的正交分解及其坐標表示PPT課件

1、有向量的一組基底。）叫做表示這一平面內(nèi)所、（。，使，一對實數(shù)，有且只有任一向量那么對于這一平面內(nèi)的共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij第1頁/共27頁復習提問：平面直角坐標系中、2111,yxByxAOAOB1212,yyxxABayxC,點21, yxB11, yxAyxaOCAB,2、即OAxyBC第2頁/共27頁提提 問問: : 我們知道我們知道, ,在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中, ,平面上任平面上任意一點

2、的位置都有唯一的坐標來表示意一點的位置都有唯一的坐標來表示. . 那空間中任意一點的位置怎樣用坐標來那空間中任意一點的位置怎樣用坐標來表示表示? ?第3頁/共27頁墻墻墻墻地面地面 下圖是一個房間的示意圖下圖是一個房間的示意圖, ,我們我們來探討表示電燈位置的方法來探討表示電燈位置的方法. .z z134x x4y y15O(4,5,3)一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系第4頁/共27頁oxyz從空間某一個定點從空間某一個定點引三條互相垂直且有相引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐樣就建立了空間直角坐標系標系xyz點點叫做坐標原點叫做坐標原點，x軸

3、軸、y軸軸、z軸叫做軸叫做坐標軸坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為平面，分別稱為xoy平面平面、 yoz平面平面、和和 Zox平面平面第5頁/共27頁oxyz在空間直角坐標系中在空間直角坐標系中, ,讓讓右手拇指指向右手拇指指向x x軸的正方向，軸的正方向，食指指向食指指向y y軸的正方向，若中軸的正方向，若中指指向指指向z z軸的正方向，則稱這軸的正方向，則稱這個坐標系為個坐標系為右手直角坐標系右手直角坐標系說明說明: : 我們一般建立的坐標系我們一般建立的坐標系 都是右手直角坐標系都是右手直角坐標系. .第6頁/共27頁空間直角坐標系的畫

4、法空間直角坐標系的畫法: :oxyz1. 1.X X軸與軸與y y軸、軸、x x軸與軸與z z軸均成軸均成1351350 0, ,而而z z軸垂直于軸垂直于y y軸軸1351350 01351350 02.2.y y軸和軸和z z軸的單位長度相同，軸的單位長度相同，x x軸上的單位長度為軸上的單位長度為y y軸（或軸（或z z軸）的單位長度的一半軸）的單位長度的一半第7頁/共27頁有了空間直角坐標系，那空間中的有了空間直角坐標系，那空間中的任意一點任意一點怎樣來表示它的坐標呢？怎樣來表示它的坐標呢？oxyzabc(a,b,c)經(jīng)過經(jīng)過A A點作三個平面點作三個平面分別分別垂直垂直于于x x軸、

5、軸、y y軸和軸和z z軸，軸，它們與它們與x x軸、軸、y y軸和軸和z z軸分別軸分別交于三點，三點在相應的交于三點，三點在相應的坐標軸上的坐標坐標軸上的坐標a,b,ca,b,c組成組成的有序實數(shù)對（的有序實數(shù)對（a,b,c)a,b,c)叫做叫做點點的坐標的坐標記為記為：（a,b,c)第8頁/共27頁在空間直角坐標系中，作出點（,）.例例分析：分析：oxyz從原點出發(fā)沿x軸正方向移動個單位11沿與y軸平行的方向向右移動個單位22沿與z軸平行的方向向上移動個單位（,）2第9頁/共27頁在空間直角坐標系中在空間直角坐標系中, ,x x軸上的點、軸上的點、xoyxoy坐標平面內(nèi)的點的坐標各有什么

6、坐標平面內(nèi)的點的坐標各有什么特點？特點？),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC)0 , 0 , 0(Ox軸上的點橫軸上的點橫坐標就是與坐標就是與x x軸交軸交點的坐標，縱坐標點的坐標，縱坐標和豎坐標都是和豎坐標都是xoy坐標平面坐標平面內(nèi)的點的豎坐標為內(nèi)的點的豎坐標為，橫坐標與縱坐，橫坐標與縱坐標分別是點向兩軸標分別是點向兩軸作垂線交點的坐標作垂線交點的坐標第10頁/共27頁單位正交基底：單位正交基底： 如果空間的一個基底的三個基向量互相垂如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且大小都為直，且大小都

7、為1 1，那么這個基底叫做單位正交，那么這個基底叫做單位正交基底，常用基底，常用 來表示來表示. . , ,i j k i k j 因此我們可以類似平面直角坐標系,建立空間直角坐標系第11頁/共27頁 在空間選定一點在空間選定一點O O和一個單位正交基底和一個單位正交基底 以點以點O O為原為原點，分別以點，分別以 的正方向建立三條數(shù)軸：的正方向建立三條數(shù)軸：x 軸、軸、y 軸、軸、z 軸，軸，這樣就建立了一個空間直角坐標系這樣就建立了一個空間直角坐標系O xyz . . x 軸、軸、y 軸、軸、z 軸，都叫軸，都叫做做叫做坐標軸叫做坐標軸, ,點點O 叫做叫做原點原點，向量向量 都叫做都叫做

8、坐標向量坐標向量.通過通過每兩個坐標軸的平面叫做每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面坐標平面. ,ij k ,ij k ,ij k 123(,)A a a aa xyzOkij 對空間任一向量對空間任一向量 , ,由空間由空間向量基本定理，存在唯一的有序實向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組數(shù)組 , ,使使a 123( ,)a a a123.a a i a j a k 空間直角坐標系空間直角坐標系第12頁/共27頁 在空間直角坐標系O x y z 中，對空間任一點A, 對應一個向量 ,于是存在唯一的有序實數(shù)組 x, y, z,使 (如圖).OA OAxiy jzk 顯然, 向量 的坐標，就是點A在此空

9、間直角坐標系中的坐標(x,y,z).OA xyzOA(x,y,z)ijk 也就是說也就是說,以以O為起點的有向為起點的有向線段線段 (向量向量)的坐標可以和點的坐的坐標可以和點的坐標建立起一一對應的關系標建立起一一對應的關系,從而互從而互相轉化相轉化. 我們說我們說,點點A的坐標為的坐標為(x,y,z),記作A(x,y,z)，其中x叫做點A的橫坐標,y叫做點A的縱坐標,z叫做點A的豎坐標.第13頁/共27頁結論：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 則AB =OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1

10、 1 , , z2 2- -z1 1) ) 空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標終點的坐標減去起點的坐標. . 如果知道有向線段的起點和終點的坐標如果知道有向線段的起點和終點的坐標,那么有向線段表示的向量坐標怎樣求那么有向線段表示的向量坐標怎樣求? 空間向量坐標運算法則，關鍵是注意空間幾何空間向量坐標運算法則，關鍵是注意空間幾何關系與向量坐標關系的轉化，為此在利用向量的坐關系與向量坐標關系的轉化，為此在利用向量的坐標運算判斷空間幾何關系時，首先要選定單位正交標運算判斷空間幾何關系時，首先

11、要選定單位正交基，進而確定各向量的坐標?；?，進而確定各向量的坐標。第14頁/共27頁一 空間向量基本定理：p 我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 都可以都可以用兩個不共線的向量用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果 是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量 ，存在一個有序實數(shù)組 x,y,z使得 我們稱 為向量 在 上的分向量。, ,i j

12、 k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 第15頁/共27頁探究：探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量在空間中，如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ，你能得出類似的，你能得出類似的 結論嗎？結論嗎？, ,a b c , ,i j k 任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底?？臻g向量基本定理：空間向量基本定理： 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做基向量, ,a b c 第16頁/共27頁（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特

13、別提示：對于基底a,b,c,除了應知道a,b,c不共面，還應明確： （2） 由于可視 為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是 。00（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關連的不同概念。推論：設O、A、B、C是不共線的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數(shù)組x,y,z，使 當且僅當x+y+z=1時，P、A、B、C四點共面。.OPxOAyOBzOC 第17頁/共27頁xyzB1A1D1C1BDCA練習1、 1111ABCDABC D正方體的棱長為2,則各頂點的坐標為:11_AB11_,_.CDA_,B_C_

14、,D_( 0, 0, 0 )( 2, 0, 0 )( 2, 2, 0 )( 0, 2, 0 )( 0, 0, 2 )( 2, 0, 2 )( 2, 2, 2 )( 0, 2, 2 )練習、建立直角坐標系，求作點G(1,3,0)，點Q(0,2,3)Q第18頁/共27頁DzxyB1A1D1C1BCA11111如圖建立直角坐標系,長方體中,已知AB=3,BC=5,AA =2,ABCDABC D則各頂點的坐標為:11_AB11_,_.CDA_,B_C_,D_( 0, 0, 0 )( 3, 0, 0 )( 3, 5, 0 )( 0, 5, 0 )( 0, 0, 2 )( 3, 0, 2 )( 3, 5,

15、 2 )( 0, 5, 2 )0,0;在x軸上的點的 坐標不為 其余均為x0,0;在平面xoy的點的z坐標為 其余均不為總結: :第19頁/共27頁練習、點B是點A(3,4,5)在坐標平面 內(nèi)的射影，求5A(3,4,5)與y軸垂直的坐標平面是_xozA(3)點A(3,4,5)關于原點成中心對稱的點A 的坐標是xOy|OB xyOz34B(3,4,0)練習、(1)與x 軸垂直的坐標yoz與z 軸垂直的坐標平面是_xoy(2)點P(2,3,4)在 平面內(nèi)的射影是_xoy(2,3,0)在 平面內(nèi)的射影是_xoz(2,0,4)在 平面內(nèi)的射影是_yoz(0,3,4)( 3, 4, 5)A 平面是_第2

16、0頁/共27頁練習6寫出下列各題中向量的坐標(1)23 _,(2)54 _,ijkijk (3)52 _,(4)3 _.ijj(1,2,3)(-1,5,-4)(-5,-2,0)(0,3,0)6.( 3,2,5),(1,5, 1).ab 已知求(1)_,(2)_abab(3)6_,(4)_aa b(-2,7,4)(-4,-3,6)(-18,12,30)-3+10-5=27.(2, 3,1),(2,0,3),(0,0,2).abc已知求(1)()_abc(2)68_abc(2,-3,1) (2,0,5)=4+0+5=9.(2,-3,1) + (12,0,18)+(0,0,-16)=(14,-3,3)(3)(1)(2)第21頁/共27頁練習：1、在空間坐標系o-xyz中， ( 分別是與x軸、 y軸、 z軸的正方向相同的單位向量)則 的坐標為 ，點B的坐標為 。2、點M（2，-3，-4）在坐標平面xoy、xoz、