線y=ax2+b與x軸交于點(diǎn)A、B，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（

14、1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1）。（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）如圖1，過點(diǎn)B作BDCA交拋物線于點(diǎn)D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結(jié)果保留根號(hào)）（3）如圖2，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE垂直于x軸，垂足為點(diǎn)E，使以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與CBD相似？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。19、如圖，已知拋物線y=（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C。(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (用含b的代數(shù)式表示）；(2)請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面

15、積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。20、已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB=2。（1）求拋物線的解析式；（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E、D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，（如圖二）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng)，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 ；設(shè)，當(dāng)t 為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。21、如圖，拋物線y=（x1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知A（1，0）。（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）判斷CDB的形狀并說明理由；（3）將COB沿x軸向