高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用高考要求函數(shù)的連續(xù)性是新增加的內(nèi)容之一它把高中的極限知識(shí)與大學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)在一起在高考中， 必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個(gè)熱點(diǎn)本節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)闡述這一塊知識(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系重難點(diǎn)歸納1 深刻理解函數(shù) f(x)在 x0 處連續(xù)的概念等式 lim f(x)= f(x0)的涵義是x x0(1)f(x0)在 x=x0 處有定義，即f(x0)存在；(2) lim f(x)存在，這里隱含著 f(x)在點(diǎn) x=x0 附近有定義；x x0(3)f(x)在點(diǎn) x0 處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值，即 lim f(x)= f(x0)函數(shù) f(x)在 x0 處

2、連續(xù)，x x0反映在圖像上是f(x)的圖像在點(diǎn)x=x0 處是不間斷的2 函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 不連續(xù)，就是 f(x) 的圖像在點(diǎn) x=x0 處是間斷的其情形(1)limf(x)存在； f(x0)存在，但 lim f(x) f(x0);xx0xx0(2)limf(x)存在，但 f(x0)不存在(3) lim f(x)不存在xx0x x03由連續(xù)函數(shù)的定義， 可以得到計(jì)算函數(shù)極限的一種方法如果函數(shù) f ( x) 在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的， 點(diǎn) x0 是定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，那么求 xx0 時(shí)函數(shù) f ( x) 的極限，只要求出 f ( x)在點(diǎn) x0 處的函數(shù)值 f ( x0) 就可以了，即 lim

3、f ( x)= f ( x0)x x0典型題例示范講解x24例 1 已知函數(shù) f(x)=,x2(1)求 f(x)的定義域，并作出函數(shù)的圖像；(2)求 f(x)的不連續(xù)點(diǎn) x0;(3)對 f(x)補(bǔ)充定義，使其是 R 上的連續(xù)函數(shù)命題意圖函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點(diǎn)處的連續(xù)性在函數(shù)圖像上有最直觀的反映因而畫函數(shù)圖像去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法知識(shí)依托本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點(diǎn)是能準(zhǔn)確畫出它的圖像錯(cuò)解分析第 (3)問是本題的難點(diǎn)，考生通過自己對所學(xué)連續(xù)函數(shù)定義的了解應(yīng)明確知道第 (3)問是求的分?jǐn)?shù)函數(shù)解析式技巧與方法對分式化簡變形，注意等價(jià)性，觀察圖像進(jìn)行解答解

4、(1)當(dāng) x+2 0 時(shí)，有 x 2因此，函數(shù)的定義域是( , 2) ( 2,+)2當(dāng) x 2 時(shí)， f(x)= x4=x2,x2其圖像如上圖(2)由定義域知，函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)是x0= 2(3)因?yàn)楫?dāng) x 2 時(shí)， f(x)=x 2,所以 limf ( x)lim( x 2) = 4x2x2x242)因此，將 f(x)的表達(dá)式改寫為 f(x)= x( x24( x2)則函數(shù) f(x)在 R 上是連續(xù)函數(shù)例2求證方程 x=asinx+b(a0,b 0)至少有一個(gè)正根，且它不大于a+b命題意圖要判定方程 f(x)=0 是否有實(shí)根即判定對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖像是否與x 軸有交點(diǎn)，因此根

5、據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖像上的兩點(diǎn)，滿足一點(diǎn)在x 軸上方，另一點(diǎn)在 x 軸下方即可本題主要考查這種解題方法知識(shí)依托解答本題的閃光點(diǎn)要找到合適的兩點(diǎn)，使函數(shù)值其一為負(fù)，另一為正錯(cuò)解分析因?yàn)楸绢}為超越方程， 因而考生最易想到畫圖像觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡便作用證明設(shè) f(x)=asinx+b x,則 f(0)= b 0,f( a+b)=a· sin(a+b)+b (a+b)=a sin(a+b) 1 0,又 f(x) 在(0,a+b內(nèi)是連續(xù)函數(shù)， 所以存在一個(gè) x0 (0,a+b，使 f(x0)=0, 即 x0 是方程 f( x)=0的根，也就是方程x=a·

6、; sinx+b 的根因此，方程x=asinx+b 至少存在一個(gè)正根，且它不大于a+b3( x1)例 3已知函數(shù) f( x)=x( x 1)( 1x1)log 2 ( x1)(1x5)(1)討論 f(x)在點(diǎn) x= 1,0,1 處的連續(xù)性；(2)求 f( x)的連續(xù)區(qū)間解(1)lim f(x)=3,lim f(x)= 1,所以 lim f(x)不存在，x1x 1x1所以 f(x)在 x= 1 處不連續(xù)，但 lim f(x)= f( 1)= 1, limf(x) f( 1),x1x 1所以 f(x)在 x= 1 處右連續(xù)，左不連續(xù)limf(x)=3= f(1),lim f( x)不存在，所以 l

7、im f(x)不存在，x 1x1x 1所以 f(x)在 x=1 不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù)又 lim f(x)= f(0)=0, 所以 f(x)在 x=0 處連續(xù)x0(2)f(x)中，區(qū)間 ( , 1), 1,1,(1,5上的三個(gè)函數(shù)都是初等函數(shù)，因此f(x)除不連續(xù)點(diǎn) x=± 1 外，再也無不連續(xù)點(diǎn)，所以 f ( x) 的連續(xù)區(qū)間是 ( , 1), 1,1 和 (1,5學(xué)生鞏固練習(xí)1x1 在點(diǎn) x=0 處連續(xù)，則f(0) 等于 ()1 若 f(x)= 3 1x1A32C 1D 02B3x0x12設(shè) f(x)=1x1則 f(x) 的連續(xù)區(qū)間為 ()211x2A(0， 2)B(0， 1

8、)C(0， 1)(1， 2)D (1， 2)3x2ln( 2x )lim=_x 14arctan x11xx0 處處連續(xù)，則a 的值為 _4若 f(x)=xabxx012 x1( x0)5已知函數(shù) f(x)=12 x11( x0)(1) f(x)在 x=0 處是否連續(xù)？說明理由；(2)討論 f(x)在閉區(qū)間 1,0和 0,1上的連續(xù)性11x ( x 0)6 已知 f(x)=xabx( x0)(1)求 f( x);(2)求常數(shù) a 的值，使 f(x)在區(qū)間 ( ,+ )內(nèi)處處連續(xù)7 求證任何一個(gè)實(shí)系數(shù)一元三次方程 a0x3+a1x2+a2x+a3=0( a0,a1,a2,a3 R,a0 0) 至

9、少有一個(gè)實(shí)數(shù)根x( x1)8 求函數(shù) f( x)=1 ) ( x的不連續(xù)點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間log 2 ( x1)2參考答案1 解析( 1x 1)( 1 x 1) 3 (1 x) 23 1 x1f ( x)x 1) 3 (1 x) 2 3 1 x1 3 x 1(11(3 1 x) 23 1 x11x 1f (0)1113112答案A2解析limf (x)lim 11x 1x1limf ( x)limx 1, limf ( x)11 f (1)x 1x 1x12即 f(x) 在 x=1 點(diǎn)不連續(xù)，顯知 f(x)在 (0,1)和 (1,2) 連續(xù)答案 C3 解析利用函數(shù)的連續(xù)性，即limf ( x) f

10、(x0 ) ,x x0limx2sin( 2 x)12sin( 21)14 arctan14 arctan1x 1答案14.解析 : limf ( x)11x11limxlim2x 0x 0x 0 11 xlimf (x) lim (abx)0,1ax0x02答案12110)5解f(x)=1( x2 x11( x0)(1)limf(x)= 1,lim f(x)=1,所以 lim f(x)不存在，x01x0x0故 f(x) 在 x=0 處不連續(xù)(2)f(x)在 ( ,+ )上除 x=0 外，再無間斷點(diǎn)，由 (1)知 f(x)在 x=0 處右連續(xù)，所以 f(x)在 1，0上是不連續(xù)函數(shù)，在0,1上是連續(xù)函數(shù)1x1( x0)6 解 (1) f( x)=xabx( x0)(2)要使 f(x)在 ( ,+ )內(nèi)處處連續(xù)，只要f( x)在 x=0 連續(xù)，limf( x)=11x= limx11limxx(11lim2x 0x0x 0x ) x 0 1 1 xlimf( x)= lim(a+bx)=a,x 0x 0因?yàn)橐?f(x)在 x=0 處連續(xù)，只要 limf(x)= lim f(x)=lim1f(x)=f(0),所以 a=x 0x0x 027 證明設(shè) f(x)= a0x3+a1x2