一道力學(xué)題中的數(shù)學(xué)

1、一道力學(xué)題中的數(shù)學(xué)山西晉城一中 馮沁峰 048000國家教委對(duì)“全日制中學(xué)教學(xué)大綱的調(diào)整意見”加強(qiáng)了對(duì)考生能力的考核，明確提出“高考把對(duì)能力的考核放在首要位置”。高考物理學(xué)科要考核的能力主要包括五個(gè)方面，其中應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力要求考生能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析。根據(jù)這一要求，高中物理教學(xué)應(yīng)該從高一開始就注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力的培養(yǎng)。近年的教學(xué)實(shí)踐告訴我們，如果到高三再加強(qiáng)這方面的能力培養(yǎng)，就未免太遲了。完全應(yīng)該并十分必要從高一就開始抓起。下面我們就一道力學(xué)題的多種解法談?wù)勁?/p>

2、養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力的重要性。V0圖一題目：如圖一所示，從傾角為的斜面頂端以初速度V0把一小球水平拋出，不計(jì)空氣阻力，若斜坡足夠長，則小球拋出后在運(yùn)動(dòng)過程中距離斜坡的最大距離H為多少？解法一：小球的運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng)。取地面為參考平面，則小球的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生水平方向和豎直方向兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果，可以根據(jù)研究平拋運(yùn)動(dòng)的一般方法，在水平方向和豎直方向兩個(gè)方向研究小球的運(yùn)動(dòng)。如圖二所示，取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系。根據(jù)小球在水平方向的分運(yùn)動(dòng)為初速V0的勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，可以寫出小球在任意一個(gè)時(shí)刻t的位置坐標(biāo)（取拋出時(shí)刻為零時(shí)

3、刻）x1=V0t y1=gt2圖二YXV0O斜面在xoy坐標(biāo)系中可等效為傾角為1800的過原點(diǎn)直線，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，可寫出該直線的方程為：y=kx=x· tg(1800)= x·tg整理得：x ·tg+y=0小球在運(yùn)動(dòng)過程中任意一個(gè)時(shí)刻距斜面的距離可理解為小球在任意一個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo)點(diǎn)距直線x ·tg+y=0的距離，該距離可根據(jù)數(shù)學(xué)中講過的點(diǎn)到直線的距離公式d=求出。其中a=tg,b=1,c=0：d=可以看出當(dāng)t=時(shí)d具有最大值。所以H=dmax=解法二：研究曲線運(yùn)動(dòng)的一般方法是“先分解后合成”，在把曲線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解時(shí)，應(yīng)該從運(yùn)動(dòng)的效果出發(fā)進(jìn)行分解。本題中若取

4、斜面為參考平面，可以認(rèn)為小球產(chǎn)生了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果：沿斜面向下的運(yùn)動(dòng)和垂直斜面方向的運(yùn)動(dòng)。因此，可以在沿斜面方向和垂直斜面方向研究小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況。如圖三，取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取沿斜面向下為x軸正方向，垂直斜面向上為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系。小球只受一個(gè)重力，分解到x軸和y軸方向，則：x軸方向：初速度V0x=V0cos，F(xiàn)x=Gx=mgsin，ax=gsin,所以x軸方向小球做初速度為V0cos，加速度為gsin的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。Y軸方向：初速Voy=Vosin,Fy=Gy=mgcos,ay=gcos,所以y軸方向小球做初速度為Vosin，加速度為gcos的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。YXVy0V0

5、Vx0GOGyGx圖三本題所研究的問題只y軸分運(yùn)動(dòng)有關(guān)。小球在任意一段時(shí)間t內(nèi)在y軸方向發(fā)生的位移可根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式求得：y=Voytayt2= Vosin·tgcost2=gcos(t)2可以看出：當(dāng)g=時(shí)，y具有最大值H=Ymax=解法三：除上述兩個(gè)方法外，本題還可以通過對(duì)物理過程的分析，結(jié)合幾何關(guān)系求解。根據(jù)對(duì)小球運(yùn)動(dòng)過程的分析可知：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到其速度方向與斜面平行時(shí)，距斜面距離最大。設(shè)該點(diǎn)為D，過D做斜面的垂線（如圖四所示，）垂足為C。過D點(diǎn)作水平線分別交斜面和豎直邊于B、A。拋出點(diǎn)為O。D點(diǎn)速度平行于斜面，則：Vcos=VO V= 豎值分速度V1=V0tgV1=gt t=OAV0V0VV1DBC圖四OA=gt2= AD=Vot=AB=OActg=BD=ADAB=H=DC=BDsin=從本題的三種解法可以看出，數(shù)學(xué)和物理時(shí)緊密聯(lián)系的，數(shù)學(xué)為物理學(xué)的發(fā)展提供了強(qiáng)有力的工具，為應(yīng)用物理規(guī)律解決具體問題開通了道路。因此，數(shù)