材料力學 梁的彎曲問題

1、第十五章 梁的彎曲問題15.1 工程實際中的彎曲問題 梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。AB一、平面彎曲的基本概念F2F1M工程實例 建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水槽壁等。槽壁等?；疖囕S火車軸 廠房吊車梁廠房吊車梁 平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面荷載作用面)內(nèi)，即梁的軸線成為一

2、條平面曲線。內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。 (a)ABF2F1 (c)對稱（平面）彎曲(Planar bending) 對稱平面對稱平面 F2F1 (b) 梁的荷載和支座反力 一、梁的荷載 1 集中力：作用在微小局部上的橫向力；集中力：作用在微小局部上的橫向力； 2 集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內(nèi)的力偶。平行的平面）內(nèi)的力偶。MeF3 分布荷載：分布荷載：沿梁長連續(xù)分布的橫向力沿梁長連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：荷載集度：用用q(x)表示表示 分布荷載的大小分布荷載的大小 均布荷載均布荷載非均布荷載非均布荷載q(x)q(x)=

3、C二、梁的支座及支座反力支座形式1 固定鉸約束固定鉸約束2 可動鉸約束可動鉸約束3 固定支座固定支座RFRyFRxFRyFRxFRM 計算簡圖 確定梁的確定梁的“計算簡圖計算簡圖” 包含：包含： 以梁的軸線經(jīng)代替實際的梁；以梁的軸線經(jīng)代替實際的梁； 以簡化后的支座代替實際的支座；以簡化后的支座代替實際的支座； 實際支承實際支承理想支承理想支承 以簡化后的荷載代替實際的荷載。以簡化后的荷載代替實際的荷載。 三、梁的分類 按支座情況按支座情況 簡支梁：一端固定鉸，一端可動鉸簡支梁：一端固定鉸，一端可動鉸外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁懸臂梁：一端固定支座，另一端

4、自由懸臂梁：一端固定支座，另一端自由 按支座反力的求解方法 靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB 超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。力的梁。FF 按梁的橫截面 等截面梁：橫截面沿梁的長度沒有變化；等截面梁：橫截面沿梁的長度沒有變化； 變截面梁：橫截面沿梁的長度有變化。變截面梁：橫截面沿梁的長度有變化。汽車鋼板彈簧汽車鋼板彈簧魚腹梁魚腹梁15.2 梁的內(nèi)力及其求法 一、求梁的內(nèi)力的方法截面法0yF0OMM內(nèi)力的形式及名稱剪力剪力彎矩彎矩N或或kNNm或或kNm11Q

5、FMFQFRAaAAFRAFRB laF1F20yF0OMRARA0MFaMFa內(nèi)力的求法BF1FRAF2FQ M?RAQQRA0FFFFMFQFRAaA內(nèi)力的正負號剪力剪力彎矩彎矩MM M M FQFQ左上右下為正左上右下為正左下右上為負左下右上為負向上凹變形為正向上凹變形為正向上凸變形為負向上凸變形為負FQFQ 例例1 圖示簡支梁受兩個集中力作用，已知圖示簡支梁受兩個集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計算指定截面試計算指定截面1-1、2-2的內(nèi)力的內(nèi)力。0BM0yFRR120ABFFFFR15kNAFR7kNBF解：(1) 求支座反力12R2.51.530AFFF BAF1

6、11FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的內(nèi)力 0yF0OM1R1110.509kN mAMFFM FRAAFQ1M11mF10.5mkN301Q1Q1RAFFFFBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m (3)求2-2截面上的內(nèi)力 0yF0OM1222R1.507m2k.0N5AFFMMFF2F1AM2FQ2FRARA12Q2Q207kNFFFFF RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFQ2RBFF BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m 結(jié)論： 1 梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左梁的任一橫截

7、面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（側(cè)（或右側(cè)或右側(cè)）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（右邊向下右邊向下）的外力使截面產(chǎn)生正號的剪力。的外力使截面產(chǎn)生正號的剪力。 2 梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（側(cè)（或右側(cè)或右側(cè)）所有豎向力對該截面形心力矩的代數(shù)和）所有豎向力對該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時針（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時針（右邊逆時針右邊逆時針）的力矩使截面產(chǎn)生正號的彎矩。）的力

8、矩使截面產(chǎn)生正號的彎矩。RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFF2F1M2FQ2FRAMFQ 例例2 試利用上述結(jié)論寫出圖示梁試利用上述結(jié)論寫出圖示梁1-1截面上的剪力和截面上的剪力和彎矩的表達式。彎矩的表達式。M RBFsin2 Fql1F2lceqleMfFRBbfFsin2eF 1qF1FRBlbcMeF2de11fMFQQF 例例3 求圖示簡支梁求圖示簡支梁1-1與與2-2截面的剪力和彎矩截面的剪力和彎矩。0BMR68 4.512 31.5AF R15kNAF0AMR68 1.512 34.5BF R29kNBFFRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8k

9、N113m2m221.5m1.5m(2)求求1-1截面的剪力截面的剪力FQ1、彎矩彎矩M1根據(jù)根據(jù)1-1截面截面左側(cè)左側(cè)的外力計算可得的外力計算可得：1M1MR1587kNAFFR22 1.526kN mAFF R37kNBqFR32.5426kN mBqF根據(jù)根據(jù)1-1截面截面右側(cè)右側(cè)的外力計算可得的外力計算可得可見計算結(jié)果完全相同可見計算結(jié)果完全相同。Q1FQ1FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m (3) 求求2-2截面的剪力截面的剪力FQ2、彎矩彎矩M2 根據(jù)根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計算可得截面右側(cè)的外力計算可得：2MR1.511kNBqF R1.

10、50.751.530kN mBqFQ2FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m15.3 內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖 為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長的變化情況用圖形表示出來，這種表示剪力矩沿梁長的變化情況用圖形表示出來，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。 xMM 函數(shù)圖形 具體作法是：具體作法是： 剪力方程：剪力方程： 彎矩方程：彎矩方程： xFFQQ 例例4 求作圖示受均布荷載作用的簡支梁的剪力圖和求作圖示受均布荷載作用的簡支梁的剪力

11、圖和彎矩圖彎矩圖。 解：(1)求支座反力RR2ABqlFF QFx xMR2AlFqxqxR22AxqFxqxx lx(2)列出剪力方程和彎矩方程 取距左端為取距左端為x處的任一截面，此截面的剪力和彎矩處的任一截面，此截面的剪力和彎矩表達式分別為表達式分別為:xFRAFRBBqlA Q2lFxqx xlxqxM2(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值FQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖xFRAFRBBqlA 例例5 簡支梁受一集中力簡支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶和一集中力偶Me=ql2作作用，試作出其剪力圖和彎矩圖用，試作出其剪力圖和彎矩圖。 分析分析： 1-1、2-2截截面上的剪力面上的

12、剪力 結(jié)論：結(jié)論：當梁中間受力較復雜時，剪力方程和彎當梁中間受力較復雜時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段段 列出其表達式。列出其表達式。 分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點為界載的起點和終點為界(分段點如何確定？分段點如何確定？) 1122（ ? ）3344BA(O)lCDF Mel/3l/3 解：(1)求支座反力R5AFqlR4BFql QR5AFxFql R5AM xFxql x (2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和彎矩方程 AC段FRAFRBBA(

13、O)lCDF Mel/3l/3 CD段段 QFx xM QFx xMR4AFFql 2R334AFxFxlqlql xR4AFFql 2R344AeFxFxlMqlqlx DB段段 FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3ql5ql4253ql23ql243ql Q544qlFxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443522(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值 FQ圖M圖圖R5AFqlR4BFql1122BA(O)CDFRAFRBlF Mel/3l/3 結(jié)論： 當梁上荷載有變化時，剪力方程和彎矩方程當梁上荷載有變化時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段列出

14、不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段列出其表達式。分段是以其表達式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點及分布荷載的起點和終點為界。為界。 剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的 。在集中力作。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向為的大小，方向為“順下逆上順下逆上”。 15.4 彎矩、

15、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 一、彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 QddM xFxx QddFxq xx 0 xq Q544qlFxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443522BA(O)CDlF Mel/3l/3 二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q 0 0 0 0 0MM 結(jié)論（規(guī)律）： (2)當梁的支承情況當梁的支承情況對稱對稱，荷載，荷載反對稱反對稱時，則彎矩時，則彎矩圖永為圖永為反對稱反對稱圖形，剪力圖永為圖形，剪力圖永為對稱對稱圖形。圖形。 (1)當梁的支承情況當梁的支承情況對稱對稱，荷載也，荷載也對稱對稱時，則彎矩時，則彎矩圖永為圖永為對稱對稱圖形，剪力圖永為圖形，剪力圖永為反對稱反對

16、稱圖形；圖形；FQ圖M圖CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2 例例7 圖示左端外伸梁，外伸端圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷載的分布集度為段所受荷載的分布集度為q，試利用微分試利用微分關(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖關(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖。0yF0AMRA76FqaRB116Fqa解：(1)求支座反力三、畫剪力圖、彎矩圖的簡便方法Bq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力圖(3)作彎矩圖aqqax6767maxMRB116FqaRA76Fqa2721211211611611611qaaaqaqax7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ圖M圖

17、MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA+466683222FQ (kN)M(kNm) 作梁的內(nèi)力圖作梁的內(nèi)力圖aqQFMqqaaaqa22/qa22/qaqaqaqa2qaqa3qa2qa22qa22qa22qaq2qaa2aaQFMqa5qaACBD 結(jié)論結(jié)論：q、F、Me共同作用共同作用時產(chǎn)生的內(nèi)力等于時產(chǎn)生的內(nèi)力等于q、F、Me分別分別單獨作用單獨作用時產(chǎn)生的內(nèi)力之時產(chǎn)生的內(nèi)力之和和。 因此，當梁上有幾種（或幾個）荷載作用時，可以因此，當梁上有幾種（或幾個）荷載作用時，可以先分別計算每

18、種（或每個）荷載單獨作用時的梁的反先分別計算每種（或每個）荷載單獨作用時的梁的反力和內(nèi)力，然后將這些分別計算所得的結(jié)果代數(shù)相加力和內(nèi)力，然后將這些分別計算所得的結(jié)果代數(shù)相加得梁的反力和內(nèi)力。這種方法稱為得梁的反力和內(nèi)力。這種方法稱為疊加法。15.5 疊加法作剪力圖和彎矩圖BqACMeDlbaFOOO12+OOO12+1 疊加原理成立的前提條件：疊加原理成立的前提條件：（1）小變形）小變形（2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）當變形為微小時，可采用變當變形為微小時，可采用變形前尺寸進行計算。形前尺寸進行計算。1、疊加原理疊加原理：當梁在各項：當梁在各項荷載作用下某

19、一橫截面上荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨作的彎矩等于各荷載單獨作用下同一橫截面上的彎矩用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。的代數(shù)和。2、區(qū)段疊加法作彎矩圖區(qū)段疊加法作彎矩圖： 設(shè)簡支梁同時承受跨間荷設(shè)簡支梁同時承受跨間荷載載q與端部力矩與端部力矩MA、MB的作用的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部。其彎矩圖可由簡支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨作用下簡支梁彎矩間荷載單獨作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即：圖疊加得到。即：+MAMBM0+MAMBM0彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 xMxMxM0BMAAqMBlB1 q(x)=0 QFxC Q10Fx 結(jié)論結(jié)論: :彎矩

20、圖為一水平直線彎矩圖為一水平直線 。FQM+lABMe Q20FxC 結(jié)論結(jié)論: :剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于的絕對值等于FS一斜直線一斜直線 （）。（）。lFABFQFMFl- Q30FxClFABFQF-MFl+ 結(jié)論結(jié)論: :剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于等于FS一斜直線一斜直線 （）。（）。 2 q(x)0 結(jié)論結(jié)論:剪力圖為斜率等于剪力圖為斜率等于q的的 一斜直線（）一斜直線（） ，彎矩，彎矩圖為拋物線（開口向下）。圖為拋物線（開口向下）。BqlAM圖FQ圖ql/2ql/2 3 q

21、(x)0 結(jié)論結(jié)論:剪力圖為斜率等于剪力圖為斜率等于q的的 一斜直線（）一斜直線（） ，彎，彎矩圖為拋物線（開口向上）。矩圖為拋物線（開口向上）。qBlAxFQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖 4 集中力F作用處R1AaFFlRBaFFl 結(jié)論結(jié)論: :在集中力作用在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變處剪力圖發(fā)生突變( (彎彎矩不變矩不變) )，突變的數(shù)值，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方等于集中力的大小，方向與剪力的方向相同。向與剪力的方向相同。 laF 1laF1FQ圖alaF 1M圖FRAFRBlFaAB 5 集中力偶Me作用處 結(jié)論結(jié)論:在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突在有集中力偶作用的地方彎

22、矩圖發(fā)生突變變(剪力不變剪力不變)，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向為方向為“順下逆上順下逆上”。 lMFeRAlMFeRBlMeeeMlbMlbMelMebxFQ圖M圖FRAFRB 例例9 試判斷圖示各題的試判斷圖示各題的FQ、M圖是否正確，如圖是否正確，如有錯請指出并加以改正。有錯請指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx+60kN50kN60kN.mRB50kNFRA60kNF 23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBM

23、e=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN由圖可知，在梁的由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為曲稱為剪切彎曲剪切彎曲(或橫力彎或橫力彎曲曲)。在梁的在梁的CD段內(nèi)，各橫段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無剪力，截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為這種彎曲稱為純彎曲純彎曲。 15.6 梁橫截面上的正應(yīng)力計算1、剪切彎曲、剪切彎曲內(nèi)力內(nèi)力剪力剪力Q 切應(yīng)力切應(yīng)力t彎矩彎矩M 正應(yīng)力正應(yīng)力2、純彎曲、純彎曲 內(nèi)力：彎矩內(nèi)力：彎矩M 正應(yīng)力正應(yīng)力由以上定義可得：由以上定義可得：1.純彎曲實驗純彎曲實驗 橫向線橫向線(

24、a b、c d）變）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動（一）梁的純彎曲實驗（一）梁的純彎曲實驗縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面bdacabcdMM 縱向線變?yōu)榭v向線變?yōu)橥膱A弧同心圓弧曲線，且上縮下伸曲線，且上縮下伸 橫向線與縱向線變形橫向線與縱向線變形后仍正交。后仍正交。橫截面高度不變。橫截面高度不變。純彎曲梁上正應(yīng)力的確定純彎曲梁上正應(yīng)力的確定（2）縱向纖維間無擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。）縱向纖維間無擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。 （1）平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，并垂直于變形后梁的軸線并垂直于變形后梁的軸線。中性

25、層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸（橫截面上只有正應(yīng)力）（橫截面上只有正應(yīng)力）2. 根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的兩點假設(shè)：內(nèi)部的變形，作出如下的兩點假設(shè)：3 . 兩 個 概 念兩 個 概 念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸 M 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩 y 所計算點到中性軸的

26、距離所計算點到中性軸的距離 Iz 截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩ZIMy4. 正應(yīng)力公式正應(yīng)力公式不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲；適用于所有截面。適用于所有截面。5. 應(yīng)力正負號確定應(yīng)力正負號確定 M為正時為正時,中性軸中性軸上部上部截面截面受壓受壓 下部下部截面截面受拉受拉; M為負時為負時,中性軸中性軸上部上部截面截面受拉受拉 下部下部截面截面受壓受壓. 在拉區(qū)為正在拉區(qū)為正,壓區(qū)為負壓區(qū)為負 最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力危險截面危險截面: 最大彎矩所在截面最大彎矩所在截面 Mma危險點：距中性軸最遠邊緣點危險點：距中性軸最遠邊緣點 ymaxmaxm

27、axmaxzMyImaxyI Wzz抗彎截面模量?？箯澖孛婺Ａ?。zWMmax 令令 則則一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；的上下邊緣上；5. 最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力DdDd)1 (32 43maxDyIWzz圓環(huán)bhd6212 23maxbhhbhyIWzz矩形322/64/ 34maxdddyIWzz圓形Wz Wz 抗彎截面模量抗彎截面模量maxyI Wzz抗彎截面模量。抗彎截面模量。maxmax ZMW1、正應(yīng)力強度條件：、正應(yīng)力強度條件： 矩形和工字形截面梁正應(yīng)力矩形和工字形截面梁正應(yīng)力 max=M/Wz Wz = I

28、z /(h/2) 特點：特點： max+= max- T形截面梁的正應(yīng)力形截面梁的正應(yīng)力 max+ =M/W1 W1 = Iz / y1 max- =M/W2 W2 = Iz / y2 特點：特點： max+ max- 15.7 梁的正應(yīng)力強度計算 zWMmaxmax2、強度條件應(yīng)用：依此強度準則可進行三種強度計算、強度條件應(yīng)用：依此強度準則可進行三種強度計算、校核強度：校核強度校核強度：設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸：確定許可載荷：確定許可載荷：maxMWzmax zMW例例10 受均布載荷作用的簡支梁如圖受均布載荷作用的簡支梁如圖所示試求：所示試求：（1）11截面上截面上1、2兩點的正應(yīng)兩點的

29、正應(yīng)力力（2）此截面上的最大正應(yīng)力）此截面上的最大正應(yīng)力（3）全梁的最大正）全梁的最大正應(yīng)力應(yīng)力（4）已知）已知E=200GPa，求，求11截截面的曲率半徑。面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11x+ M82qLM1Mmax12120180zy解：畫解：畫M圖求截面彎矩圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 609. 0/zzIWMPa7 .6110832. 56060 5121zIyM求

30、應(yīng)力1803082qLx+ MMPa6 .921048. 610006041max1zWMm4 .194106010832. 51020035911MEIzMPa2 .1041048. 610005 .674maxmaxzWM求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax121201803082qLx+ My1y2GA1A2A3A4解：解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例例11 T 字形截面的鑄鐵梁受力如字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的圖，鑄鐵的 L=30MPa， y=60 MPa，其截面形心位于，其截面形心位于G點，點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4

31、，試校核此梁的強度。，試校核此梁的強度。并說明并說明T字梁怎樣放置更合理？字梁怎樣放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx- -4kNm2.5kNmM校核強度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMMPa2 .2710763524813zBLAIyMMPa2 .4610763884824zByAIyMLL2 .28maxyy2 .46maxT字頭在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x-4k

32、Nm2.5kNmM一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx圖圖a圖圖bz 1 1xy 2 2t t1 1t tb圖圖czzSbISFy1)(tttS Sz z* *為面積為面積A A* *對橫截面中性對橫截面中性軸的靜矩軸的靜矩. . 15.8 梁橫截面上的切應(yīng)力及強度)4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzzy式中式中: -: -所求切應(yīng)力面上的剪力所求切應(yīng)力面上的剪力. .I IZ Z-整個截面對中性軸的慣性矩整個截面對中性軸的慣性矩. .S Sz z* *-過所求應(yīng)力點橫線以外部

33、分面積對中性軸的靜矩過所求應(yīng)力點橫線以外部分面積對中性軸的靜矩. .b-b-所求應(yīng)力點處截面寬度所求應(yīng)力點處截面寬度. .,:即隨高度變化變化只隨則一般也不變定，、則如截面確定公式中注意zzzSSbIzQbISFttyA*yc*SFtt5 . 123maxAFS)()4(222為二次拋物線矩yhIFzStQt t方向：與橫截面上剪力方向相同方向：與橫截面上剪力方向相同 ；t t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物分布為拋物線。線。中性軸上有最大切應(yīng)力中性軸上有最大切應(yīng)力. . 為平均切應(yīng)力的為平均切應(yīng)力的1.51.5倍。倍。 其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力其

34、它截面梁橫截面上的切應(yīng)力工字形截面梁工字形截面梁 剪應(yīng)力分布假設(shè)仍然適用剪應(yīng)力分布假設(shè)仍然適用 橫截面上剪力；橫截面上剪力；Iz整個工字型截面對中性軸的慣性矩；整個工字型截面對中性軸的慣性矩；b1 腹板寬度；腹板寬度；Sz*陰影線部分面積陰影線部分面積A*對中性軸的靜矩對中性軸的靜矩最大剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力：SFzzSbISFtzzSbISFmaxmaxtIz圓形截面對中性軸的慣性矩；圓形截面對中性軸的慣性矩；b 截面中性軸處的寬度；截面中性軸處的寬度；Sz*中性軸一側(cè)半個圓形截面對中性軸的靜矩中性軸一側(cè)半個圓形截面對中性軸的靜矩圓形截面梁圓形截面梁最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中

35、性軸上:圓環(huán)截面梁圓環(huán)截面梁 zzSbISFmaxmaxtAFS34maxtAFS2maxt1 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。Qt tt tQt t2 2、切應(yīng)力強度條件：、切應(yīng)力強度條件： ttzzSIbSFmaxmaxmax3 3、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核切應(yīng)力。相應(yīng)比值時，要校核切應(yīng)力。梁的跨度較短，梁的跨度較短，M M 較小，而較小，而F FS S 較大時，要校核切

36、應(yīng)力。較大時，要校核切應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。要校核切應(yīng)力。注意事項 設(shè)計梁時必須同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強設(shè)計梁時必須同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強度條件。度條件。 對細長梁，彎曲正應(yīng)力強度條件是主要的，對細長梁，彎曲正應(yīng)力強度條件是主要的，一般按正應(yīng)力強度條件設(shè)計，不需要校核剪應(yīng)力一般按正應(yīng)力強度條件設(shè)計，不需要校核剪應(yīng)力強度，只有在個別特殊情況下才需要校核剪應(yīng)力強度，只有在個別特殊情況下才需要校核剪應(yīng)力強度。強度。彎曲強度計算的步驟彎曲強度計算的步驟 畫出梁的剪力圖和彎矩圖畫出梁的剪力圖和彎矩圖, 確定確定|FS|max

37、和和|M|max及其所在截面的位置，即確定危險截面。注及其所在截面的位置，即確定危險截面。注意兩者不一定在同一截面；意兩者不一定在同一截面； 根據(jù)截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，判斷危險截面根據(jù)截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，判斷危險截面上的危險點的位置，分別計算危險點的應(yīng)力，即上的危險點的位置，分別計算危險點的應(yīng)力，即 max和和t tmax（二者不一定在同一截面，更不在同一（二者不一定在同一截面，更不在同一點）；點）； 對對 max和和t tmax分別采用正應(yīng)力強度條件和剪應(yīng)分別采用正應(yīng)力強度條件和剪應(yīng)力強度條件進行強度計算，即滿足力強度條件進行強度計算，即滿足 max , t tmax t t解：畫內(nèi)力圖求

38、危面內(nèi)力例例12 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強度。N54002336002maxqLFSNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3mQ2qL2qL+xx+qL2/8M求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztq=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAFSx

39、+qL2/8M作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面 ccttmax,max,要同時滿足要同時滿足分析：分析： 非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置 T T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。試校核梁的強度。 MPa,60,MPa30ct例13mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：（4 4）B B截面校

40、核截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖-4kNm2.5kNmMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖 ttMPa2 .27max, ccMPa1 .46max,P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD-4kNm2.5kNm

41、M 彎曲正應(yīng)力是控制梁彎曲強度的主要因素，故彎曲正應(yīng)力是控制梁彎曲強度的主要因素，故彎曲正應(yīng)力的強度條件：彎曲正應(yīng)力的強度條件：maxmaxzWM 要提高梁的承載承力，應(yīng)從兩方面考慮：要提高梁的承載承力，應(yīng)從兩方面考慮： 一方面是合理安排梁的受力情況，以降低一方面是合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值；的值； 另一方面是采用合理的截面形狀，以提高另一方面是采用合理的截面形狀，以提高W的數(shù)的數(shù)值，充分利用材料的性能。值，充分利用材料的性能。 15.9 提高梁強度的措施 一、合理安排梁的受力情況 合理布置梁的支座22max125. 08qlqlM22max025. 040qlqlMqlABql

42、2/8M圖圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+-ql2/40ql2/50ql2/50 左邊梁的最大彎矩值是右邊梁的最大彎矩值的5 倍。因此，右邊梁上的載荷還要提高四倍，才能使得其最大彎矩值同左邊的相同。因而，右邊梁的承載能力要比左邊高四倍，因此說來，合理的布置梁的支座，對提高梁的彎曲強度是十分必要的。門式起重機的大梁門式起重機的大梁 適當增加梁的支座適當增加梁的支座lqBAlqBA2l2l20175. 0ql203125. 0ql2125. 0ql合理的布置載荷合理的布置載荷。 比較下列兩種布置方法：比較下列兩種布置方法：Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖圖+P

43、l/8M圖Pl/8改善荷載的布置情況改善荷載的布置情況2lF2lllFq MMFl41Fl81二、提高抗彎截面系數(shù)二、提高抗彎截面系數(shù)621bhWz622hbWz121bhWWzz選擇合理的截面形狀62bhWZ左62hbWZ右 在確定梁的截面形狀與尺寸時，除應(yīng)考慮彎曲正在確定梁的截面形狀與尺寸時，除應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強度條件外，還應(yīng)考慮彎曲切應(yīng)力強度條件。因應(yīng)力強度條件外，還應(yīng)考慮彎曲切應(yīng)力強度條件。因此，在設(shè)計工字形、箱形、此，在設(shè)計工字形、箱形、T字形與槽型等薄壁截面字形與槽型等薄壁截面梁時，也應(yīng)注意使腹板具有一定的厚度。梁時，也應(yīng)注意使腹板具有一定的厚度。zz合理選擇截面形狀合理選擇截面形

44、狀，盡量增大，盡量增大Wz值值62bh62hb349 cm10ON372.9cm3167.0a3118.0aAWz/單位面積抗彎截面模量單位面積抗彎截面模量bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.270.31) h(0.290.31)hd=0.8h常見截面的Wz/A值比較: 從表中可以看出，材料遠離中性軸的截面較經(jīng)濟合理。 工程中的吊車梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板，道理就在于此。 從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎能力的截面。在一般截面中，截面面積，卻

45、能獲得較大抗彎能力的截面。在一般截面中，抗彎能力與截面高度的平方成正比。因此，當截面面積一定抗彎能力與截面高度的平方成正比。因此，當截面面積一定時，宜將較多材料放置在遠離中性軸的部位。因此，面積相時，宜將較多材料放置在遠離中性軸的部位。因此，面積相同時：同時：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形； 環(huán)形優(yōu)于圓形。環(huán)形優(yōu)于圓形。 同時應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時達到最大值。同時應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時達到最大值。zz max min根據(jù)材料特性選擇截面根據(jù)材料特性選擇截面對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對稱的截

46、面對稱的截面 拉壓性能不一的材料如鑄鐵，宜用不對稱的截面，使中拉壓性能不一的材料如鑄鐵，宜用不對稱的截面，使中 性軸靠近拉的一側(cè)性軸靠近拉的一側(cè)h2Zch1Zc變截面梁變截面梁1) b不變，中間不變，中間h加大加大ZcxMPl/4xb(x)bmin2) h 不變，中間不變，中間b隨隨x與彎矩與彎矩M（x）同規(guī)律變化，）同規(guī)律變化，如上圖如上圖3) b 不變，中間不變，中間h 隨隨x與彎矩與彎矩 M（x）規(guī)律變化，如）規(guī)律變化，如 右圖搖臂鉆床的搖臂。右圖搖臂鉆床的搖臂。ABPl/2l等強度梁等強度梁階梯梁階梯梁漁腹梁漁腹梁（工藝上簡化）（工藝上簡化）日本巖大橋日本巖大橋雨蓬梁板雨蓬梁板實例：實

47、例：預(yù)應(yīng)力鋼筋預(yù)應(yīng)力鋼筋以上的措施僅僅考慮提高梁的強度方面，事實上，梁的合以上的措施僅僅考慮提高梁的強度方面，事實上，梁的合理使用應(yīng)綜合考慮強度與剛度、穩(wěn)定性等問題。這正是工理使用應(yīng)綜合考慮強度與剛度、穩(wěn)定性等問題。這正是工程構(gòu)件力學分析的核心內(nèi)容。程構(gòu)件力學分析的核心內(nèi)容。 彎曲構(gòu)件除了要滿足強度條件外, 還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。15.10 梁的變形概念梁的變形概念 但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。的彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形

48、，例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。 撓度撓度(w): 任一橫截面形心任一橫截面形心(即軸線上的點即軸線上的點)在垂直于在垂直于x軸方向的線位移軸方向的線位移, 稱為該截面的稱為該截面的撓度撓度。 取梁的左端點為坐標原點取梁的左端點為坐標原點, 梁變形前的軸線梁變形前的軸線為為x軸軸, 橫截面的鉛垂對稱軸為橫截面的鉛垂對稱軸為y軸軸, xy平面為縱平面為縱向?qū)ΨQ平面。向?qū)ΨQ平面。BABCC1撓度w y x x BABCC1 轉(zhuǎn)角 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角( ): 橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度（或角位移）橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度（或角位移）,

49、稱為該截面的稱為該截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 ，也即撓曲線在該截面處的切線也即撓曲線在該截面處的切線與與x軸的夾角。軸的夾角。y 撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定：撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定：撓度：在圖示坐標系中撓度：在圖示坐標系中, 向下為正向下為正, 向上為負向上為負。轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角： 順順時針轉(zhuǎn)向為正時針轉(zhuǎn)向為正,逆時針轉(zhuǎn)向為負。逆時針轉(zhuǎn)向為負。yxABCw(撓度撓度)C1 (轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角)F必須注意必須注意: 梁軸線彎曲成曲線后梁軸線彎曲成曲線后, 在在x軸方向軸方向也有線位移。也有線位移。yxABCw(撓度撓度)C1 (轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角)F但在但在小變形情況小變形情況下下, 梁的撓度遠小于跨長梁的撓度遠小于跨長, 這種位移與撓度

50、相比很小，這種位移與撓度相比很小，可略去不計可略去不計。 撓曲線撓曲線：梁變形后的軸線稱為：梁變形后的軸線稱為撓曲線撓曲線。撓曲線方程撓曲線方程:式中式中, x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標為梁變形前軸線上任一點的橫坐標, w為該為該點的撓度。點的撓度。( )wf xyxABCw(撓度撓度)C1 (轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角)撓曲線撓曲線F 撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：tan( )wfxyxABCw(撓度撓度)C1 (轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角)F此式稱為此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程。梁的撓曲線近似微分方程。( )EIwM x 再積分一次再積分一次, 得得撓度方程撓度方程上式積分一次得上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程若

51、為等截面直梁若為等截面直梁, 其抗彎剛度其抗彎剛度EI為一常量為一常量, 上式可改寫成上式可改寫成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：積分常數(shù)式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的可通過梁撓曲線的邊界邊界條件條件和變形的和變形的連續(xù)性條件連續(xù)性條件來確定。來確定。15.11 梁的變形計算梁的變形計算 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形簡支梁簡支梁懸臂梁懸臂梁邊界條件邊界條件ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 連續(xù)性條件連續(xù)性條件在撓曲線的任一點上在撓曲線的任一點上, 有唯有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。如一的撓度和轉(zhuǎn)角。如:不可能不可能CCw

52、w CC c 討論討論： 適用于小變形、線彈性、細長構(gòu)件的平面彎曲適用于小變形、線彈性、細長構(gòu)件的平面彎曲 用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移 積分常數(shù)由撓曲線變形邊界條件確定積分常數(shù)由撓曲線變形邊界條件確定 優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點：計算較繁缺點：計算較繁例例14 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁的懸臂梁, 在自由端受一集在自由端受一集中力中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定并確定其最大撓度其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角

53、max 。ABlx解：解：以梁左端以梁左端A為原點為原點, 取取直角坐標系直角坐標系, 令令x軸向右軸向右, y軸向下為正。軸向下為正。 (1) 列彎矩方程列彎矩方程( )()M xF lxFlFx F(2) 列撓曲線近似列撓曲線近似微分方程并積分微分方程并積分 21(a)2FxEIwFlxC 2312(b)26FlxFxEIwC xC (3) 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù) 代入式代入式(a)和和(b), 得：得： C10, C20在在x0處處, w0 在在x0處處, 0 -ABlxxyF(4) 建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 將求得的積分常數(shù)將求得的積分常數(shù)C1和和C2代入式代入式

54、(a)和和(b), 得梁的轉(zhuǎn)角得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：方程和撓度方程分別為： (5) 求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度 自由端自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對值最大。處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對值最大。 wmax max所得的撓度為正值所得的撓度為正值, 說明說明B點向下移動點向下移動; 轉(zhuǎn)角為正值轉(zhuǎn)角為正值, 說說明橫截面明橫截面B沿順時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。沿順時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。 EI2FxEIFlxw2 EI6FxEI2Flxw32 2max( )2PLLEI3max( )3PLww LEI例例1515：一簡支梁受均布荷載作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程：一簡支梁受均布荷載作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定最

55、大撓度和和撓度方程，并確定最大撓度和A A、B B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度為設(shè)梁的抗彎剛度為EIEI。ABlq解解:1:1 建立坐標系。求支座反力。列彎矩方程：建立坐標系。求支座反力。列彎矩方程：22)(2qxxqlxM CqxxqlwEI 322232積分DCxqxxqlEIw 43232243qlFF21ByAy 2qxx2qlwEI22o 梁梁的的撓撓曲曲線線微微分分方方程程為為xylABq0D ,24qlC3 323xEI6qxEI4qlEI24qlw 433xEI24qxEI12qlxEI24qlw :0 x 0w :lx 0w 邊界條件邊界條件得得:EI24ql30

56、xA EI384ql5ww4xmax2l EI24ql3lxB xylABqBAwmax例例16：已知：已知F、EI，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程及程及wmax 。xyABFlxabCD解解:1:1 建立坐標系建立坐標系。 求支座反力。求支座反力。,lFbFAy lFaFBy 2分段求出彎矩方程及分段求出彎矩方程及w、w。,lFbx)x(M:AD xlFbwEI1 1211Cxl2FbEIwEI 1131DxCxl6FbEIw )ax(FxlFb)x(M:DB 22222C)ax(2Fxl2FbEIwEI )ax(FxlFbwEI2 2233266DxCaxFxlFbEIw

57、 )(xlFbwEI1 xyABFlxabCD邊界條件：邊界條件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。連續(xù)條件：連續(xù)條件：x = a ，w1= w2， w1= w2 由連續(xù)條件，得：由連續(xù)條件，得：C1= C2， D1= D2再由邊界條件，得：再由邊界條件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l D1=D2=0因此，梁各段的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為：因此，梁各段的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為：EIl2FbxEI6)bl(Fbw:AD22211 3221xEIl6FbxEIl6)bl(Fbw xyABFlxabC D222222)ax(EI2FxEIl2FbEIl6)bl(Fbw:

58、DB 33222)ax(EI6FxEIl6FbxEIl6)bl(Fbw 段。應(yīng)在時，當ADwbamax 。，由由3blx0w2201 。）（EIlblFbwwxx39230221max。）（EI48b4l3Fbww22x1c2l xyABFlxabC D。時時，作作用用于于梁梁中中點點當當cmaxwwCF 。，點點時時，右右移移至至當當l577.0 x0bBF0 。的的位位置置距距梁梁中中點點僅僅l077.0wmax。令令EIFbl0642.0EI39Fblw,0b22max2 。EIFbl0625.0EI16Fblw22c 因此，受任意荷載的簡支梁，只要撓曲線上沒因此，受任意荷載的簡支梁，只

59、要撓曲線上沒有拐點，均可近似地將梁中點的撓度作為最大撓度。有拐點，均可近似地將梁中點的撓度作為最大撓度。xyABFlxabC D條件條件：由于梁的變形微小由于梁的變形微小, , 梁變形后其跨長的改變可略梁變形后其跨長的改變可略去不計去不計, , 且且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作, , 因而因而, , 梁的梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。 在這種情況下在這種情況下, 梁在幾項載荷梁在幾項載荷 (如集中力、集中力如集中力、集中力偶或分布力偶或分布力)同時作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角同時作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角, 就

60、就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加疊加。此即為。此即為疊加原理疊加原理。15.11 梁的變形計算梁的變形計算 疊加法疊加法求彎曲變形求彎曲變形例例1717：簡支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁：簡支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁中點撓度和左端截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁抗彎剛度為中點撓度和左端截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁抗彎剛度為EIEI。ml/2qABCl/2解解: :0 xAw EI16mlEI384ql524 EI3mlEI24ql3 )m()q(AA )m(w)q(wwccc qABC)(qA)(qwcBmAC)(mA)(mwcml/2qABCl/