高中數(shù)學(xué)與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題(二 ) 與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題1圓錐曲線的弦長求法設(shè)圓錐曲線C f(x ， y)=0 與直線 l y=kx+b 相交于A(x1 ， y1) 、 B(x 2， y2) 兩點，則弦長|AB| 為：(2)若弦 AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|A 、 B 兩點，旦 |AB|=8 ，求傾斜角 分析一：由弦長公式易解由學(xué)生演板完成解答為：拋物線方程為x2=-4y ，焦點為 (0 ， -1)設(shè)直線 l 的方程為y-(-1)=k(x-0)，即 y=kx-1 將此式代入x2=-4y 中得： x2+4kx-4=0 x1+x 2

2、=-4 ， x1+x2=-4k k= ± 1|AB|= -(y1+y 2)+p=-(kx1-1)+(kx 2-1)+p=-k(x1+x 2)+2+p 由上述解法易求得結(jié)果，由學(xué)生課外完成2與圓錐曲線有關(guān)的最值( 極值 ) 的問題在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點是要考慮曲線上點坐標(biāo) (x ， y) 的取值范圍學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 2已知 x2+4(y-1) 2=4，求：(1)x 2+y2 的最大值與最小值；(2)x+y 的最大值與最小值解(1) ：將 x2+4(y-1)2=4 代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y

3、 2+8y由點 (x ，y) 滿足 x2+4(y-1)2=4知：4(y-1) 2 4即|y-1| 1 0 y 2當(dāng) y=0 時， (x2+y 2)min=0 解(2) ：分析：顯然采用(1) 中方法行不通如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4 中得關(guān)于 y 的一元二次方程，借助于判別式可求得最值令 x+y=u ，則有 x=u-y 代入 x2+4(y-1)2=4 得：5y2-(2u+8)y+u2=0又 0 y 2， ( 由 (1) 可知 )-(2u+8)2-4× 5× u2 0學(xué)習(xí)必備歡迎下載3與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證

4、明方法，以及定點、定值問題的判斷方法例 3在拋物線 x2 4y 上有兩點 A(x 1， y1) 和 B(x2 ， y2) 且滿足 |AB|=y 1+y2+2，求證：(1)A 、 B 和這拋物線的焦點三點共線；證明：(1)拋物線的焦點為F(0 ， 1) ，準(zhǔn)線方程為y=-1 A 、 B 到準(zhǔn)線的距離分別 d1 y1+1 ， d2=y2+1( 如圖 2 46 所示 ) 由拋物線的定義：|AF|=d 1=y1+1， |BF|=d2=y 2+1 |AF|+|BF|=y1+y 2+2=|AB| 即 A、 B、 F 三點共線(2)如圖 2 46，設(shè) AFK= |AF|=|AA1|=|AK|+2學(xué)習(xí)必備歡迎

5、下載=|AF|sin +2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sin 小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題解決的關(guān)鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)4圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯(lián)立后，用0 來處理但用不可靠的解決這類問題：方法 1，由“ 0”與直觀圖形相結(jié)合；方法 2，由“ 3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法 ( 以后再講 ) 0 來判斷雙圓錐曲線相交問題是0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法實數(shù) a 的取值范圍可得： y2=2(1-a)y+a2-4=0 =4(1-a)2-4(a 2-4) 0，如圖 2 47，可知：學(xué)習(xí)必備歡迎下載(三 ) 鞏固練習(xí)2已知圓 (x-1)2+y2

6、=1 與拋物線 y2=2px 有三個公共點，求 P 的取值范圍頂點請三個學(xué)生演板，其他同學(xué)作課堂練習(xí)，教師巡視解答為：1設(shè) P 的坐標(biāo)為 (x ， y) ，則學(xué)習(xí)必備歡迎下載2由兩曲線方程消去y 得： x2-(2-2P)x=0解得： x1=0 ， x2=2-2P 0 x2， 0 2-2P 2，故 P 的取值范圍為 (0 ，1) 即 0P1四個交點為A(4 ， 1) ， B(4 ，-1) ， C(-4 ， -1) ， D(-4 ， 1) 所以 A、 B、 C、 D 是矩形的四個頂點1一條定拋物線C1 y2=1-x 與動圓 C2 (x-a)2+y2=1 沒有公共點，求 a 的范圍2求拋線y=x2 上到直線y=2x-4 的距離為最小的點P 的坐