高中數(shù)學(xué)中的不等式

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載高中數(shù)學(xué)中的不等式（一）目錄前言（一）不等式的概念（二）不等式的基本性質(zhì)（三）不等式的分類(lèi)（四）常用不等式介紹（五）重要不等式介紹（六）兩個(gè)重要的工具（七）不等式的證明例題介紹（八）不等式的解法例題介紹（九）不等式的應(yīng)用例題介紹（十）綜述軟件（數(shù)學(xué)公式編輯器，幾何畫(huà)板，lingo,matalab 等）正文：一不等式的概念不等式在我們的日常生活中很常見(jiàn)，它是與等式相對(duì)的一個(gè)概念。為了給不等式一個(gè)確切的概念，下面我介紹一下集合論的簡(jiǎn)單知識(shí)。“集合論創(chuàng)始人Cantor 稱(chēng)集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西，人們能夠意識(shí)到，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體?！?1

2、定義 1：如果 a是集合 A 的元素，則稱(chēng)a屬于 A ，記作 aA，反之 , 如果 a不是集合 A 的元素，則稱(chēng) a不屬于 A，記作 a A 。 2定義 ：如果集合A和B的元素完全相同，則稱(chēng)A和 相等，記作AB，如果集合A2B中的每一個(gè)元素都是集合 B中的元素，稱(chēng) A 包含于 B，記作 AB（當(dāng) B中還有不屬于集合A的元素，則稱(chēng)A真包含于B，記作A）。 3B列出集合的元素的方式，一般采用枚舉法、描述法和歸納法。其實(shí)我們可以將不等式歸為一類(lèi)集合，如下：U 不等式 f ( x1 , x2 , x3 ,.) 0或者 f ( x1, x2 , x3 ,.) 0 | f ( x1 , x2, x3 ,.

3、)為一個(gè)定義在實(shí)數(shù)集 R上的函數(shù) 。一般地，在數(shù)學(xué)上，不等式表明兩個(gè)對(duì)象的大小或者順序的二元關(guān)系。不等關(guān)系主要有四優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載種：ab , 即 a 小于bab , 即 a 大于b上述兩個(gè)屬于嚴(yán)格不等。ab , 即 a 小于等于bab , 即 a 大于等于bab , 即 a 不等于b將兩個(gè)表達(dá)式用不等符號(hào)連起來(lái)， 就構(gòu)成了 不等式。 若不等關(guān)系對(duì)變量的所有元素都成立，則稱(chēng)其為“絕對(duì)的”或“無(wú)條件的” 。若不等關(guān)系只對(duì)變量的部分取值成立，而對(duì)另一部分將改變方向或失效，則稱(chēng)為條件不等。我們現(xiàn)在就引入集合的幾種運(yùn)算，從集合理論中來(lái)對(duì)它進(jìn)行更深刻的認(rèn)識(shí)。定義 3.1：集合A與集合B的并集記為AB

4、，而AB x | x A或者 xB；定義 3.2 ：集合A與集合B的交集記為AB，而AB x | x A且 xB ；定義 3.3：集合A與集合 B的差集記為A-B ，而A-B x | x A且 xB 。根據(jù)上面的定義，我們就可以推出下面的運(yùn)算性質(zhì)：定理 1：設(shè) E 為全集，則對(duì)任意子集A,B,C 而言，我們有如下的結(jié)論：（1）并的交換律： AB=BA；（2）交的交換律： AB=BA；（3）并的結(jié)合律： A(BC)=(AB)C；（4）交的結(jié)合律： A(BC)=(AB)C；（5）并對(duì)交的分配律：A(BC)=(AB)（6）交對(duì)并的分配律：A(BC)=(AB)（7）零元： A=A， A=；（8）單位元

5、： AE=A， AE=E。(A(AC) ；C) ；它們的證明可以參看朱梧槚、肖奚安教授所著集合論導(dǎo)引25 頁(yè)的證明。要理解不等式，其實(shí)質(zhì)上是“不等”，我們就利用上面的知識(shí)來(lái)闡釋“不等”。當(dāng)然我們還要一個(gè)概念卡氏積，下面就來(lái)介紹卡氏積。首先，我們給出“序偶”的概念。1921 年， K.Kuratowsk 給出的定義，也是我們現(xiàn)在普遍采用的一種。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載定義 ：<>=, 。5x, yxx, y我們利用集合的定義及性質(zhì)，可以證明得出下面的定理。定理5：<>u,vx且。x, yu yv證明： <>u,v，則有, , 下面我們分兩種情況x, yxx, yu

6、 u,v進(jìn)行分類(lèi)討論：1）當(dāng)時(shí)則有=, 即<>=<>=, 于是得到 xy,xx, xx, yx, xxuu,vx= ，根據(jù)集合的定義，yu。uu, vxv2）當(dāng)時(shí)則有 ，于是,若 ，則，然后xy,xx, yxuu,vxuxu,得出；若 ，則，從而有 ,x, yu,vx, vyuxu,vx uvxx, y,即= ，矛盾。uu,vx,xx, y因?yàn)榍?，則 ， ，因此<>= , ,xuyvxux, yu,vx, yxx yuu, v。u,v定義 6：設(shè)兩個(gè)集合A， B，則 A與 B的卡氏積如下定義，記為AB，即A B x, y | x A且 y B上述定義表明卡氏

7、積AB是由序偶x , y所組成的集合。然而卡氏積這個(gè)概念與不等式的關(guān)系不大，如果我們將不等式中的“不等”單獨(dú)地提出來(lái)看，其實(shí)不等式中核心的部分是不等這個(gè)關(guān)系，因此我們需要“關(guān)系”這個(gè)數(shù)學(xué)概念。因此我們就用上面的所建立的卡氏積概念來(lái)定義，如下：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載定義 7：設(shè)兩個(gè)集合 A， B為，則把卡氏積AB的任意子集 R稱(chēng)為 A與 B的元素之間的一個(gè)關(guān)系，如果A=B，則稱(chēng)為 R為 A上的關(guān)系。 4根據(jù)定義，我們知道關(guān)系也是一個(gè)集合，那么“ 不等 ” 這個(gè)關(guān)系也是一個(gè)集合，然而我們限定的不等只是在實(shí)數(shù)上比較，而不是那種更廣義的“ 不等 ” 。接下來(lái)我們將介紹關(guān)系的運(yùn)算以及分類(lèi)。先來(lái)給出運(yùn)算的定

8、義：定義 7.1：設(shè) R1AB, R2BC ,則由 R1和 R2合成之由 A到 C的復(fù)合關(guān)系被 定義如下，并記為 R1R2，即R1R2 a,c| aA & cC &b(bB& a,bR1 & b, cR2 )它表示 R1R2AC，并對(duì)任意的 a A和 cC，a( R1R2 )cb(bB & aR1 b & bR2c)舉一個(gè)例子，當(dāng)A a, b, c ，則R1 a,b , a, c , c,b R2a,b ,b,c,c, a都是 A A上的二元關(guān)系，然而R1R2 a,b,a,c,c,bR2R1 b,b , b,c , c,a 顯然， R1R2R2

9、R1，所以在一般情況下，關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算是不可交換的。對(duì)于關(guān)系這個(gè)特殊的集合，它的特殊運(yùn)算性質(zhì)如下：定理 7.1 ：設(shè) R1A B,R2B C,R3C D,則R1 （R2R3）（ R1 R2） R3它的證明利用集合證明問(wèn)題的兩種普遍方法（利用集合運(yùn)算規(guī)則，或者利用集合的定義）得到，它表示的是關(guān)系的運(yùn)算滿足結(jié)合律。定理 7.2: 設(shè) R1AB, R2B C,R3B C，R4C D,則（1） R1 （R2R3） R1 R2R1 R3（2）（ R2 R3） R4R2R4R3R4實(shí)際上我們看到關(guān)系對(duì)于并運(yùn)算滿足分配律?，F(xiàn)在我們來(lái)對(duì)關(guān)系的運(yùn)算進(jìn)行說(shuō)明，首先定義六個(gè)基本的二元關(guān)系的特性，依次為自反性，反自反

10、性，對(duì)稱(chēng)性，反對(duì)稱(chēng)性，擬反對(duì)成性和可傳性，然后而我們利用這些特性來(lái)對(duì)關(guān)系分類(lèi)。關(guān)系的這些特性是從實(shí)際生活中抽象出來(lái)寫(xiě)成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，現(xiàn)在就列在下面：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載定義 8.1：集合 A上的二元關(guān)系 R按如下方式而被定義為自反的，并記為 R ref ,即Rref a(aAa, aR).定義 8.2：集合 A上的二元關(guān)系 R按如下方式而被定義為反自反的，并記為 R irref , 即Rirref a(aAa, aR).定義 8.3：集合 A上的二元關(guān)系 R按如下方式而被定義為對(duì)稱(chēng)性的，并記為 R sym, 即(aA&b A&,bR,R).R syma bab a定義 8.4：集合

11、 A上的二元關(guān)系 R按如下方式而被定義為反對(duì)稱(chēng)性的，并記為 R asym,即Rasymab(aA & bA&a, bR&b, aRab).定義 8.5：集合 A上的二元關(guān)系 R按如下方式而被定義為擬反對(duì)稱(chēng)性的，并記為 R imasym, 即(aA&&,bR,R).Rimasyma bb Aab a定義 8.6：集合 A上的二元關(guān)系 R按如下方式而被定義為傳遞性的，并記為 R tra , 即R tra a bc(aA & bA & cA&a, bR&b,cRa, cR).上面所列舉的特性對(duì)于“不等式”中的不等關(guān)系是成立的，由

12、于等式與不等式相對(duì)應(yīng)，先給出一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系等價(jià)關(guān)系。定義 9.1：如果集合 A上二元關(guān)系 R滿足下述條件，則 R被定義為 A上之等價(jià)關(guān)系，并記為 R ，即RRAA & Rref & Rsym & Rtra 我們現(xiàn)在能夠理解“=”是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)椤?”滿足自反性，對(duì)稱(chēng)性，傳遞性。那么，“不等”的性質(zhì)在下面作出詳細(xì)的介紹：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載定義 9.2：非空集合 A上的二元關(guān)系 R如果滿足下述條件，則 被定義為 A上的偏序關(guān)系：RAA & Rref & R asym & R tra我們經(jīng)常用表示偏序關(guān)系。下面我 們定義一個(gè)稱(chēng)作全序的 概念：定義：非

13、空集合 上的偏序關(guān)系 如果滿足下述條件，則 被定義為 上的全序9.2ARA關(guān)系：RAA &ab(a A & b A或者）a bab我們經(jīng)常用表示全序關(guān)系，顯然我們能 夠得出這樣的結(jié)論 全序一定是偏序，這里舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明 這一點(diǎn)：正整數(shù)集合 N 上的整除關(guān)系 | 上偏序關(guān)系，不是全序 ，這里用（ N ，|）來(lái)表示。下面給出 | 關(guān)系在 N 的定義： m, n N ，若 n k m，其中 k N ，則 m | n，記作 m，n |?，F(xiàn)在來(lái)驗(yàn)證 | 滿足偏序的幾個(gè)條件， （1）自反性，因?yàn)?n N ，n 1 n，則n, n|；（ ）反對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)n, mN，m,nN，即，有m，2n

14、| mk nm | n有，k , l N，則k l，故k=l。（ 3）傳遞性，如果 <|， <即n l m1 k =l =1n,mm, s|,，有，則，即n | s, n,s|,因此滿足傳遞性。n | m m | sm k n s l ms k l n|下面我們來(lái)舉例子說(shuō)明不是全序關(guān)系，<3,7>| ， <7,3>| ，不滿足全序關(guān)系的定義。|根據(jù)上面集合理論，我們經(jīng)常使用的“不等”關(guān)系顯然的是屬于全序關(guān)系，現(xiàn)在我們給出一個(gè)稱(chēng)為嚴(yán)格全序關(guān)系的定義：定義：非空集合上的二元關(guān)系，如果滿足下述條件，則被定義為上的嚴(yán)格偏序：9.3ARA&&R A A

15、 Rimasym Rtra 定義：非空集合上的嚴(yán)格偏序 <，如果滿足下述條件，則被定義為上的嚴(yán)格全序：9.4AA<A A&ab(a A & b&或< ><)A a ba,bb, a現(xiàn)在我們可以將不等式大致地分為兩類(lèi)，一類(lèi)是用“<”或“ >”表示的不等式，它顯然的是屬于嚴(yán)格全序關(guān)系；另一類(lèi)是用“”或“”表示的不等式 ，它屬于全序關(guān)系。因此我們就可以定義不等式了，即兩個(gè)代數(shù)式滿足全序關(guān)系。根據(jù)上面的介紹，可以得出不等式的基本性質(zhì)。二不等式的基本性質(zhì)1)對(duì)稱(chēng)性： abab;2) 傳遞性：若 ab,bc,則 ac;上面兩個(gè)性質(zhì)是直接可以

16、利用全序關(guān)系之直接得出，而我們特別的注意到全序關(guān)系的特殊性，因此我們有：若 ab， ba，則 ab.（ ）下面對(duì)于運(yùn)算有另一些性質(zhì)：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3)加法保序性：若ab,則ac b；c4)乘正數(shù)保序性：若ab, c0,則ac。bc我們可利用這四條性質(zhì)導(dǎo)出更多的式子，例如下面一些：若ab, c則acbc;1)0,2)若ab,cd,則acbd;3)若ab0,cd0,則acbd;114)若ab0,n N ,則 anbn , anbn .我們列舉兩個(gè)例子來(lái)進(jìn)行證明：1)是明顯，因?yàn)?- c0,可以利用基本性質(zhì) 4）得到，- acbc,再利用基本性質(zhì)3）兩邊同時(shí)加上 bc,得到 bcac0,同理可

17、以得到，兩邊再加上 ac，得到結(jié)論。4）先要證明 3）是正確的，由基本性子 4）， ac bc, bcbd ,再利用基本性質(zhì)2）得到結(jié)論，1于是，就有 a 2b2 ,依次類(lèi)推可以得到anbn , 對(duì)于另一個(gè)結(jié)論，我們做一種轉(zhuǎn)化，令 c a n ,1dbn , 就是要證明 cd,因?yàn)?c nd n ,如果 0c d ,利用第一個(gè)結(jié)論得到c nd n , 則得到矛盾。從而結(jié)論成立。三 不等式的分類(lèi)在世界上，不等關(guān)系遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于相等關(guān)系，而我們知道關(guān)系是可以進(jìn)行分類(lèi)的，下面我們介紹幾重分類(lèi)方式，以幫助學(xué)生進(jìn)行更好的記憶及應(yīng)用。我們知道，對(duì)關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)，我們需要對(duì)集進(jìn)行全面的了解，而不等式是如此之多，但我

18、們很容易的得出一種分類(lèi)方式，及利用全序與非全序得到兩種不等式，根據(jù)它們自身的性質(zhì)，其中區(qū)別是全序具有即當(dāng) ab,ba,則 ab，對(duì)于“”關(guān)系不成立。然而這樣的分類(lèi)并沒(méi)有怎樣在學(xué)生學(xué)習(xí)有任何大的幫助，于是我們探求更好的分類(lèi)的方式。在高中階段，學(xué)習(xí)的都是初等不等式，一般書(shū)上都是分成幾類(lèi)經(jīng)典的不等式，如均值不等式、幾何不等式、柯西不等式、琴生不等式等，這樣的分類(lèi)能夠讓學(xué)生更加容易掌握并應(yīng)用。但是它并沒(méi)有將初等的不等式進(jìn)行完整的概括。為了更全面的認(rèn)識(shí)，首先引進(jìn)函數(shù)的概念，因?yàn)椴坏仁降膬啥丝梢钥醋饕粋€(gè)函數(shù)，例如" a 2b22ab" ,我們可以看作是函數(shù)f ( x, y)x 2y2與

19、函數(shù) g (x, y)2xy,即f ( x, y)g( x, y).現(xiàn)在我將對(duì)初等函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，如下：多項(xiàng)式函數(shù)：（常數(shù)函數(shù)看作是零多項(xiàng)式函數(shù)）指數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：三角函數(shù)：反三角函數(shù)：因此我將根據(jù)初等函數(shù)來(lái)對(duì)不等式進(jìn)行分類(lèi)，高中不等式的種類(lèi)大概可以分成優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1234531種。C5C5C5C 5 C5這樣，我們就可以很容易的將所有初等多項(xiàng)式做完整的分類(lèi)。這里再提出一類(lèi)重要不等式，絕對(duì)值不等式，它可以由我們的多項(xiàng)式函數(shù)表示出來(lái)，如y| x |x2。還有我們所熟知的數(shù)列不等式，以及組合不等式，我們可以看作他們的定義域是在 N 上的函數(shù)，例如S(n)n( n1) 等。2現(xiàn)在我們來(lái)證明我

20、們的分類(lèi)是成立的。首先，我們記為多項(xiàng)式函數(shù)類(lèi)，L為指數(shù)函數(shù)類(lèi)，為對(duì)數(shù)函數(shù)類(lèi)，三角函L 12LL數(shù)類(lèi)，為反三角函數(shù)類(lèi),L12表示含有指數(shù)函數(shù)與多 項(xiàng)式函數(shù)類(lèi)，依次類(lèi)推 ，就L可以將類(lèi)表示出來(lái)。31現(xiàn)在我們來(lái)進(jìn)行證明，L i 1i 2i 3i 4 i5L j1 j2 j3 j 4 j5，其中i（注：1i 2 i 3 i 4 i 5j1 j 2 j 3 j4 j5i 1i 2i 3i 4i 5沒(méi)有次序，例如， 是相同的，與 也是相同的）如果L i1i2 i 3i4 i 5L j1 j2 j3 j4 j 513 3111313，那么存在一個(gè)元素 xL iiiii 且xL jjjjj ，即x這個(gè)不等式中必然存在 既有1234512345L i，L i2，L i， L i， L i，以及 L j， L j，L j，L j，L j5中的元素（注： L i，L i，L i i，L i5可能有相同的元素， L