應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計--第三章習(xí)題及答案上課講義

1、習(xí)題三2.設(shè)總體的分布密度為:f(X；)(1)x ,0,其它（X1丄,Xn）為其樣本，求參數(shù) 為：解的矩估計量0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數(shù) 計算其最大似然估計：?和極大似然估計量 的估計值.?.現(xiàn)測得樣本觀測值L( ,XiK Xn)1 XinXii 1ln L(,XiKXn)n ln(1)In XiIn L(,X1K Xn)ln Xi1其矩估計為:nnIn xi 10.21120.1 0.20.90.80.70.73.4EX1)x1dxflX,?130.3077X 1所以：？2Xnnln Xii 1?10.3077, ?20.21123.設(shè)元件無故障工作時間 后得到它

2、的頻數(shù)分布為：X具有指數(shù)分布，取1000個元件工作時間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組組中值xi5152535455565頻數(shù)i365245150100704525如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù)的點估計.解最大似然估計:nL(,xK xn)e Xii 1ne",ln L nlnnxd no1 -1 720000 “l(fā)n Lnx 0, ?,Xxv20dX1000 i 1100010.05X5.為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果,現(xiàn)從消毒后的水中隨機(jī)抽取50 升,化驗每升水中大4.已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機(jī)抽取10只，測得其壽命（單位：小時）為：1067

3、, 919, 1196, 785, 1126, 936, 918， 1156， 920, 948設(shè)總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率.解設(shè)燈泡的壽命為x,xN(,2、），極大似然估計為：1 n? x, ?2-(人 x)2n i 1根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到：?997.1, ?17235.81 .經(jīng)計算得，這個星期生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時的概率為0.0075.腸桿 菌的個數(shù)（假定一升水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布），其化驗結(jié)果如下:大腸桿菌數(shù)/升0612345升數(shù)li1702010210試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使上述情況的概率為

4、最大?解 設(shè)x為每升水中大腸桿菌個數(shù)， XP（ ） , Ex ，由3題（2）問知， 的最大似然估計為X，所以?L X 0*17 1*20 2*10 3*2 4*1 /50 1.所以平均每升氺中大腸桿菌個數(shù)為1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大,X,s2是樣本均值和樣本方差,8.設(shè)X1,，Xn是來自總體X的樣本，并且EX =, DX = 試確定常數(shù)c，使X cS是2的無偏估計量2數(shù)C1, C2,使得G ?0?為的線性最小b方!差無偏估計量解：設(shè)D 122,D2 22E(G1 c2 2)GC2(GC2)，C1C2d(g1 c2 2)c2g?2 222c21 G222c221C13c22 c,1當(dāng)c121，

5、上式達(dá)到最'小，此時 c21C122*3331, c21 c1E(X2 cS2) EX2 cES2DX E2X c 22n2 2 c1所以c -n .9.設(shè)？，？是的兩個獨立的無偏估計量，并且？的方差是？的方差的兩倍.試確定常00010.設(shè)總體X具有如下密度函數(shù),f(x.x)0,0其它X1,，Xn是來自于總體X的樣本，對可估計函數(shù)g()1-，求g()的有效估計量(?()，并確定R-C下界.解因為似然函數(shù)nL( ,X1K Xn)xn 1i 1nxn 1,in L nlni1(1)In Xid lnL ninXi1n _In xi11n _In Xjg( )0dnn所以取統(tǒng)計量T1In x

6、n1E ln Xjin x x1dx1In xdxx In x110x 1dx111得ET - = g()，所以T1 ln x是無偏估計量n令c( ) n 由定理2.3.2知T是有效估計量，由 DTg()c()1所以 C-R方差下界為丄n11.設(shè)X.,Xn是來自于總體 X的樣本,總體X的概率分布為:1)2)3)解1)f(x，)(八)1 |x|x 1,0,1, 0求參數(shù)的極大似然估計量 ？；試問極大似然估計 ？是否是有效估計量？如果是， 請求它的方差試問 是否是相合估計量？(書上沒有這個問題)|Xi|和信息量1();L(，x1Kxn)i1 211 hllxllxlIn LJnL得到E1nx In

7、 (nxi最大似然估計量xixixi ,Exi所以E1 nxi所以？是無偏估計量,c(信息量i() gn(1xixixi，由定理2.3.2得到xi是有效估計11(1 )c()(1 )n0,(n所以，T也是相合估計量12從一批螺釘中隨機(jī)地取16枚，測得其長度（單位：cm）為:2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設(shè)釘長分布為正態(tài)，在如下兩種情況下，試求總體均值的90%置信區(qū)間,1）若已知=0.01cm ；2）若未知;解因為 X2.125,n 16,s 0.171,1-0.95,

8、0.951.65, t0.95 151.7531）計算=X0.952.1209'b0.010.95 - .162.1291所以置信區(qū)間為1.121,2.1292）計算=X t0 95 15 0.012.1175,b XV16t°.95 15°.01712.1325.16所以 置信區(qū)間為 2.115,2.135s=11（m/s），設(shè)炮口速度13隨機(jī)地取某種炮彈 9發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間.2 2解由題意標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間為（n2 1）S ,（門2 1）S ）-0.025 （8

9、）2975(8)計算得S 11, n 9,0.05,a (n 1)S2 (8) 7.431,b0.975(n 1)S2221.072(8)0.025所以 置信區(qū)間為7.431,21.07214.隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取A批導(dǎo)線：0.143，B批導(dǎo)線：0.140，5根，測得其電阻（）為:設(shè)測試數(shù)據(jù)分別服從 N （0.142，0.142，0.143，0.136,0.1370.138，0.1401, 2)和N( 2,），并且它們相互獨立，又均未知，求參置信區(qū)間為X Y t （m n22)SWn-in22的置信度為95%的置信區(qū)間由題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計:n210,0.05計算得x 0.14125, y 0.1392, SA 8.25*10 6,S： 5.2*10 6,n14,n2 5,0.05SW 6.57gl0 6,Sw 0.00255,t0.975（7） 2.365,a0.0022,b 0.0063所以0.0022,0.006315.有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定值的方差 s2依次為0.5419和0.6065，設(shè)A與：分別為A、B所測