幾種常見的概率分布

1、三章幾種常見的概 窣分布第一節(jié)二項分布重伯努利試驗每次的結(jié)果只有2和A ；每種結(jié)果的概率是定的;實驗之間是獨立的。將E獨立地重復地進行次,則稱這一串重復的獨立試驗為重伯努利試驗.拋一枚硬幣觀察得到正面或反面。若將硬幣拋次,就是 重伯努利試驗.例：拋一顆骰子。次，觀察是否“出現(xiàn)1點”如果是拋2次，“出現(xiàn)1點”的分布列如何?發(fā)生一次的概率是多少？發(fā)生它的可能性有多少?X 012Pk fxix2 lxi若x表示重伯努利試驗中事件a發(fā)生的次數(shù) 則X所有可能取的值為0, 1, 2,，n.當X =k(0WkW)時，即A在次試驗中發(fā)生了2次,求概率尸(6先取=4, k=2來討論。在4次試驗中，事件 ，發(fā)生2

2、次的方式有以下幾種： 面AAi AA&Ai A.AA 2AAA&&4 aa9a3a4 浜44P4Q） = P（a1a2a3a + .+ P（H44A）=c：p2/-273x 9在。重貝努利試驗中，事件4恰好發(fā)生k(O<k<n)次的概率為P（k） = C：pkqk 氏" q,2,nX在外次試驗中發(fā)生k次的概率的分布列 吟 I ("I k n-k , Pk q I x pq kpq .一 p£Cp%i=(P + q)"=l k=0事件4發(fā)生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項二項分布的定義其中q Xh p+q=l,則稱隨

3、機變量x服從參 數(shù)為和的二項分布(binomial distribution),記為 x B(，p)。二項分布的圖形Bhcniad|n»1Q 叫Olf -©博-p«Q8|二項分布的概率計算及應用條件理論，子 二代中白豬與黑豬的比率為3 ： 1。求窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬 的概率。根據(jù)題意，=10, p=3/4=0.75,夕=1/4=0.25。設10頭仔豬中 白色的為x頭，貝卜為服從二項分布B(10, 0.75)的隨機變量。于是窩產(chǎn)10頭仔豬中有7頭是白色的概率為：P(x = 7) = C1o0.7570.253 = x0.757 x0.253 = 0.2503【例

4、3.2】豬黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為20%,求5頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應的概率。設5頭病豬中死亡頭數(shù)為X,貝Ux服從二項分布 B(5,0.2),其所有可能取值為0, 1,，5,用分布列 表示如下：0123450.32770.40960.20480.05120.00640.0003【例3.3】100名老年男性在注射了一種新疫苗一年 后死亡5人，而該年齡段男性老人的死亡概率為 0.020 o這是不是一個異常事件？100個男性的樣本死亡5人是否為一個“異?！笔录?關鍵是尋找在正常情況下至少5人死亡的概率士小0902y (0.98產(chǎn) k=51-22C(O.O2)A (0.98)，()()-a

5、k=01-0. 94917 0. 05083二項分布的應用條件:(1)各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性,生存或死亡等，屬于二項分類資料;(2)已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡)的概率為p,其 對立結(jié)果的概率則為1P=q,實際中要求p是從大 量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值:(3) /?個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。二項分布的平均數(shù)與標準差統(tǒng)計學證明，服從二項分布8（",p）的隨機變量 之平均數(shù)3標準差。與參數(shù)小p有如下關系: 當試驗結(jié)果以事件A發(fā)生次數(shù)k表示時M=npa=求【例3.2】平均死亡豬數(shù)及死亡數(shù)的標準差。以p=0

6、.2,/7=5代入（418）和（419）式得：平均死亡豬數(shù)h=5X0.20=1,0（頭）標準差 a=田標 75x0.2x0.8=0.894（頭）第二節(jié)泊松分布問題：盒子中裝有999個黑棋子，一個白棋子，在一次抽 樣中，抽中白棋子的概率1/1000,在100次抽樣(放回)。篇(0.001)1°(1 0.001嚴2%"°_100X0.001=0.1100次抽樣中抽中白棋子的平均個數(shù)是0.1!在概率較小較大的情況下，有一個近似公式泊松分布若隨機變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值0, 1,2,，且其概率分布為 公P(x = k) =一e" ， k=0, 1k其中入

7、0； e=2.7182是自然對數(shù)的底數(shù), 則稱x服從參數(shù)為人的波松分布 (Poisson's distribution),記為 xP(A)。波松分布重要的特征：平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)兒即p=a2=A【例3.4】 調(diào)查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數(shù), 共記錄200窩，畸形仔豬數(shù)的分布情況如表31 所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從波松分布。表31畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計分布!每窩崎一數(shù)婢 “ R R R宛噩窩軟由 120。徐：田21/ 2研I如下.2"心)常x =Zfk/n' n-i(120X 0+62 X 1 +15。2° x0- +62x1* + 15x2- + 2

8、x3" + 1x4- -102 ')/200200 -1X 2+2X3+1X4)/200= 0.52=0.51X =0.51, S2=0.52,這兩個數(shù)是相當接近的，因此可以認為畸形 仔豬數(shù)服從波松分布。常用于描述單位時間、單位平面或單位空間中罕見“質(zhì)點”總數(shù)的隨機分布規(guī)律。泊松分布只有人一個參數(shù)。代表11次中A平均發(fā)生 的次數(shù)。觀察事物平均發(fā)生九次的條件下，實際發(fā)生x次的概率P (x )可用下式表示：P (x) = ( Tx! ) e- k一個售貨員接待的顧客數(shù);一臺紡紗機的斷頭數(shù);某機場降落的飛機數(shù);每毫升水中的細菌數(shù)第四節(jié)正態(tài)分布回憶：連續(xù)型隨機變量的特點?全部可能取值

9、不僅無窮多，而且還不能列舉, 而是充滿一個區(qū)間。正態(tài)分布是自然界及工程技術中最常見的分布 之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正 態(tài)分布的.如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其 中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機 指標一定服從或近似服從正態(tài)分布.1 .分布函數(shù)與密度函數(shù)1(，一”)2廣 X5-概率密度函數(shù)F(x)=r= e 2b 出,8Vxv+x) by127r J-s_*一夕2/(x) =f=e 2b , qo<x<+oob以其中和b2都是常數(shù)”任意。0,則稱X服從 參數(shù)為和b端正態(tài)分布。1-f(x)=-1=-e 2b2 >0 。 o 八,以。(00 <

10、X < 4-00十 S4-00("")2” "X滿足密度函數(shù)的兩項基本條件， 密度函數(shù).正態(tài)分布的特征一條關于對稱的鐘形曲線, 小，中間大，左右對稱”。/(*)L-7X-a/2-oc/2o=1 。° o因此/(x)確是一個.特點是“兩頭設XN*, /), /(x)是其密度函數(shù)，則有:(1)對稱性曲線關于直線x ="對稱，這表明：對于任意的% > 0,有P/u-h < X < / = PjU < X < / + A (2)最大值J 2 乃 cr當x = /時，/(x)取到最大,()=X離"越遠，的值就

11、越小.這表明，對于同樣 長度的區(qū)間，當區(qū)間離從越遠時，隨機變量X落在 該區(qū)間中的概率就越小.曲線y =，(x)在 ?；疠S為漸近線.Ji是位置參數(shù)，P(l 7 - / l<cr) =|J是位置參數(shù)，x = 土b處有拐點；曲線y = /（X）以 聲）r7、。是變異度參數(shù)。=0.6826/ / ”6一1 %.31FJ $ 0 N 1G |3G<-06815»-<09TO >1<09W >10.97M>。是變異度參數(shù)。決定了圖形的中心位置 峭程度。4 D(T 同止工山.X,。決定了圖形中峰的陡M同E)a不同小02 .標準正態(tài)分布記做XN(O,1)X分

12、布函數(shù)(X)=0p=05的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布1 上密度函數(shù) 0(x) = T=e 2 , -8<x<8 J2乃圖形是一條以縱軸(X=0)為對稱軸的鐘形曲線。標準正態(tài)分布的計算(-» = 1 -初>)對于實數(shù)X，可由正態(tài)分布表(尸325)，查出(%)的 數(shù)值。X值：-2.992.99o>(x)： 0.00()001.()0000若XN(O,1),求P(XW1.96), P(X2L96)及 P(-1.96<X<1.96) P(x<l .96)=>(1.96)= 0.97500 P(X>r)=l-P(X <r)=l- <

13、;D(x)/ 一 P(X>1.96) =1-0(1.96)= 0.0250Q_P(-1.96<X<1.96)= O(1.96)-<I>(-1.96)= 20(1.96)-1=0.953 .一般正態(tài)分布的計算設X 則 Y = X 二口 .'n（O、1）N子）蟲）同亨:設X N(4«2),則 Y =N(O,1)如果XN(4,4),求P(XW6), P(0<X<6)解：因XN(4,4),所以一42P(0<X<6) =F(6)-F(0)=0(1)-0 (-2)=0.8413-0.0227=0.8186P(X<6) = F(6) = <D(6-4)/2= 0>(1)=0.8413設XN(p2),求下列概率：P(|Z-/2|<a)