高中數(shù)學(xué)知識點(2)

1、知識點大全高中數(shù)學(xué)必修 2知識點一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x 軸平行或重合時, 我們規(guī)定它的傾斜角為0 度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是 90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k 表示。即 k tan 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)0 ,90時，k0。當(dāng) 90 ,180 時，k0 ；當(dāng)90 時，k不存在。過兩點的直線的斜率公式： ky 2y1 ( x1x 2)x 2x1注意下面四點：(1) 當(dāng)x1x2時，公式右邊無意義

2、，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k 與P、P的順序無關(guān)；12(3) 以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4) 求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點斜式：yy1k( xx1 ) 直線斜率k，且過點 x1, y1注意：當(dāng)直線的斜率為 0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因l 上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：y kx b ，直線斜率為k，直線在 y軸上的截距為b兩點式：（xx2, y1y）直線兩點x1, y1，x2,

3、y212截矩式：其中直線 l 與 x 軸交于點(a,0), 與 y 軸交于點(0,b) , 即 l與x 軸、 y 軸的截距分別為a, b 。一般式： AxByC0 （A，B不全為0）注意：1各式的適用范圍2特殊的方程如：平行于x 軸的直線： y b（b 為常數(shù)）； 平行于y 軸的直線：x a（a為常數(shù)）；（4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線0000（ A , B 是不全為 0的常數(shù)）的直線系：A0 x B0 y C 0（C為常數(shù)）A x B y C00（二）過定點的直線系（）斜率為k 的直線系： y y0kxx0，直線過定點 x0 , y0；（）過 兩 條

4、直 線 l1 : A1 xB1 yC10， l 2 : A2x B2 yC20 的交點的直線系方程為111A2 x B2 y C20（為參數(shù)），其中直線l2 不在直線系中。Ax B y C（5）兩直線平行與垂直當(dāng)l 1 : y k1 xb1 ，l 2 : yk 2 x b2 時，l 1 / l 2k1k2 , b1 b2 ；l 1l 2k1k21注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（6）兩條直線的交點l1 : A1 x B1 y C10 l 2 : A2 x B2 y C20 相交A1 x B1 y C10A2 x B2 y C20交點坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解l

5、1 /l2；方程組有無數(shù)解l1與l 2重合（7）兩點間距離公式：設(shè)A(x ,y ) ，B（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，則|AB|( xx )2( yy )21 1222121（8）點到直線距離公式：一點Px 0 , y 0到直線l1: AxByC 0的距離 dAx 0By0CA2 B2（9）兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。知識點大全二、圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程 xa 2yb 2 r 2 ，圓心 a , b ，半徑為r；（2）一般方程x2y2 Dx E

6、y F 0當(dāng)D2E24F0時，方程表示圓，此時圓心為D， E半徑為 r 1D2 E2 4F,222當(dāng)D 2E24F0時，表示一個點； 當(dāng)D2 E24F0時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出 a，b，r ；若利用一般方程，需要求出 D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線l : AxBy C 0，圓C : xa 2yb 2r 2圓心C a,b到 l

7、 的距離為 AaBb C 則有dA2 B2d rl 與C 相離d rl與 C相切 drl與C 相交（2）設(shè)直線l : AxBy C0 ，圓C : xa 2yb 2r 2 ，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有0l與C相離 ；0l 與C相切 ；0l 與 C相交注：如圓心的位置在原點，可使用公式xx0yy0r2 去解直線與圓相切的問題，其中 x0 , y0表示切點坐標(biāo)，r 表示半徑。(3) 過圓上一點的切線方程：圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0) ，則過此點的切線方程為xx0yy0r 2 ( 課本命題) 圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，

8、y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 ( 課本命題的推廣) 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1 : xa1 2yb1 2r 2 ，C 2 : xa 2 2yb22R 2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)d R r 時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng)d R r 時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)RrdRr 時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)dRr 時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng)dRr 時，兩

9、圓內(nèi)含； 當(dāng)d0 時，為同心圓。三、立體幾何初步1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1） 棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。知識點大全分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDEA' B' C' D' E' 或用對角線的端點字母，如五棱柱 AD '幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是

10、有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐P A' B 'C ' D ' E '幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺PA' B 'C ' D ' E '幾何特征：上下底面是相似的平行多邊

11、形 側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸, 旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是

12、圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點：原來與x 軸平行的線段仍然與x 平行且長度不變；原來與y 軸平行的線段仍然與y 平行，長度為原來的一半。知識點大全4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。'

13、;（2）特殊幾何體表面積公式（c 為底面周長，h 為高h，為斜高，l 為母線）（3）柱體、錐體、臺體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V =； S =4 R2球球面5、空間點、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫在一個銳角內(nèi)）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面 BC。 點與平面的關(guān)系：點A在平面 內(nèi)，記作 A；點 A 不在平面 內(nèi)，記作A點與直線的關(guān)系：點A的直線l 上，記作：Al ；點A在直線l 外，記作A l ；直線與平面的關(guān)系：直線 l 在平面內(nèi)，記作l；直線l 不在平面內(nèi)，

14、記作l 。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi) 。 用符號語言表示公理1：A l ,Bl, A ,Bl（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理 2 及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面和相交，交線是 a，記作a。 符號語言：P A B A Bl ,

15、P l公理 3 的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點 O，分別引直線 aa，bb，則把直線 a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0

16、6;，90°，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)。（3）求異面直線所成角步驟：知識點大全A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點三種位置關(guān)系的符號表示：aaAa（9）平面與

17、平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點； 相交有一條公共直線。b 6、空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行 線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行面面平行），（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。（線線平行面面平行），（3）垂直于同一條直線

18、的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）7、空間中的垂直問題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理

19、和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。8、空間角問題（1）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為0 。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。知識點大全兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a , b ，形成兩條相交直

20、線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為 0。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，