第5講一維勢(shì)場(chǎng)中能量本征態(tài)的一般性質(zhì)

1、1量子力學(xué)光電子科學(xué)與工程學(xué)院光電子科學(xué)與工程學(xué)院王可嘉王可嘉第五講一維勢(shì)場(chǎng)中能量本征態(tài)的一般性質(zhì) 有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中的束縛態(tài)2第5講目錄一、一、三論正交、歸一、完備態(tài)三論正交、歸一、完備態(tài)二、二、 一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)三三、有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中的束縛態(tài)有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中的束縛態(tài)3一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（1 1）態(tài)疊加原理：態(tài)疊加原理：任意量子態(tài)可按任意一組任意量子態(tài)可按任意一組正交、歸正交、歸一、完備態(tài)一、完備態(tài)矢量來分解，即：矢量來分解，即：nnncn態(tài)矢量，也稱基矢量子態(tài),nc 展開系數(shù)mnnmrdrr3*)(

2、)(1,0,mnmnmn歸一正交4一、一、三三論正交、歸一、完備態(tài)（論正交、歸一、完備態(tài)（2 2）以一維無限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)為例：以一維無限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)為例：., 0, 0;0),sin(2)(axxaxaxnaxn, 3 , 2 , 1 n由由,2)(sin02dxnx)( , 0)sin()sin(0nmdxmxnx,)()(mnnmdxxx1,0,mnmnmn歸一正交由傅里葉級(jí)數(shù)可知：在由傅里葉級(jí)數(shù)可知：在 內(nèi)，任意奇函數(shù)可展開為：內(nèi)，任意奇函數(shù)可展開為：),0(a11)(sin2)(nnnnnxcaxncax完備完備5一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備

3、態(tài)（3 3）數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上： 為為完備性完備性。 11)(sin2)(nnnnnxcaxncax物理上：物理上： 是無限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)，為是無限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)，為態(tài)疊加原態(tài)疊加原理理的體現(xiàn)。的體現(xiàn)。 )(xn)(xn 由能量本征方程確定，構(gòu)成了體系的由能量本征方程確定，構(gòu)成了體系的基矢量基矢量。 如何確定如何確定 ？ nc*( ) ( )(,)nnncxx dx(,)nnnc 和 的內(nèi)積6一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（4 4）dxxxcnnn)()(),(*證明：由證明：由1)()(mmmxcx1*)()()()(mmmnndxxcxdxxxnmmnmmmnm

4、ccdxxxc11*)()(mnmndxxx)()(*其中：其中：7一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（5 5） 處于諧振子勢(shì)中的粒子，由能量本征方程確定的分立處于諧振子勢(shì)中的粒子，由能量本征方程確定的分立波函數(shù)：波函數(shù)： 構(gòu)成一組構(gòu)成一組正交、歸一、正交、歸一、完備完備的基矢。這是由的基矢。這是由 的正交、歸一性得到的。的正交、歸一性得到的。),()(2/22axHeAxnxann)(xHn 可以證明：可以證明： 具有完備性，即可將任意函數(shù)用具有完備性，即可將任意函數(shù)用 展開：展開：即：即：mnmndxxx)()(*)(xn)(xn1)()(nnnxcx 根據(jù)根據(jù)態(tài)疊加原

5、理態(tài)疊加原理： 就是粒子在諧振勢(shì)就是粒子在諧振勢(shì) 下的態(tài)。下的態(tài)。)(x2)(2KxxV8一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（6 6） 結(jié)論：由能量本征方程解出的結(jié)論：由能量本征方程解出的 ，通常被稱為態(tài)，通常被稱為態(tài)矢量，也稱矢量，也稱基矢基矢，它們是，它們是正交、歸一、完備正交、歸一、完備的。無論在無的。無論在無限深方勢(shì)阱還是諧振子中，粒子的量子態(tài)限深方勢(shì)阱還是諧振子中，粒子的量子態(tài) 都可以用都可以用這一組這一組正交、歸一、完備正交、歸一、完備的基矢展開：的基矢展開：)(xn)(x1)()(nnnxcx其中展開系數(shù)：其中展開系數(shù)：dxxxcnnn)()(),(*粒子處于

6、某一態(tài)矢粒子處于某一態(tài)矢 的的概率概率為：為：)(xn22),(nnc 同時(shí)要同時(shí)要注意注意：也是粒子具有態(tài)矢：也是粒子具有態(tài)矢 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的能量能量 的的概率概率。)(xnnE9二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(1)(1) 1 1、定態(tài)：、定態(tài)：薛定諤方程：薛定諤方程：),(),(2),(22trtrVmtrti若若 不顯含不顯含 ，則有，則有),(trVt)/exp()(),(iEtrtrE 若已知若已知 時(shí)體系處于某一個(gè)能量本征態(tài)時(shí)體系處于某一個(gè)能量本征態(tài) ，則在則在 后，體系狀態(tài)為后，體系狀態(tài)為 通常稱這樣的態(tài)為通常稱這樣的態(tài)為定態(tài)定態(tài)。由定

7、態(tài)描述的粒子狀態(tài)，測(cè)量其由定態(tài)描述的粒子狀態(tài)，測(cè)量其能量時(shí)，得到確定值能量時(shí)，得到確定值 。0t)(rE0t)/exp()(),(iEtrtrE 2 2、簡(jiǎn)并：、簡(jiǎn)并： 如果系統(tǒng)的能級(jí)是分立的，即如果系統(tǒng)的能級(jí)是分立的，即 ，若對(duì)同一個(gè)能，若對(duì)同一個(gè)能級(jí)，有兩個(gè)及其以上的本征函數(shù)與其對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)能級(jí)級(jí)，有兩個(gè)及其以上的本征函數(shù)與其對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)能級(jí)是是簡(jiǎn)并簡(jiǎn)并的。的。nEE )/exp()()/exp()(:11111tiErtiErEEEE10二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)( (2)2)., 0, 0;0),sin(2)(axxaxaxnaxn

8、22222manEEn, 3 , 2 , 1 n例一、一維無限深方勢(shì)阱中粒子的能量本征值和本征態(tài)為：例一、一維無限深方勢(shì)阱中粒子的能量本征值和本征態(tài)為：一個(gè)能量本征值一個(gè)能量本征值 對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài) ：非簡(jiǎn)并：非簡(jiǎn)并nE)(xn例二、一維諧振子的能量本征值和本征態(tài)為：例二、一維諧振子的能量本征值和本征態(tài)為：,)2/1(nEEn),()(2/22axHeAxnxann, 3 , 2 , 1 , 0 n一個(gè)能量本征值一個(gè)能量本征值 對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài) ：非簡(jiǎn)并：非簡(jiǎn)并nE)(xn11二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)( (3)3) 3

9、 3、宇稱：、宇稱：函數(shù)在函數(shù)在空間反演空間反演下表現(xiàn)出的特性。下表現(xiàn)出的特性。 定義空間反演算符定義空間反演算符 ：P)()(xxP若：若： 則稱則稱 具有確定的具有確定的)()()()()()(xxxPxxxP)(x 偶宇稱偶宇稱奇宇稱奇宇稱例：例：cos( )cos()cos( )Pxxx 偶宇稱偶宇稱奇宇稱奇宇稱)sin()sin()sin(xxxP注意：注意：一般的函數(shù)沒有確定的宇稱！一般的函數(shù)沒有確定的宇稱！12二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)( (4)4) 4 4、定態(tài)薛定諤方程、定態(tài)薛定諤方程 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為 的粒子沿的粒子沿 軸運(yùn)

10、動(dòng)，勢(shì)能為軸運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為m),(txV 一般情況下：一般情況下： 若若 ，則，則 時(shí)，粒子時(shí)，粒子處于定態(tài)處于定態(tài) ： 則有：則有： x 粒子波函數(shù)所滿足的方程為：粒子波函數(shù)所滿足的方程為：),(),(2),(222txtxVxmtxti*VV )(),(xVtxV0t)/exp()(),(iEtxtx)()()(2222xExxVdxdm 稱其為定態(tài)薛定諤方程，也就是能量本征方程。稱其為定態(tài)薛定諤方程，也就是能量本征方程。 13二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(5)(5) 七個(gè)定理：七個(gè)定理： 定理定理1 1：設(shè)設(shè) 是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的

11、是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的能量本征值為能量本征值為 ， 則則 也是能量本征方程的一個(gè)解，也是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的能量本征值為其對(duì)應(yīng)的能量本征值為 。 )(xE)(*xE【證證】對(duì)能量本征方程取復(fù)共軛，并注意到對(duì)能量本征方程取復(fù)共軛，并注意到 ，有：，有：*VV )()()(2*222xExxVdxdm 所以所以 也是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的也是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的能量本征值為能量本征值為 。)(*xE14二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(6)(6) 推論推論: : 對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值 ，若對(duì)應(yīng)

12、的能量本，若對(duì)應(yīng)的能量本征方程的解征方程的解 不簡(jiǎn)并，則這個(gè)解可取為實(shí)函數(shù)。不簡(jiǎn)并，則這個(gè)解可取為實(shí)函數(shù)。)(xE【證證】： 是能量本征方程對(duì)應(yīng)是能量本征方程對(duì)應(yīng) 的一個(gè)解，根據(jù)定理的一個(gè)解，根據(jù)定理1， 也是對(duì)應(yīng)也是對(duì)應(yīng) 的一個(gè)解，若能級(jí)不簡(jiǎn)并，則的一個(gè)解，若能級(jí)不簡(jiǎn)并，則 和和 對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)量子態(tài)：對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)量子態(tài)：)(x)(*xEE)(x)(*x)()()()()(*2*xCxCxxCx)()(101*2xxCeCCi令 所以所以 為實(shí)函數(shù)。為實(shí)函數(shù)。)(x15二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(7)(7) 定理定理2 2：設(shè)設(shè) 是能量本征

13、方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)于能是能量本征方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值量的某個(gè)本征值 ，總可以找到能量本征方程的一組實(shí)解，總可以找到能量本征方程的一組實(shí)解，凡是屬于的凡是屬于的 任何解，均可表示為這一組實(shí)解的線性疊任何解，均可表示為這一組實(shí)解的線性疊加。加。)(xEE【證證】設(shè)設(shè) 是能量本征方程屬于是能量本征方程屬于 的解，的解， 如果如果 實(shí)數(shù)域，實(shí)數(shù)域， 不談。不談。)(xE)(x)(21)(21)(xxx 如果如果 復(fù)數(shù)域，由定理復(fù)數(shù)域，由定理1， 也是能量本征也是能量本征方程屬于方程屬于 的解。的解。 )(x)(*xE16二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)

14、的一般性質(zhì)(8)(8) 根據(jù)線性微分方程的疊加原理，這兩個(gè)函數(shù)也是方程根據(jù)線性微分方程的疊加原理，這兩個(gè)函數(shù)也是方程屬于屬于 的解，即：的解，即：)()()( ),()()(*2*1xxixxxxE)()(21xx和)(21)(21ix)(21)(21*ix得證。得證。令：令： 均為實(shí)數(shù)函數(shù)，從中可得到：均為實(shí)數(shù)函數(shù)，從中可得到：),()()(211222xExxVdxdm)()()(222222xExxVdxdm17二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(9)(9) 定理定理3 3：設(shè)設(shè) 具有確定的偶宇稱，即具有確定的偶宇稱，即 如果如果 是能量本征方程

15、對(duì)應(yīng)于能量本征值是能量本征方程對(duì)應(yīng)于能量本征值 的解，的解，則則 也是方程對(duì)應(yīng)于也是方程對(duì)應(yīng)于 的解。的解。)(xV)()(xVxV)(xE)( xE 【證證】 是方程是方程的解，令的解，令 注意到注意到 ， )(x)()()()(2222xExxVxdxdmxx)()(xVxV2222)(dxdxdd 有：有： )()()()(2222xExxVxdxdm 也是方程對(duì)應(yīng)于也是方程對(duì)應(yīng)于 的解。的解。)( xE18二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(10)(10) 推論推論 : :設(shè)設(shè) 是能量本征方程對(duì)應(yīng)于能量本征值是能量本征方程對(duì)應(yīng)于能量本征值 的解

16、，如果的解，如果 ，若，若 無簡(jiǎn)并，則無簡(jiǎn)并，則 具有具有確定的宇稱。確定的宇稱。)(xE)()(xVxV)(x)(x 【證證】由定理由定理3，若，若 ，則，則 和和 都都是方程是方程 屬于屬于 的解，的解， )()(xVxV)(x)( x)()()()(2222xExxVxdxdmE 無簡(jiǎn)并，則無簡(jiǎn)并，則 和和 必然對(duì)應(yīng)同一量子態(tài)，必然對(duì)應(yīng)同一量子態(tài)，)(x)(x)( x即：即： 另一方面，另一方面，)()(xcx)()()(xcxxP)()()(22xcxPcxP但但)()()(2xxPxP1, 12cc即具有確定的宇稱。具有確定的宇稱。)(x19二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、

17、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(11)(11) 定理定理4 4：設(shè)設(shè) ，則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征，則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征值值 。總可以找到能量本征方程的一組解，其中的每個(gè)解。總可以找到能量本征方程的一組解，其中的每個(gè)解都有確定的宇稱，而屬于都有確定的宇稱，而屬于 的任何解，都可用它們來展開。的任何解，都可用它們來展開。)()(xVxV)(xE)( xEE【證證】設(shè)設(shè) 是能量本征方程屬于是能量本征方程屬于 的解，的解，由定理由定理3 3， 也是方程屬于也是方程屬于 的一個(gè)解。的一個(gè)解。E)()(xVxVE令：令：)()()( ),()()(xxxgxxxf)( x則則 和和 也是方程屬于也

18、是方程屬于 的解，且的解，且)(xf)(xgE)()(xfxf)()(xgxg 具有確定的具有確定的宇稱宇稱。屬于。屬于 的解的解 和和)(x可以用可以用 和和 來展開：來展開：)(xf)(xg)()(21)(xgxfx)()(21)(xgxfx20二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(12)(12)處是連續(xù)的在處是連續(xù)的，因而在有限）（的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)求積分：程在發(fā)生跳變，此時(shí)可對(duì)方處，在必定是連續(xù)的。和連續(xù)的區(qū)域，在【證】對(duì)方程axxaxxxxVEaadxxxVEmdxxdxdaxxxVaxxxxVxxVEmxdxdxdxdaaaa)()()()(0)0

19、()0()()(2)()()()()()(),()(2)()( 200222limlim定理定理5 5：)(xVa1V2Vx0點(diǎn)必定是連續(xù)的。在及其導(dǎo)數(shù)則能量本征函數(shù)有限，若設(shè)axxVVaxVaxVxV)()(,;,)( 122121二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(13)(13)處是連續(xù)的。在處是連續(xù)的在，若處是連續(xù)的在和，【證】由定理處是連續(xù)的。在時(shí)則當(dāng)為能量本征函數(shù)，有限，若設(shè)axaxxxxaxxxaxxxVVaxVaxVxV/)(ln)(/ )(0)()()(5)(ln ,0)()(,;,)(1221 推論推論 :22二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本

20、征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(14)(14)定理定理6 6： 22121211221122121211221122112212122212100)()(60)(0) 1 ()2()2(, 0)(2) 1 (, 0)(2常數(shù)束縛態(tài)，則是和常數(shù)，又，有【證】由定理。都是束縛態(tài)，則和解，若的同一能量均為能量本征方程屬于和推論：設(shè)常數(shù)，得到【證】按假設(shè)EVEmVEm常數(shù)。則的解，同一能量均為能量本征方程屬于和設(shè)122121)()(Exx23二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(15)(15) 定理定理7 7：設(shè)粒子在無奇點(diǎn)勢(shì)場(chǎng)設(shè)粒子在無奇

21、點(diǎn)勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，若存在束縛中運(yùn)動(dòng)，若存在束縛態(tài)，則必定不簡(jiǎn)并。態(tài)，則必定不簡(jiǎn)并。另行討論。有奇點(diǎn)，則在奇點(diǎn)處要如果級(jí)不簡(jiǎn)并。代表同一量子態(tài)，即能和，得到，兩邊同除推論，有束縛態(tài)，由定理的兩個(gè)量是能量本征方程屬于能和【證】設(shè))(/ln/ln0)/(ln/6 2121212121221121122121xVCCCE)(xV24三三、有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中的束縛態(tài)有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中的束縛態(tài)(1)(1) 設(shè)：設(shè)：. 2/|,; 2/|, 0)(0axVaxxV2a)(xVx00V0V2aE粒子能量；條件粒子能量；條件E00VE 2/|ax 阱外區(qū)域阱外區(qū)域 ， 能量本征方程寫為：能量本征方程寫為：0)()(2)(0222xEVmxdxd. 2/,; 2/,)(