高中數(shù)學總復習之要點必備直線和圓的方程

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載§7. 直線和圓的方程知識要點一、直線方程 .1. 直線的傾斜角： 一條直線向上的方向與 x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與 x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是0180(0) .注：當90 或 x2 x1 時，直線 l 垂直于 x 軸，它的斜率不存在 .每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與 x 軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.2. 直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經(jīng)過兩點 ( a,0), (0, b) ，即直線在 x 軸， y

2、 軸上的截距分別為a, b(a0, b0) 時，直線方程是： xy1 .ab注：若 y2y22 ，但若 y22(x 0) 則不x 2 是一直線的方程，則這條直線的方程是xx333是這條線 .附：直線系：對于直線的斜截式方程y kx b ，當 k,b 均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果 k, b 變化時， 對應的直線也會變化.當 b 為定植， k 變化時， 它們表示過定點 （0， b ）的直線束 .當 k為定值， b 變化時，它們表示一組平行直線.3. 兩條直線平行：l 1 l 2 k1k 2 兩條直線平行的條件是：l 1 和 l 2 是兩條不重合的直線. 在 l 1 和 l 2的斜率

3、都存在的前提下得到的 .因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提 ”都會導致結論的錯誤 .（一般的結論是： 對于兩條直線 l 1 ,l 2 ，它們在 y 軸上的縱截距是 b1,b 2 ，則 l 1 l 2k1k 2，且 b1 b 2 或l 1,l 2 的斜率均不存在，即 A1 B 2 B1A 2 是平行的必要不充分條件，且C1C 2 ）推論：如果兩條直線 l 1,l 2 的傾斜角為1,2 則 l 1 l 212 .兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：設兩條直線l 1 和 l 2 的斜率分別為 k1 和 k 2 ，則有 l 1 l 2k1k 21 這里的前提是 l 1,l2 的斜率都存在 .

4、l 1 l 2k1 0，且 l 2 的斜率不存在或k 20 ，且 l 1 的斜率不存在 . （即A1B2A2 B1 0 是垂直的充要條件）4. 直線的交角：直線 l 1 到 l 2 的角（方向角） ；直線l 1 到 l 2 的角，是指直線l 1 繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與l2 重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是 (0, ) ，當90時 tank 2k 1 .1k 1k 2兩條相交直線 l 1 與 l 2 的夾角：兩條相交直線l 1 與 l 2 的夾角，是指由 l 1 與 l 2 相交所成的四個角中最小的正角 ，又稱為 l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范圍是0,，當k2 k 1.90 ，則有 t

5、an21k 1k 25. 過兩直線l 1:A 1 x B 1 y C10 的交點的直線系方程A1 xB1 y C1 ( A2 x B 2 yC 2)0( 為參l 2 :A 2 x B 2 y C 20數(shù)， A2 xB2 y C 2 0 不包括在內(nèi)）6. 點到直線的距離：優(yōu)秀學習資料歡迎下載 點 到 直 線 的 距 離 公 式 ： 設 點 P(x 0 , y0 ) ， 直 線 l : AxBy C 0, P 到 l的 距 離 為 d ， 則 有Ax 0 By 0Cd.A2 B2兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線l 1:Ax By C10,:Ax By C 20(C 1C 2) ，它們之l 2

6、C 1C 2間的距離為 d ，則有 d.A2B27. 關于點對稱和關于某直線對稱：關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.關于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程）可解得所求對稱點.注：曲線、 直線關于一直線 （ yxb ）對稱的解法： y 換 x，x 換 y. 例：曲線 f(x ,y)=0 關于直線 y=x2對稱曲線方程是f

7、(y+2 ,x 2)=0.曲線 C: f(x ,y)=0 關于點 (a ,b)的對稱曲線方程是f(a x, 2b y)=0.二、圓的方程 .1. 曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線 C 上的 與一個二元方程 f (x, y) 0 的實數(shù)建立了如下關系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解.以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.曲線和方程的關系，實質(zhì)上是曲線上任一點M ( x, y) 其坐標與方程f (x, y)0 的一種關系，曲線上任一點 ( x, y) 是方程 f (x, y)0 的解；反過來，滿足方程f ( x, y)0 的解所對

8、應的點是曲線上的點 .注：如果曲線 C 的方程是 f(x ,y)=0 ，那么點 P0(x 0 ,y) 線 C 上的充要條件是 f(x 0 ,y0)=02.圓的標準方程：以點C( a, b) 為圓心， r 為半徑的圓的標準方程是(xa) 2( y b) 2 r 2 .特例：圓心在坐標原點，半徑為r 的圓的方程是： x 2y 2 r 2 .注：特殊圓的方程：與x軸相切的圓方程 (xa) 2( yb) 2b 2rb ,圓心 (a, b)或( a, b)與 y 軸相切的圓方程 ( x a) 2( yb) 2 a2 ra ,圓心 ( a, b)或 ( a, b )與 軸y軸都相切的圓方程(x a)2(y

9、 a)2a2ra, 圓心 ( a, a)x3.圓的一般方程： x2y 2 DxEyF 0 .當D2E240 時，方程表示一個圓，其中圓心DED2 E2 4FC,，半徑r.F222當22DEDE40 時，方程表示一個點,.F22優(yōu)秀學習資料歡迎下載當D2E240時，方程無圖形（稱虛圓） .Fxar cos為參數(shù)） .注：圓的參數(shù)方程：b（yr sin方程 Ax 2BxyCy 2DxEy F0 表示圓的充要條件是：B0 且 AC0且 D2 E2 4AF 0.圓的直徑或方程：已知 A(x1 ,y1 )B(x 2 , y2 ) ( xx1 )( xx 2 )( yy1)( yy2 )0 （用向量可征）

10、 .4. 點和圓的位置關系：給定點M (x0 , y0 ) 及圓 C : (xa) 2( yb) 2r 2 .M 在圓C內(nèi)(xM 在圓C上（ xM 在圓C外(x0a) 2( y 0b)0a) 2( y0b)0a) 2( y 0b)2 r 22 r 22 r 25. 直線和圓的位置關系：設圓圓 C ： (x a) 2 ( yb) 2r 2 (r0) ；直線 l ： AxByC 0(A2 B20) ；圓心 C( a, b) 到直線 l 的距離 dAaBb CA2 B2. d r 時， l 與 C 相切；x 2y2 D 1x E1 y F 10相減為公切線方程 .附：若兩圓相切，則x 2 y2 D

11、2 x E 2 y F 2 0 d r 時， l 與 C 相交；附：公共弦方程：設 C 1: x 2y 2D 1x E1 y F 10C 2 :x2y 2 D 2 x E 2 y F 2 0有兩個交點，則其公共弦方程為( D1 D 2 ) x (E1E 2 ) y (F 1F 2)0 . d r 時， l 與 C 相離 .x 2y2 D 1x E1 y F 10相減為圓心 O1 O2 的連線的中與線方程 .附：若兩圓相離，則x 2 y2 D 2 x E 2 y F 2 0由代數(shù)特征判斷：方程組(x a) 2 ( y b)2r2x （或 y ）的一元二次方程，其判Ax BxC 0用代入法，得關于

12、別式為，則：0 l 與 C 相切；0 l 與 C 相交；0 l 與 C 相離 .注：若兩圓為同心圓則x 2y 2 D 1 x E 1y F 1 0 ， x 2 y 2D 2 xE 2 y F 2 0 相減，不表示直線 .6. 圓的切線方程：圓x2y 2 r 2 的斜率為 k 的切線方程是 ykx1 k 2 r 過圓 x 2 y 2 Dx Ey F 0優(yōu)秀學習資料歡迎下載上一點 P( x0 , y0 ) 的切線方程為： x 0 xy 0 yD x x0E yy0F 0 .22一般方程若點 (x0 ,y0)在圓上，則 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)= R2 . 特別地，過圓 x2y 2r 2 上一點P( x0 ,y0 ) 的切線方程為 x 0 x y 0 y r 2 .Ay1 y0 k(x1x0 )若點 ( x0 ,y0)不在圓上，圓心為 (a,b)則by1 k( a