應(yīng)用隨機(jī)過程4.1 更新過程

1、第四章第四章 1. 定義及若干性質(zhì)定義及若干性質(zhì) 2. 更新方程及其應(yīng)用更新方程及其應(yīng)用 3. 更新定理更新定理 4. Lundberg-Cramer 破產(chǎn)論破產(chǎn)論 5. 更新過程的推廣更新過程的推廣Renewal process4.1 更新過程的定義及若干分布更新過程的定義及若干分布4.1.1 更新過程的定義更新過程的定義首先回顧首先回顧 Poisson 過程過程. 12PoissonXX在過程中，相鄰事件發(fā)生的時(shí)間間隔，.是一列的隨機(jī)變量，此時(shí)的同分布是指他們服從同一個(gè)獨(dú)立同分布指數(shù)分布.定義定義3.3告訴我們告訴我們:我們作如下的一個(gè)我們作如下的一個(gè)推廣推廣: : 12XX .，保留，的

2、和，但獨(dú)立性同分布性任意是該分布是，不再僅僅是指數(shù)的分布的.由此得到的計(jì)數(shù)過程就是更新過程由此得到的計(jì)數(shù)過程就是更新過程, , 其定義如下其定義如下: :nn0nii 1nXnrF(x)F(0)1. T0TX .t0, N(t)= supnTt4.1 N(t)t 0 設(shè)，1是一列獨(dú)立同分布的非負(fù) .v.s,分布函數(shù)為，且令，對(duì)記， ，稱，定義 更為新過程.T2T3T4T5T1T6t0TX1X2X3X4X5X6圖示圖示:顯然，更新過程亦是一個(gè)計(jì)數(shù)過程，并且是顯然，更新過程亦是一個(gè)計(jì)數(shù)過程，并且是Poisson過程把時(shí)間間隔由指數(shù)分布推廣到一般分布的情形過程把時(shí)間間隔由指數(shù)分布推廣到一般分布的情形

3、.定義定義4.1定義的過程為什么被稱為更新過程呢？定義的過程為什么被稱為更新過程呢？ nn4.1Xn-1nTnN(t)t如果我們將事件發(fā)生一次稱為一次更新，那么定義中的就是第次和第 次更新的間隔時(shí)間，是第 次更新發(fā)生的時(shí)刻，而就是時(shí)刻之前發(fā)生的更新次數(shù).11220XTXT.t如在 時(shí)刻安裝一零件，并開始工作，經(jīng)過時(shí)間，在時(shí)刻發(fā)生損壞，立即換新的零件并開始工作，又經(jīng)過時(shí)間，在 時(shí)刻有壞掉了，同樣還第三個(gè)，依次下去，我們可以認(rèn)為這些零件的使用壽命是i.i.d.的，顯然到時(shí)刻為之所更換的零件數(shù)目就構(gòu)成一個(gè)更新過程.更新過程可以模擬機(jī)器零件更換更新過程可以模擬機(jī)器零件更換：我們先討論一下更新過程的一些

4、性質(zhì)我們先討論一下更新過程的一些性質(zhì)：4.1.2 N(t)的分布及的分布及EN(t)的性質(zhì)的性質(zhì)nini 11XTEX01nn 由，n1的獨(dú)立同分布性及強(qiáng)大數(shù)律，知 以概 ).率1成立。nnT 所以，當(dāng)時(shí)，換言之，無窮多次更新只能發(fā)生在無限長時(shí)間內(nèi),P(N(t) )=1 即在有限時(shí)間內(nèi)最多只能發(fā)生 有限次更新，從而 。nnn+1N(t)nTtN(t)nTtT兩個(gè)等價(jià)事件： ； 2). ； 下面我們來看下面我們來看N(t)的分布。的分布。nn+1nn+1nn+1iii=1i=1nn+1nP(N(t)n)=P(TtT)=P(Tt)P(Tt)=P(Xt)P(Xt) =FFFFn (t)-(t), 這

5、里 是 的 重卷積.接下來我們討論接下來我們討論EN(t)的性質(zhì)。的性質(zhì)。這里的EN(t)稱為更新函數(shù)更新函數(shù)，記作M(t). 注：注：更新函數(shù)更新函數(shù)M(t)就是更新過程就是更新過程N(yùn)(t),t0的均值函數(shù)，的均值函數(shù)，它不是一個(gè)它不是一個(gè)r.v.，而是關(guān)于，而是關(guān)于t的函數(shù)的函數(shù)。nni=1M( )Ftt ( )定1 理 4.ni=1nnnni=1i=1M( )EN( )P(N(t)n) P(T)F ( ). tttt 證明 M( )tt ,Mt是關(guān)于 不減的，且對(duì)0有 (t) 定理 4.N( )tM(t).M( ) tt 由于是關(guān)于 不減的，故也證明是不減的下證的有限性。 ii1iii111nii11iXi1(Xt)(Xt)(Xt)(Xt).F ( )P(Xt)P(Xt)=F( ) ,Xi1ninnniiinnniitt實(shí)際上，由，的非負(fù)性知，事件