幾所高校量子力學(xué)碩士試題

1、高校量子力學(xué)研究生招生試題匯總一復(fù)旦大學(xué)1999碩士入學(xué)量子力學(xué)試題二天津大學(xué)1999碩士入學(xué)量子力學(xué)試題（1）三北京大學(xué)2000年研究生入學(xué)考試試題考試科目：量子力學(xué)考試時間：2000.1.23下午招生專業(yè)：物理系各專業(yè)研究方向：各研究方向試題：一（20分）質(zhì)量為m的粒子，在位勢 中運(yùn)動，a. 試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；b. 給出粒子處于x>0區(qū)域中的幾率。它是大于1/2，還是小于1/2，為什么？二（10分）若|>和|>是氫原子的定態(tài)矢（電子和質(zhì)子的相互作用為庫侖作用，并計及電子的自旋軌道耦合項(xiàng)）a. 給出|>和|>態(tài)的守恒量完

2、全集；b. 若,則|>和|>態(tài)的那些量子數(shù)可能是不同的，為什么？（注：f(r)是r的非零函數(shù)，為電子的自旋和坐標(biāo)算符。）三（16分）三個自旋為1/2的粒子，它們的哈密頓量為求本征值和簡并度。四（22分）兩個自旋為1/2的粒子，在表象中的表示為，其中，是第i個粒子自旋向上的幾率，是第i個粒子自旋向下的幾率。a. 求哈密頓量的本征值和本征函數(shù)；（v0為一常數(shù)）b. t=0時，體系處于態(tài)，求t時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài)，的幾率。（注：為第i個粒子泡利算符的x, y分量）五（10分）考慮一維諧振子，其哈密頓量，而, a. 若|0是歸一化的基態(tài)矢（a|0）=0），則第n個激發(fā)態(tài)為試求歸一化因子；c.

3、若外加一微擾，試求第n個激發(fā)態(tài)的能量本征值（準(zhǔn)至g一級）。六（22分）考慮體系， a>0，a. 利用變分法，取試探波函數(shù)為，求基態(tài)能量上限；b. 我們知道，如試探波函數(shù)為，則基態(tài)能量上限為。對這兩個基態(tài)的能量上限，你能接受哪一個？為什么？四量子力學(xué)試題：2:00pm- 4:00pm. july 1, 2002建議在100分鐘完成，可以允許未能按時完成的考生再延長30分鐘。 參考題：試用測不準(zhǔn)關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能級。第一題（310分）： 1、寫出泡利矩陣的形式。 2、帶電粒子在電磁場中的schrdinger 方程為如果粒子被局限在xy平面內(nèi)運(yùn)動，而沿z方向加入強(qiáng)度為的均勻磁場，

4、試具體寫出（不用求解）相應(yīng)的的schrdingerr方程。 3、試求質(zhì)量為的粒子處在長度為的一維盒子（可以看成是無限深勢阱）中對壁的壓力。 第二題(12+9+9)：1、試求屏蔽庫侖勢場的微分散射截面。（提示：可直接用中心勢散射的玻恩近似公式的化簡形式）     其中, (分子中k應(yīng)改為k)2、考查低能極限時的形式，并用一句話說出其物理特性。3、考查時的極限形式， 第三題(11+10+10+9)：電子被束縛在簡諧振子勢場中：，若引入，則有，并有關(guān)系，。顯然基態(tài)應(yīng)滿足 1、試求基態(tài)波函數(shù) =? 2、進(jìn)一步求第1激發(fā)態(tài)的波函數(shù)。 3、如果勢

5、阱中有兩個電子（忽略它們間的相互作用），他們整體的基態(tài)波函數(shù)是什么？    （提示：電子為自旋為1/2的全同粒子）。4、如果加入均勻磁場b，問當(dāng)b很強(qiáng)，超過某臨界時，上述基態(tài)還會是基態(tài)嗎？ 試具體求出  。2000年西安電子科技大學(xué)碩士研究生招生量子力學(xué)試題2中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2001年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試卷試題名稱：量子力學(xué)（實(shí)驗(yàn)型）一、（10分）設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動 試用de broglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。二、（10分）設(shè)一個質(zhì)量為m的粒子束沿正x方向以能量e向x=0處的勢壘運(yùn)動 試用量子力學(xué)的觀點(diǎn)回答

6、：在x=0處被反射的反射系數(shù)是多少？三、（20分）1、在坐標(biāo)表名勝中寫出一維量子體系的坐標(biāo)算符和動量算符，并推導(dǎo)其間的對易關(guān)系。2、在動量表象中做1所要求做的問題。四、（20分）設(shè)一個微觀粒子在球?qū)ΨQ的中心勢場中運(yùn)動，且處于一個能量和軌道角動量的共同本征態(tài)。1、在球坐標(biāo)系中寫出能量本征態(tài)波函數(shù)的基本形式，寫出勢能在此態(tài)中平均值v的表達(dá)式，并最后表示成徑向積分的形式。2、設(shè)v(r)為r的單調(diào)上升函數(shù)（即對任意r,）。試證明：對任意給定的r0，均有 ，其中r(r)是徑向波函五、（20分）設(shè)一個質(zhì)量為m的微觀粒子的哈密頓量不顯含時間，試證明：在能量表象中有 其中e為能量，x為坐標(biāo)。六、（20分）設(shè)一

7、微觀體系的哈密頓h=h0+h，其中h為微擾。在一個由正交歸一函數(shù)作為基的表象中。 其中c為常數(shù)1、求h的精確本征值2、求h的準(zhǔn)確到微擾的二級修正的本征值3、比較1和2的結(jié)果，指出其間關(guān)系。一九九八年華東師范大學(xué)一九九八年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題考試科目：量子力學(xué)專業(yè)：理論物理、光學(xué)、生物物理、學(xué)科教學(xué)論、無線電物理等1、一電子在沿方向的強(qiáng)度為e的均勻靜電場中，（1）定出該一維電子系統(tǒng)的哈密頓算符；（2）該電子動量算符平均值的時間變化率是多少？將所得結(jié)果與經(jīng)典物理學(xué)結(jié)果比較。2、（1）由經(jīng)典波動力學(xué)的統(tǒng)計表波條件，德布羅意波粒二象性假設(shè)及有關(guān)公式，直接導(dǎo)出寬度為a的無限深方勢阱中一自由粒子能量

8、的可能值；寫出相應(yīng)的波函數(shù)形式。（2）對本例中所包含的基本觀點(diǎn)、方法及其結(jié)果，您能說些什么？3、（1）算符其中，i（i=x,y,z）為泡里矩陣有何物理意義？寫出它們的矩陣形式及基本對易關(guān)系；寫出它們的本征值和本征態(tài)形式。（2）設(shè)某電子處于某一狀態(tài)，在該狀態(tài)中測量其自旋沿方向的值恒定為。問，若在該狀態(tài)中測量其自旋沿方向的值，所得結(jié)果是什么？簡要說明您的思考步序及計算公式。4、（1）量子力學(xué)中怎樣判斷某力學(xué)量（算符）是守恒量？為什么？（2）為了描寫一量子力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)，需尋找一個“守恒力學(xué)量（算符）完全集”。該集的力學(xué)量都是守恒量，且相互對易，其數(shù)目與該系統(tǒng)的自由度數(shù)目相同。于是，人們可用與該算符

9、集中每一算符相對應(yīng)的本征值量子數(shù)來特征該量子系統(tǒng)（如氫原子）。問，在討論下列兩種哈密頓算符所確定的電子的運(yùn)動狀態(tài)時，各守恒力學(xué)量集應(yīng)包含哪些力學(xué)量？證明之。（a），其中v（r）表示有心勢。（b），其中表示自旋軌道磁矩相互作用能項(xiàng)，為自旋算符，為軌道角動量算符。提示：和li（i=x,y,z）都僅對與角度的微分算符有關(guān)。注意事項(xiàng)：1、以上四題每題25分；2、要求回答簡潔，思路清晰，書寫整齊。雅舍考研之路網(wǎng)友:qinhu提供.1997年華東師范大學(xué)一九九七年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題考試科目：量子力學(xué)專業(yè)：理論物理、光學(xué)、凝聚態(tài)物理、生物物理、學(xué)科教學(xué)論、無線電物理一、求對易關(guān)系為常數(shù)。（10分）二

10、、若粒子在位勢中運(yùn)動，試證：；。 表示算符的平均值。（10分）三、利用角動量算符和組成升值算符和降值算符：，（1）試求 （2）已知，試求常數(shù)和的值。四、帶電粒子（電荷為q）在與磁場b（沿z軸）垂直的xy平面內(nèi)運(yùn)動，取矢勢為，（1）寫出此二維問題的哈密頓。（2）求其能量本征值與本征函數(shù)。五、一維諧振子的狀態(tài)（在其能量表象中）為試求、，h為哈密頓算符， 表示算符的平均值。（提示：，）六、設(shè)哈密頓的矩陣形式為。（1）求h的精確本征值；（2）若設(shè)，應(yīng)用微擾論來求h本征值的二級近似；（3）在怎樣條件下（2）和（1）的結(jié)果一致？七、設(shè)有二個電子，自旋態(tài)分別為與（1）證明二個電子處于自旋單態(tài)s=0及三重態(tài)s

11、=1的概率分別為，；（2）設(shè)有這樣二束極化忠心耿耿散射，證明：式中3和分別是二個電子處于三重態(tài)和單態(tài)下的散射截面。雅舍考研之路網(wǎng)友:qinhu提供.1996年華東師范大學(xué)一九九六年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題考試科目：量子力學(xué)專業(yè)：理論物理、光學(xué)、生物物理、學(xué)科教學(xué)論、凝聚態(tài)物理（1）量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)對于粒子系統(tǒng)的描述有何不同？為什么？（2）量子力學(xué)中的一個重要特點(diǎn)是，需要通過力學(xué)量算符和波函數(shù)的適當(dāng)組合運(yùn)算才能求出實(shí)驗(yàn)上的可測量。試舉出三個例子。（應(yīng)寫出必要的公式）（3）證明：在有心力場v（r）中微觀粒子的角動量平方和角動量的任一分量都是守恒量。（4）一維無限深方勢井中，微觀粒子能量的本征值

12、為相應(yīng)的本征函數(shù)為現(xiàn)設(shè)某一粒子在該勢井中的運(yùn)動狀態(tài)由描寫，求該粒子的能量可能值和相應(yīng)的幾率。（5）描寫電子自旋的角動量沿直角坐標(biāo)系各軸方向的分量為；沿方向的分量為。寫出這些力學(xué)量算符和在表象是的矩陣形式。分別求出它們的本征值和本征函數(shù)。在的屬于本征值為+1的本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，出現(xiàn)或-1狀態(tài)的幾率多少？出現(xiàn)或-1狀態(tài)的幾率又是多少？（6）利用schrodinger議程證明，動量算符在任意狀態(tài)中的平均值和勢能的平均值之間存在如下關(guān)系（稱為ehrenfest定理）：。注意到勢能的負(fù)梯度即為勢場中該粒子所受到的力，上式與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二定律相對應(yīng)。*（1）-（4）題各15分；（5）-（6）題

13、各20分。雅舍考研之路網(wǎng)友:qinhu提供.南京師范大學(xué)1997年研究生入學(xué)考試試卷學(xué)科專業(yè)：理論物理、天體物理考試科目：量子力學(xué)擒狐（qinhu）編緝 oicq:68524281、（15分）證明：（1）是厄密算符。（2）一維運(yùn)動的粒子的動量平均值可表示為：2、（15分）設(shè)是和的本征函數(shù)，其相應(yīng)的本征值分別為和。試證明：（1）。也是和的本征函數(shù)。（2）在態(tài)中，的平均值為零。3、（15分）粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動，粒子的勢能為求解粒子角動量為零時的能級和波函數(shù)。4、（15分）在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，受到微擾作用試用微擾法計算基態(tài)能量（準(zhǔn)確到二級近似）。5、（15分）設(shè)自旋s=1的粒子處在狀

14、態(tài)，試求在態(tài)中自旋的可能值及相應(yīng)的幾率。已知在表象中有：，。6、（15分）設(shè)體系哈密頓量為。本征值方程，。證明：（1） （2）。7、（10分）用bohn近似法，求出高能粒子在勢場中的微分散射截面。感謝雅舍網(wǎng)友qinhu南京師范大學(xué)1998年研究生入學(xué)考試試卷學(xué)科專業(yè)：理論物理考試科目：量子力學(xué)（548）擒狐（qinhu）編緝 oicq:6852428一、（10分）若要使電子的德布羅意波長達(dá)到1米，那么電子的速度應(yīng)為多少？若將電子換為中子，其速度又為多少？通過計算，你認(rèn)為宏觀尺度上的物質(zhì)波是否現(xiàn)實(shí)？二、（10分）已知作一維運(yùn)動的自由粒子的位置與動量之間的測不準(zhǔn)關(guān)系為，導(dǎo)出其時間與能量之間的測不準(zhǔn)

15、關(guān)系。三（15分）（1）計算下列對易關(guān)系：。（2）若算符與它們的對易子都對易，證明：（3）證明在有心力場中運(yùn)動的粒子，其角動量守恒。（不考慮自旋）四、（10分）一個質(zhì)量為m的粒子在勢阱中運(yùn)動，求其基態(tài)，第一、二激發(fā)態(tài)的能量。五、設(shè)有5個沒有相互作用的質(zhì)量為自旋為1的粒子，在一維諧振子勢阱中運(yùn)動，問其體系的基態(tài)能量為多少？若將這5個粒子換成自旋為的粒子（質(zhì)量仍為），則體系的基態(tài)能量又為多少？六、（15分）計算算符的本征值與本征函數(shù)，其中為常數(shù)，為單位矩陣，為泡利算符。若，則本征值與本征函數(shù)為多少？七、對于單電子原子，其哈密頓量為（1）試證明軌道角動量和自旋不是守恒量，總角動量是守恒量。（2）若自

16、旋軌道相互作用可當(dāng)作微擾，計算此系統(tǒng)的能量到一級修正。（的本征能量為，本征函數(shù)：為自旋波函數(shù)）八、現(xiàn)有一兩電子體系，已知一個電子處于的本征態(tài)，計算：（1）體系的自旋波函數(shù)，（2）總自旋s的右能值與相應(yīng)的幾率，（3）和的平均值。常用物理常數(shù)：南京師范大學(xué)1999年研究生入學(xué)考試試卷學(xué)科專業(yè)：理論物理考試科目：量子力學(xué)553擒狐（qinhu）編緝 oicq:6852428一、填充題（每題4分）1、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是_，其標(biāo)準(zhǔn)條件是_。2、設(shè)為一維線性諧振子的波函數(shù)，則有_；_。_；_。3、設(shè)為和的共同本征矢，則；。4、設(shè)有波函數(shù)，幾率密度；幾率流密度；。5、氫原子中電子處于3d態(tài)，的徑向頒為最大值

17、時的r=_。6、在表象中，在自旋態(tài)中的可能測值為_和_，其相應(yīng)幾率分別為_和_。7、對易關(guān)系：；。8、中心力場中，電偶極躍遷的選擇定則為；。9、考慮到電子自旋，氫原子能級的簡并度為_；堿金屬原子能級的簡并度為_。10、兩個角動量，耦合的總角動量j=_和_。相應(yīng)耦合態(tài)個數(shù)分別為_個和_個。二、計算題（每題10分）1、試求粒子（e>0）在下列勢阱壁（x=0）處的反射系數(shù)（見圖）。0v(x)ex2、試計算在和共同本征態(tài)中的平均值。3、設(shè)粒子在具有理想反射壁的球內(nèi)運(yùn)動，粒子的勢能為求粒子的角動量為零時能級和歸一化的波函數(shù)。4、一維非線性諧振子的勢能為若把非諧振項(xiàng)看作微擾，試求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能量

18、的一級修正。5、用玻恩近似方法，求在勢場中散射微分截面。6、兩個自旋波函數(shù)各有幾個？在情況下，對稱和反對稱的自旋波函數(shù)各有幾個？南京師范大學(xué)2000年研究生入學(xué)考試試卷學(xué)科專業(yè)：理論物理、天體物理考試科目：量子力學(xué)（a卷）559擒狐（qinhu）編緝 oicq:6852428一、填充：（每題4分，共32分）1、波函數(shù)模的平方表示的物理意義是_1_。表示的物理意義是_2_。2、由幾率流密度矢量構(gòu)成的表示的物理意義是_3_。3、算符若滿足關(guān)系_4_，則此算符為角動量算符。4、完成對易關(guān)系：_5_,_6_。_7_。5、設(shè)為氫原子的能量本征函數(shù)，完成下列積分：_8_，_9_，_10_。6、若采用狄拉克符號，構(gòu)成的耦合表象的基矢為_1