標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差公式

1、標(biāo)準(zhǔn)偏差出自 MBA智庫(kù)百科(數(shù)學(xué)表達(dá)式： · S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） · n-試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個(gè) · i-物料中某成分的各次測(cè)量值，1n； 標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式1標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式設(shè)對(duì)真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測(cè)量, 其測(cè)得值為l1、l2、ln。令測(cè)得值l與該量真值X之差為真差占, 則有1 = li X 2 = l2 X n = ln X 我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差)為 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差占也就無(wú)法求得, 故式只有理論意義而無(wú)實(shí)用價(jià)值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)貝塞爾公式由于真值是不可知的

2、, 在實(shí)際應(yīng)用中, 我們常用n次測(cè)量的算術(shù)平均值來(lái)代表真值。理論上也證明, 隨著測(cè)量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當(dāng)時(shí), 算術(shù)平均值就是真值。 于是我們用測(cè)得值li與算術(shù)平均值之差剩余誤差（也叫殘差）Vi來(lái)代替真差 , 即 設(shè)一組等精度測(cè)量值為l1、l2、ln 則 通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差與剩余誤差V的關(guān)系為 將上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。 它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)，,可見(jiàn)貝塞爾公式與的定義式(1)是完全一致的。 應(yīng)該指出, 在n有限時(shí), 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個(gè)估計(jì)值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此, 我們稱(chēng)式(2

3、)為標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn), 我們將的估計(jì)值用“S ” 表示。于是, 將式(2)改寫(xiě)為 (2') 在求S時(shí), 為免去求算術(shù)平均值的麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過(guò)程從略)有 于是, 式(2')可寫(xiě)為 (2") 按式(2")求S時(shí), 只需求出各測(cè)得值的平方和和各測(cè)得值之和的平方藝 , 即可。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S2為樣本方差 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S2是總體方差2的無(wú)偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中, S2圍繞2散布, 它們之間沒(méi)有系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時(shí),S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì), 也就是說(shuō)S和之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們, 對(duì)

4、于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)值為 (3) 令 則 即S1和S僅相差一個(gè)系數(shù)K,K是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù), K值見(jiàn)表。 計(jì)算K時(shí)用到 (n + 1) = n(n) (1) = 1 由表1知, 當(dāng)n>30時(shí), 。因此, 當(dāng)n>30時(shí), 式(3')和式(2')之間的差異可略而不計(jì)。在n=3050時(shí), 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時(shí), 由于K值的影響已不可忽略, 宜用式(3'), 求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時(shí)再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計(jì)將的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值代替且當(dāng)n有限時(shí)就得到 (4)

5、式(4)適用于n>50時(shí)的情況, 當(dāng)n>50時(shí),n和(n-1)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響就很小了。 2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的極差估計(jì)由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大, 不宜現(xiàn)場(chǎng)采用, 而極差估計(jì)的方法則有運(yùn)算簡(jiǎn)便, 計(jì)算量小宜于現(xiàn)場(chǎng)采用的特點(diǎn)。 極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)樣本測(cè)得值中的最大值與最小值之差。 若對(duì)某量作次等精度測(cè)量測(cè)得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 R = lmax lmin 概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為 (5) S3稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏極差估計(jì), d2為與樣本個(gè)數(shù)n(測(cè)得值個(gè)數(shù))有關(guān)的無(wú)偏極差系數(shù), 其

6、值見(jiàn)表2 由表2知, 當(dāng)n15時(shí), 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差更粗略的估計(jì)值為 (5') 還可以看出, 當(dāng)200n1000時(shí)，因而又有 (5") 顯然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計(jì), 用以對(duì)用貝塞爾公式及其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 應(yīng)指出,式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低, 但當(dāng)5n15時(shí),式(5)不僅大大提高了計(jì)算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時(shí), 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準(zhǔn)確度, 這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五個(gè)一組, 先求出各組的極差R1、, 再由各組極差求出極差平均值。 極差平均值和總

7、體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 需指出, 此時(shí)d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則, 分組時(shí)一定要按測(cè)得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的平均誤差估計(jì)平均誤差的定義為 誤差理論給出 (A) 可以證明與的關(guān)系為 (證明從略) 于是(B) 由式(A)和式(B)得 從而有 式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用該公式估計(jì)值, 由于right|Vright|不需平方,故計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例1對(duì)標(biāo)稱(chēng)值Ra = 0.160 < math > m < math

8、 > 的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定, 順次測(cè)得以下15個(gè)數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63m, 試求該樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 解：1)先求平均值 2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 若用無(wú)偏極差估計(jì)公式式(5)計(jì)算, 首先將測(cè)得的, 15個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個(gè), 見(jiàn)表3。 表3 組號(hào)l_1l_5R 11.481.651.601.671.520.19 21.461.721.691.771.640.31 31.561.501.641.741.630.24 因每組

9、為5個(gè)數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 故 若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式(2') , 則 若按無(wú)偏估計(jì)公式即式(3')計(jì)算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 則 若按最大似然估計(jì)公式即式(4')計(jì)算, 則 = 0.09296( < math > m < math > ) 若按平均誤差估計(jì)公式即式(6), 則 現(xiàn)在用式(5')對(duì)以上計(jì)算進(jìn)行校核 可見(jiàn)以上算得的S、S1、S2、S3和S4沒(méi)有粗大誤差。 由以上計(jì)算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062 即S2 < S &

10、lt; S1 < S4 < S3 可見(jiàn), 最大似然估計(jì)值最小, 常用估計(jì)值S稍大, 無(wú)偏估計(jì)值S1又大, 平均誤差估計(jì)值S4再大, 極差估計(jì)值S3最大?？v觀這幾個(gè)值, 它們相當(dāng)接近, 最大差值僅為0.01324m。從理論上講, 用無(wú)偏估計(jì)值和常用估計(jì)比較合適, 在本例中, 它們僅相差0.0017m?？梢韵嘈? 隨著的增大, S、S1、S2、S3和S4之間的差別會(huì)越來(lái)越小。 就本例而言, 無(wú)偏極差估計(jì)值S3和無(wú)偏估計(jì)值S1僅相差0.0083m, 這說(shuō)明無(wú)偏極差估計(jì)是既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡(jiǎn)便的一種好方法。 JJG102-89表面粗糙度比較樣塊規(guī)定Ra的平均值對(duì)其標(biāo)稱(chēng)值的偏離不應(yīng)超

11、過(guò)+12%17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱(chēng)值的4%12%之間。已得本樣塊二產(chǎn),產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。 標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，

12、說(shuō)明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。 標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來(lái)衡量。 有人經(jīng)?；煊镁礁`差（RMSE）與標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），實(shí)際上二者并不是一回事。1.均方根誤差均方根誤差為了說(shuō)明樣本的離散程度。均方根誤差（root-mean-square error ）亦稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)誤差，其定義為 ，i1，2，3，n。在有限測(cè)量次數(shù)中，均方根誤差常

13、用下式表示：，式中，n為測(cè)量次數(shù)；di為一組測(cè)量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計(jì)分布是正態(tài)分布，那么隨機(jī)誤差落在土以?xún)?nèi)的概率為68。2.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。均方根值也稱(chēng)作為效值，它的計(jì)算方法是先平方、再平均、然后開(kāi)方。比如幅度為100V而占空比為0.5的方波信號(hào)，如果按平均值計(jì)算，它的電壓只有50V，而按均方根值計(jì)算則有70.71V。這是為什么呢？舉一個(gè)例子，有一組100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說(shuō)占空比為一半。如果這組電池帶動(dòng)的是10電阻，供電的10分鐘產(chǎn)

14、生10A的電流和1000W的功率，停電時(shí)電流和功率為零。那么在20分鐘的一個(gè)周期內(nèi)其平均功率為500W，這相當(dāng)于70.71V的直流電向10電阻供電所產(chǎn)生的功率。而50V直流電壓向10電阻供電只能產(chǎn)生的250W的功率。對(duì)于電機(jī)與變壓器而言，只要均方根電流不超過(guò)額定電流，即使在一定時(shí)間內(nèi)過(guò)載，也不會(huì)燒壞。 PMTS1.0抽油機(jī)電能圖測(cè)試儀對(duì)電流、電壓與功率的測(cè)試計(jì)算都是按有效值進(jìn)行的，不會(huì)因?yàn)殡娏麟妷翰ㄐ位兌鴾y(cè)不準(zhǔn)。這一點(diǎn)對(duì)于測(cè)試變頻器拖動(dòng)的電機(jī)特別有用。均方根誤差為了說(shuō)明樣本的離散程度。對(duì)于N1,.Nm,設(shè)N=(N1+.+Nm)/m;則均方根誤差記作： .F6F!M n+t8Q5i.Y-mt=

15、sqrt(N2-N12)+.+(N2-Nm2)/(m(m-1)；比如兩組樣本：第一組有以下三個(gè)樣本：3，4，5第二組有一下三個(gè)樣本：2，4，6這兩組的平均值都是4，但是第一組的三個(gè)數(shù)值相對(duì)更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個(gè)的。同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開(kāi)根,因?yàn)閱挝徊唤y(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。幾種典型平均值的求法     （1）算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)x1、x2、 、x n為各次的測(cè)量值，n代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為     （2）均方根平均值   

16、0; （3）幾何平均值     （4）對(duì)數(shù)平均值     （5）加權(quán)平均值相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方差的計(jì)算公式準(zhǔn)確度：測(cè)定值與真實(shí)值符合的程度絕對(duì)誤差：測(cè)量值（或多次測(cè)定的平均值）與真（實(shí)）值之差稱(chēng)為絕對(duì)誤差，用表示。相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與真值的比值稱(chēng)為相對(duì)誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。絕對(duì)誤差可正可負(fù)，可以表明測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測(cè)量值中所占比例，相對(duì)誤差反映測(cè)量誤差在測(cè)量結(jié)果中所占的比例，衡量相對(duì)誤差更有意義。例：用刻度0.5cm的尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm，該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差為0.1cm；用刻度1mm的尺測(cè)量長(zhǎng)度

17、，可以讀準(zhǔn)到0.1mm，該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差為0.1mm。例：分析天平稱(chēng)量誤差為0.1mg, 減重法需稱(chēng)2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱(chēng)量相對(duì)誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱(chēng)量多少樣品？ 答：稱(chēng)量樣品量應(yīng)不小于0.2g。真值（）：真值是客觀存在的，但任何測(cè)量都存在誤差，故真值只能逼近而不可測(cè)知，實(shí)際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的分析人員經(jīng)過(guò)反復(fù)多次測(cè)定得出的結(jié)果平均值。精密度：幾次平行測(cè)定結(jié)果相互接近的程度。各次測(cè)定結(jié)果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差：?jiǎn)未螠y(cè)量值與樣本平均值之差： 平均偏差：各次測(cè)量偏差絕對(duì)值的平均值。相對(duì)平均偏差：平均偏差與平均值的比值。標(biāo)準(zhǔn)偏差：各次測(cè)量偏差的平方和平均值再開(kāi)方，比平均偏差更靈敏的反映較大偏差的存在，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上更有意義。相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差（