基于數(shù)學三個世界理論的“導(dǎo)數(shù)概念”教學研究

1、 基于數(shù)學三個世界理論的“導(dǎo)數(shù)概念”的教學研究 高巧萍 (江蘇省第二師范學院如皋分院 江蘇 如皋 26500)摘要：形式化是數(shù)學的基本特征之一,但這會造成數(shù)學“冰冷的美麗”.數(shù)學三個世界理論將數(shù)學劃分為具體化、符號化、形式化三個不同的層次結(jié)構(gòu)，給教學帶來了極大的啟示.將該理論指導(dǎo)于教學實踐，有利于教學的返璞歸真，自然到達形式化的世界.關(guān)鍵詞：數(shù)學三個世界；導(dǎo)數(shù)概念；教學研究 Abstract: Formalization is one of the basic features of mathematics, but this will cause “icy beauty” of the ma

2、thematics. The theory of three worlds of mathematics can be classified into specification, signification and formalization, which brings great inspiration to teaching. Applying this theory to teaching can contribute to the recovering the original simplicity of mathematics, and reach the formalizatio

3、n naturally. Keyword: three worlds of mathematics ; the concept of derivative; research on teaching 1 問題的源起 普通高中數(shù)學課程標準（實驗）指出：形式化是數(shù)學的基本特征之一.在數(shù)學學習中，學習形式化的表達是一項基本要求，但不能只限于形式化的表達，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識1.這就給我們廣大一線教師提出了挑戰(zhàn)：數(shù)學形式化的特點導(dǎo)致了從某種意義上來說，數(shù)學學習就是學習一個形式系統(tǒng)，但這又會造成數(shù)學“冰冷的美麗”.那么如何返璞歸真，向?qū)W生揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程和本質(zhì)，并最終幫助學生自然到達

4、形式化的數(shù)學世界呢？Tall的三個世界理論很好地幫助我們解決了這一難題. 2 數(shù)學三個世界的理論說明2004年的國際數(shù)學教育大會上，英國Warwick大學教授David Tall以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)，從數(shù)學學習的認知特征出發(fā)，結(jié)合當代認知科學、新皮亞杰主義等相關(guān)研究成果提出了數(shù)學三個世界理論.該理論以中學生和大學生為研究對象，把數(shù)學認知劃分為三個世界2： 符號化化世界 具體化世界 形式化世界具體化世界以對具體的、形象的、可見的世界進行感知、行動為基礎(chǔ)，用一定的語言描述數(shù)學對象.符號化世界通過對具體化世界的操作進行反省、概括、抽象等一系列心智活動而得到數(shù)學對象，通過符號的使用實現(xiàn)從“解決問題”向“進

5、行數(shù)學思考”的思維轉(zhuǎn)變.形式化世界在對符號世界的反思基礎(chǔ)上，進行高度抽象，通過符號的方法和技術(shù)來認識數(shù)學、表達數(shù)學，形成形式化的定義，有時需要通過進一步的邏輯證明建構(gòu)形式化公理體系. Tall的三個世界理論是關(guān)于認知發(fā)展的新理論，揭示了抽象知識的形成和轉(zhuǎn)化過程的規(guī)律性和層次性，把形式化推理作為最終的目標3.根據(jù)Tall的理論，教師只要精心準備教學內(nèi)容，合理組織教學，在具體化世界、符號化世界做好充分的鋪墊，學生就能相對輕松地生成相關(guān)數(shù)學概念的形式化理解，從而到達數(shù)學的第三個世界.為了更好地說明此理論在數(shù)學中的具體操作，我們可用圖1來展示：認 知 發(fā) 展圖1 推理反思感知感知 想要達到頂端的形式化

6、層次，必須發(fā)展學生低層次的具體化、符號過程化世界，提高學生的認知理解.在此過程中，教師作為教學活動的組織者、引導(dǎo)者，應(yīng)合理給出知識和思維的聯(lián)結(jié)點，并給出相應(yīng)的刺激，促進學生學習.3 數(shù)學三個世界的理論實踐以“導(dǎo)數(shù)概念”教學為例3.1 對導(dǎo)數(shù)概念教學內(nèi)容的認識導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一,近年來導(dǎo)數(shù)概念教學發(fā)生了很多變化.國外，各個國家在高中階段對導(dǎo)數(shù)概念的教學要求和處理方法不盡相同.荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾指出運用速度、圖像等多種方式方法進行導(dǎo)數(shù)概念的探究，鼓勵學生正確處理形式化概念和原始概念之間的矛盾4.我國，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容曾幾度出入高中教材，在教學內(nèi)容與教學方法上出現(xiàn)多種變化.新課程中對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容

7、的處理與傳統(tǒng)注重應(yīng)用相比，更加關(guān)注對導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)的把握.新教材中不再將導(dǎo)數(shù)作為特殊的極限處理，而是從變化率這一反映數(shù)學思想和本質(zhì)的各種實例出發(fā)，為導(dǎo)數(shù)模型的建立提供豐富的背景. 教師應(yīng)清醒地認識到：新教材中，導(dǎo)數(shù)概念雖然未從極限引入，但學生經(jīng)歷的由平均變化率（近似量）到瞬時變化率（精確量）的過程卻是實實在在的極限思想.在這一過程中，由靜止思維向動態(tài)思維的轉(zhuǎn)變、形成過程與方法的抽象性、“以直代曲”與“無限逼近”的思想、“實無限”與“潛無限”的直觀選擇、“瞬時速度”與“曲線的切線”的定義等等都將成為學生學習導(dǎo)數(shù)概念的認知障礙.教師只有充分認識這一點之后，才能合理地設(shè)計自己的教學，充分滲透極限思想，

8、關(guān)注數(shù)學文化價值，讓學生在數(shù)學的第一、第二世界中充分徜徉，并順利進入到導(dǎo)數(shù)定義的形式化世界.3.2 導(dǎo)數(shù)概念的教學過程設(shè)計及說明3.2.1具體化世界：感知、想象、描述 【輸入信息】 問題1：請同學們回顧一下小時候聽過的龜兔賽跑的故事，比賽的結(jié)果是什么？這個故事告訴人們一個什么道理？ 從學生熟知的故事出發(fā)，學生很容易進入學習狀態(tài). 【激活信息】 問題2：比賽結(jié)束后，兔子痛改前非，不再驕傲自大，與烏龜進行了第二場比賽，它讓烏龜先跑一段距離后再奮力追趕，你說兔子能追上烏龜嗎？看似簡單的問題，在教師的提問刺激下產(chǎn)生了豐富的聯(lián)想空間，各種觀點應(yīng)時而生.【激活聯(lián)結(jié)】 師：介紹古希臘哲學家芝諾著名的悖論“追

9、龜說”.當然，芝諾并不是真的認為人追不上烏龜，很明顯人和兔肯定能追上烏龜.那么為什么會出現(xiàn)這樣的矛盾呢？實際上這也是數(shù)學史上對無限一直爭論的兩種觀點實無限（將無窮小看做可以自我完成的整體）與潛無限（將無窮小看作一個不可完成的動態(tài)過程）.這兩種觀點沒有對錯之分，但數(shù)學學習離不開對世界的直觀感知和理性分析，在追及問題中，我們顯然將無窮小看作可以完成的對象來處理.下面請同學們運用直觀感知及理性思考，和老師一起來探索幾個問題.盡管不需要讓學生去劃分“實無限”與“潛無限”這兩種觀點，但是通過具體情境和歷史回顧，學生能夠直覺地感受實無限的觀點.只有理解了這點，才能幫助學生真正理解導(dǎo)數(shù)概念.【輸入信息】案例

10、1：氣溫突變師：客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著.那么變化快慢的情況如何呢？如何用數(shù)學的語言描述呢？我們下面主要來探究這些問題.問題3：觀察大屏幕上顯示的圖2（以某日的0:00-12：00氣溫曲線圖為例）,請比較時段1,11與時段11,12間溫度變化的快慢，并說說你的依據(jù).A102C12712B11圖2 學生容易看出B、C兩點間的曲線比A、B兩點間的曲線更加陡峭，因而容易從直觀上判斷出氣溫的漸變與突變 【激活信息】 問題4：陡峭程度反映了氣溫變化的快與慢，那么如何量化曲線的“陡峭”程度呢？ 聯(lián)想到用斜率來量化直線的傾斜程度，因此可用比值來近似量化、之間一段曲線的陡峭

11、程度，并稱該比值為氣溫在區(qū)間11,12上的平均變化率.同理可求出區(qū)間1,11上的平均變化率為. 通過具體的案例，自然引出本節(jié)的主題：用怎樣的數(shù)學模型刻畫變量變化的快與慢？從數(shù)與形兩個方面引導(dǎo)學生體會“無形不直觀，無數(shù)不入微”的辯證思想. 【激活信息】 案例2：瞬時速度播放運動員跳水視頻.假設(shè)運動員相對水面的高度與時間的函數(shù)關(guān)系為：，請計算運動員在：(1) 時段內(nèi)的平均速度； （2）時段內(nèi)的平均速度. 學生經(jīng)過討論計算，會驚訝地發(fā)現(xiàn)（2）問中的平均速度為，但運動員在這段時間內(nèi)卻一直處于運動狀態(tài).矛盾的產(chǎn)生，使學生欲罷不能，欲求不得. 這個問題和芝諾的“飛矢不動”悖論有點類似，容易激發(fā)學生的好奇心

12、.認知心理學表明：人的學習動機盡管很復(fù)雜，但很大程度上是由求知欲望產(chǎn)生的. 3.2.2符號化世界：操作、抽象、符號化師:矛盾的產(chǎn)生，說明初等數(shù)學對于解決這類問題已經(jīng)無能為力，我們下面采用新的方法來轉(zhuǎn)化這種矛盾.平均速度只能粗略反映物體在某時間段內(nèi)的狀態(tài)，為了更精確刻畫物體的運動狀態(tài)，我們有必要去研究物體在某個時刻的瞬時速度.【刺激聯(lián)結(jié)點】問題5：我們?nèi)绾蝸砬筮\動員在各個時刻的瞬時速度呢？比如時刻，瞬時速度是多少？學生思考、討論、分析后找到突破口：要求時的瞬時速度，就要研究附近的平均速度的變化，這個附近可前可后，并且間隔要足夠小.教師引導(dǎo)學生用表示時間的該變量，從而時間內(nèi)的平均速度可表示為:，當

13、時，請學生計算平均速度的變 化情況，并填寫預(yù)先準備好的表格（前五行數(shù)據(jù)學生計算，后面的數(shù)據(jù)多謀體展示）. 0.1-0.1 0.01-0.01 0.001-0.001 0.0001-0.0001 0.00001-0.00001 -13.1 -13.1通過觀察分析，可以得出：越趨近于0，平均速度越接近于常數(shù)，為了表述的方便，這個過程可用數(shù)學符號表示為：當時，.就是當時的瞬時速度.用“已知探求未知”是人們解決未知問題的常用方法，讓學生在充分的操作中進行理性分析，經(jīng)歷自我探索和交流的過程，體會“逐步逼近”的數(shù)學思想，并初步給出符號化的表示方法.符號的引入，往往是為了理論的易于表述和解決問題，符號化給數(shù)

14、學理論的表述帶來了極大的方便.【強化聯(lián)結(jié)】問題6：運動員在某一時刻的瞬時速度該如何計算呢？引導(dǎo)學生類比問題5：先計算附近的平均速度（*），當時，（*）式無限趨近于時刻的瞬時速度.為了表述的方便，用更加簡潔的數(shù)學符號表示：從特殊到一般，研究問題的思路自然順暢，符合學生的認知規(guī)律，有助于學生的理解.與教材相比，表達式用極限的形式給出，但并未給出極限的嚴格定義，這樣處理既方便表述，也不增加學生的負擔，符合學生的認知規(guī)律.【輸入信息】案例3：求曲線上一點處切線的斜率問題7：在案例1中，我們用平均變化率研究了曲線在某一區(qū)間內(nèi)的變化趨勢，那么如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？教師利用多媒體引導(dǎo)學生

15、觀察曲線上某點處附近的曲線， 通過不斷的放大（圖3），可以發(fā)現(xiàn)點附近的曲線越來越逼近某一條確定的直線，也就是說點附近的曲線可以看做直線（局部范圍內(nèi)以直代曲）.那么曲線在點附近的上升或下降的變化趨勢就可以用直線的斜率來刻畫了，關(guān)鍵是如何找到這條直線并求出它的斜率. 圖3 以直代曲是微積分中一個重要的思想，通過多媒體的演示，可以讓學生從圖形直觀上加以感知，另外這部分的設(shè)計也為后面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)打下堅實的基礎(chǔ).問題8：觀察圖4，請思考： （1）直線與哪一條在點附近更加逼近曲線？ （2）在點附近你能找出比、更加逼近曲線的直線嗎？ （3）怎樣找到最逼近曲線的直線呢？ 圖4 對于問題8中的（1）、

16、（2），學生能比較輕松地解決，（2）的答案呈開放性，能幫助學生打開思路.給予學生時間對（3）展開交流、探討，類比案例2中由平均速度逼近瞬時速度的研究經(jīng)歷，學生能相對容易地給出解決問題的方案.教師利用多媒體直觀展示尋找最逼近曲線的直線的過程，并給出曲線在點處的切線的定義. 問題9：如圖5如何求點處切線的斜率呢？ 圖5 學生通過操作、計算，容易得到：當時，無限趨近于點處的切線的斜率.類比案例2，用更簡潔的數(shù)學符號表示為： .3.2.3形式化世界：反思、推理、公理化 引導(dǎo)學生比較分析案例1與案例2，它們雖然范疇不同，但在本質(zhì)、符號表示、數(shù)學思想方面都有共通之處.實際上，在我們的生產(chǎn)、生活當中還存在著

17、大量的諸如計算物質(zhì)比熱、電流強度、線密度等此類問題，這些問題實際上都是研究瞬時變化率問題.問題10：如果推廣到一般情形，它們能不能統(tǒng)一到一個共同的“數(shù)學模型”當中呢？也就是對于一般的函數(shù)在處的瞬時變化率怎么表示呢？學生在前面豐富的研究經(jīng)驗的基礎(chǔ)上反思、抽象、歸納，教師適時提出導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)在處的瞬時變化率也稱為導(dǎo)數(shù)，記為（或），即 .在多個背景的鋪墊之下，學生的認知已存在導(dǎo)數(shù)形式化表達的土壤，引出形式化定義是水到渠成之事.在此過程中，引導(dǎo)學生領(lǐng)悟特殊與一般的關(guān)系，促使學生完成從具體到抽象再到形式化的認識過程的飛躍.引出導(dǎo)數(shù)定義后，反思概念的原型（案例1、2），解釋“切線的斜率”、“瞬時速度”

18、的本質(zhì)，讓學生經(jīng)歷從抽象再回到具體的過程，促進認識的提升.接著再從幾種不同的語言描述深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念：描述角度本質(zhì)文字語言瞬時變化率符號語言圖形語言切線的斜率 在得到形式化的定義定義之后，可用兩個例題加深對概念的理解.例1：已知，求：（1）在處的導(dǎo)數(shù)；（2）在處的導(dǎo)數(shù). 通過例1，一方面訓練學生明確用定義求導(dǎo)數(shù)的方法，強調(diào)書寫過程的規(guī)范性、程序化.程序化是算法思想的體現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學生邏輯推理能力和理性精神.另一方面，在求 處的導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，教師通過追問，可為后續(xù)導(dǎo)函數(shù)的學習做好鋪墊.例2：設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，試求下列各式：（1） ；（2） .通過例2的解答，教師引導(dǎo)學生暫別符號所包含的本真意義，而通過純粹的形式化進行邏輯推理，感受純粹的數(shù)量關(guān)系，體會數(shù)學的形式之美、嚴謹之美.在大學里，學生們會學習到更加嚴謹、系統(tǒng)、形式化的有關(guān)導(dǎo)數(shù)的知識.4 結(jié)束語學生在學習數(shù)學的過程中要經(jīng)歷不同的理解階段，Tall的三個世界理論很好地解釋了學生的認知規(guī)律.具體化世界提供了豐富的感性材料，是思維的基