中考數(shù)學(xué)壓軸題正方形問題精選解析(二)_2735

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2013 中考數(shù)學(xué)壓軸題正方形問題精選解析( 二 )例 3 如圖，在邊長為6 的正方形ABCD 的兩側(cè)作正方形BEFG 和正方形 DMNK ，恰好使得N、 A、F 三點(diǎn)在一直線上，連接MF 交線段 AD 于點(diǎn) P，連接為 x，正方形 DMNK 的邊長為 y（1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量x 的取值范圍；（2）當(dāng) NPF 的面積為32 時，求 x 的值；（3）以 P 為圓心， AP 為半徑的圓能否與以G 為圓心， GF 為半徑的圓相切？如果能，請求出 x 的值， 如果不能， 請說明理由解析 ：（ 1）正方形 BEFG 、正方形 DMNK 、正方形 ABCD E F

2、90O ， AE MC， MC NKAE NK， KNA EAF KNA EAF ，NKKA，即yy 6EAEFxx 6y x 6（ 0 x 6）（2）由（ 1）知 NK AE， AN AFNP，設(shè)正方形BEFG 的邊長NKABEGFPMDC正方形 DMNK ， APNM ， PMFP ANAF 1 FP PM ， SMNP SNPF 32S 正方形 DMNK 2S MNP 64y8， x 2（ 3）連接 PG，延長 FG 交 AD 于點(diǎn) H，則 GH AD易知： AP yyyx2 ，AH x， PH 2x， HG 6； PG AP GF 2當(dāng)兩圓外切時222222在 Rt GHP 中， PH

3、 HG PG，即 ( 2yx) 6 ( 2yx )解得： x333（舍去）或 x333 當(dāng)兩圓內(nèi)切時222y22y2在 Rt GHP 中， PH HG PG，即 (2 x) 6 (2 x )方程無解所以，當(dāng) x33 3 時，兩圓相切例 4 已知：正方形 ABCD 的邊長為 1，射線 AE 與射線 BC 交于點(diǎn) E，射線 AF 與射線 CD 交于點(diǎn) F， EAF 45°，連接 EF（ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 BC 上時，試猜想線段 EF、 BE、 DF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明 你的猜想；（2）設(shè) BE x，DF y，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 BC 上運(yùn)動時（不包括點(diǎn)B、C），求 y

4、關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并指出x 的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn) E 在射線 BC 上運(yùn)動時（不含端點(diǎn)B），點(diǎn) F 在射線 CD 上運(yùn)動試判斷以E 為圓心，以 BE 為半徑的 E 和以 F 為圓心，以FD 為半徑的 F 之間的位置關(guān)系；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（ 4）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 的延長線上時，設(shè) AE 與 CD 交于點(diǎn) G問： EGF 與 EFA 能否相似？若能相似，求出 BE 的長，若不可能相似，請說明理由FADAFBECBDGCE解析：圖 1圖 2（ 1）猜想： EFBE DF證明：將 ADF 繞點(diǎn) A 順時針旋轉(zhuǎn)90°，得 ABF ，易知點(diǎn)圖 1） AF AF FAE 1

5、3 2 3 90° 45° 45° EAF又 AEAE ， AF E AFE EF FE BE BF BEDF（ 2）在 RtEFC 中， EC 2FC 2 EF 2EC 1 x，F(xiàn)C 1 y，EF x y222( 1 x) ( 1y) ( xy )1 xy（ 0 x 1）F 、B、E 在同一直線上（如.AD21FFBEC圖 1（ 3）當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) B、C 之間時，由（ 1）知 EF BE DF ，故此時 E 與 F 外切；當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) C 時， DF0， F 不存在 .當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 延長線上時，將ADF 繞點(diǎn) A 順時針旋轉(zhuǎn)90°，得 ABF

6、 （如圖 2）則 AF AF， 1 2，BF DF ， FAF 90° FAE EAF 45°又 AEAE ， AF E AFE EF EF BE BF BE DF此時 E 與 F 內(nèi)切綜上所述，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 BC 上時， E 與 F 外切；當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 延長線上時， E 與 F 內(nèi)切（ 4） EGF 與 EFA 能夠相似，只要當(dāng)此時 CE CF設(shè) BEx， DF y，由（ 3）知 EF xy在 Rt CFE 中， CE 2 CF 2 EF 2( x 1)222 ( 1y) ( xy )x 1y（ x 1）EFG EAF 45°即可FA2D1G由 CE

7、CF ，得 x1 1y，即 x 1 1 x 1BFCE2x 1化簡得 x2x1 0，解得 x1 12（舍去）， x2 12圖 2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 EGF 與 EFA 能夠相似，此時BE 的長為 12例 5 已知：如圖，在直角梯形ABCD 中， AD BC， B 90°，AD 2，BC 6，AB3E為 BC 邊上一點(diǎn)，以 BE 為邊作正方形 BEFG ，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同側(cè)（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn) F 恰好落在對角線 AC 上時，求 BE 的長；（2）將（ 1）問中的正方形BEFG 沿 BC 向右平移，記平移中的正方形BEFG 為正方形B EFG，的邊

8、EF 與 AC 交于點(diǎn) M，當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合時停止平移 設(shè)平移的距離為 t，正方形 B EFG是直角三角形？若存在，求出t 的值；連接 BD， B M， DM 是否存在這樣的t，使 B DM若不存在，請說明理由；（3）在（ 2）問的平移過程中，設(shè)正方形B EFG 與 ADC 重疊部分的面積為 S，請直接寫出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t 的取值范圍ADADBCB解析：（ 1）如圖，設(shè)正方形BEFG 的邊長為x則 BEFG BG xAB 3， BC 6， AG AB BG 3 x GF BE， AGF ABC AGGF3xxAB BC，即3 6備用圖ADGFC解得 x 2，即

9、 BE 2（ 2）存在滿足條件的 t ，理由如下：如圖，過 D 作 DH BC 于點(diǎn) H則 BH AD 2，DH AB 3由題意得： BB HE t， HB | t 2| ， EC 4t在 Rt BME 中， BM 2 BE 2 ME 2 2 2( 2 1 t ) 2 1 t24 EF AB， MEC ABC2 2t 8BE圖ADCMEECME4 t1AB BC，即3 6， ME 22 t22 2222在 Rt DHB DH2 ) t4t13BH 3( t中，BD過M作MNDH于點(diǎn) N則 MN HEt ，NH ME 2 1 t 2DN DH NH 3( 2 1 t ) 1 t 122GNBHB

10、圖FMEC學(xué)習(xí)好資料歡迎下載22252在 Rt DMN 中， DM DN MN4 t t 122 2（）若 DB M 90°，則 DM B MB D5212220即 4 t t 1 (4 t 2t 8 ) ( t 4t13 ) ，解得 t722DM2（）若 B MD 90°，則 B D B M21252即 t4t 13 (4 t 2t8 ) (4 t t1 ) ，解得 t1 30 t 4， t 317222DM（）若 B DM 90°，則 B MB D12252即 4 t 2t8 ( t 4t13 ) (4 tt1 ) ，此方程無解綜上所述，當(dāng)t 20 17是直角

11、三角形7 或3時， B DM（3）當(dāng) 0 t 4123 時， S 4 t17， t2 317ADGF4122當(dāng) 3 t 2 時， S 8 t t 3當(dāng) 2 t 1032 2t5BBHEC3 時， S 8 t3圖10 15AD當(dāng) 3 t 4 時， S2 t 2提示：GF當(dāng)點(diǎn) F 落在 CD 上時，如圖FE 2， EC 4 t， DH 3， HC4由 FEC DHC ，得 FEDHEC HCBHBE C23， t4圖即 t434當(dāng)點(diǎn) G 落在 AC 上時，點(diǎn)G 也在 DH 上（即 DH 與 AC 的交點(diǎn)）t 2當(dāng)點(diǎn) G 落在 CD 上時，如圖GB 2，BC 6tGBDH由 GBC DHC ，得3

12、10即 6 t 4 ， t 32當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合時， t 44當(dāng) 0 t 3 時，如圖MF t， FN12 tS SFMN 1·t· 1t1t2224ADGMFNBBEC圖ADGP FQMNBBEC圖學(xué)習(xí)好資料歡迎下載當(dāng) 43 t 2 時，如圖 PF t 43 ， FQ 34 PF 34 t1143322S FPQ 2( t3)(4 t 1 ) 8 t t3t t 2S SFMN SFPQ 1t ( 3tt2)12224838310當(dāng) 2 t 3 時，如圖111B M( 6t2B Ct) 322GM 112 ( 32 t ) 2 t 1111S 梯形 GMNF 2(2 t 1 2 t ) × 2 t1S S FPQ ( t1)(3t22) 3t25