華師大版九年級(jí)上 三角形中位線(定)

1、 如圖，如圖，A、B兩棵樹(shù)被池塘隔開(kāi)，現(xiàn)兩棵樹(shù)被池塘隔開(kāi)，現(xiàn)在要測(cè)量出在要測(cè)量出A、B兩樹(shù)間的距離兩樹(shù)間的距離 ，但又，但又無(wú)法直接去測(cè)量，怎么辦？無(wú)法直接去測(cè)量，怎么辦？A A B B。A B。C 。D。E。這時(shí)，在A、B外選一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)D、E，如果能測(cè)量出DE的長(zhǎng)度，也就能知道AB的距離了。這是什么道理呢？今天這堂課我們就要來(lái)探究其中的學(xué)問(wèn)。 1、問(wèn)題牽引：、問(wèn)題牽引：已知：如圖，在 中，DEBC求證：BCDEACAEABADABCDEABC點(diǎn)拔：應(yīng)用相似三角形判定方法，解決問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生完成。2.2.問(wèn)題延伸：?jiǎn)栴}延伸：當(dāng)D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)

2、時(shí)，那么是否可以推出DEBC呢？ DE與BC之間存在什么樣的關(guān)系呢？v學(xué)生畫(huà)圖:取 AB、AC邊的中點(diǎn)D、E，連結(jié)D、EABCDEFv定義定義: 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形的中位線.AF是是ABC的中線的中線我們把我們把DE叫做叫做 ABC 的中位線的中位線CBAFED 課題課題 3.6CBAFED 連接三角形兩邊連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段中點(diǎn)的線段, ,叫做叫做 三角形的中位線三角形的中位線 理解三角形的中位線理解三角形的中位線定義的兩層含義定義的兩層含義: : 如果如果DEDE為為ABCABC的中位線，那么的中位線，那么 D D、E E分別為

3、分別為ABAB、ACAC的的 。 如果如果D D、E E分別為分別為ABAB、ACAC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 那么那么DEDE為為ABCABC的的 ；CBAED中位線中位線中點(diǎn)中點(diǎn)三角形中位線的性質(zhì)三角形中位線的性質(zhì)ABCDE如圖，如圖，DE是三角形的一條中位線你能得到是三角形的一條中位線你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？(提示提示:DE和和BC有什么大小關(guān)系和位置關(guān)系？有什么大小關(guān)系和位置關(guān)系？)猜想： DEBC 且DE= BC21證明：證明：D、E分別是分別是AB、AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)21ACAEABAD又又A為公共角為公共角ADE ADE ABC ABC B=ADE DEBC且DE= BC21三角形的中

4、位線性質(zhì)三角形的中位線性質(zhì) 定理定理: :三角形的中位線平行于第三角形的中位線平行于第三邊三邊, ,且等于第三邊的一半且等于第三邊的一半. .ABCDEF用符號(hào)語(yǔ)言表示：用符號(hào)語(yǔ)言表示：DE是是ABC的中位線的中位線 DEAC，DE= AC21例例1、求證三角形的一條中位線與第三邊的中線互相平、求證三角形的一條中位線與第三邊的中線互相平分分ABC CDFE已知：如圖所示，在已知：如圖所示，在ABCABC中中AD=DBAD=DB，AF=FCAF=FC，BE=EC BE=EC 求證：求證：AE、DF互相平分互相平分 證明：連結(jié)證明：連結(jié)DE、EF D、E、F分別為分別為AB、BC、AC上中點(diǎn)上中點(diǎn)

5、DE、EF為為ABCABC的中位線的中位線DE AF、AD EF四邊形四邊形ADEF是平行四邊形是平行四邊形 AE、DF互相平分互相平分點(diǎn)拔：根據(jù)中線定義知道點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，因此連結(jié)DE、EF，再利用三角形的中位線得出四邊形ADEF是平行四邊形，從而得出結(jié)論。如圖所示，如圖所示， ABCABC中，中，D D、E E分別是邊分別是邊BCBC、ABAB的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，ADAD、CECE相交于相交于G G，求證：，求證：31ADGDCEGEBDGAC CE例例2：點(diǎn)拔：點(diǎn)D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線，首先要構(gòu)建中位線，這種輔助線就是自己引出，連結(jié)ED。學(xué)生自己完成推理過(guò)程。例例2 2如

6、圖，如圖，ABCABC中，中，D D、E E分別是邊分別是邊BCBC、ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ADAD、CECE相交于相交于G G求證：求證：31ADGDCEGE證明證明 : :連結(jié)連結(jié)ED，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，DEAC，21ACDE（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半），的一半）， ACGDEG，21ACDEAGGDGCGE31ADGDCEGE如果在圖如果在圖24244 44 4中，取中，取ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)F F，假設(shè)，假設(shè)BFBF與與ADAD交于交于GG，如圖，如圖24.4.524.4.5，那么我們，那么我們同理有同理有

7、 ，所以，所以有有 ，即兩圖中，即兩圖中的點(diǎn)的點(diǎn)G G與與GG是重合的是重合的31BFFGADDG31ADDGADGD 三角形三條邊上的中線交三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的31 如圖如圖,任意作一個(gè)四邊形任意作一個(gè)四邊形,并將其四邊的并將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來(lái)中點(diǎn)依次連接起來(lái),得到一個(gè)新的四邊形得到一個(gè)新的四邊形,這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征?HDCBAEFGFGBD且且FG= BD 四邊形四邊形EFGH是平行四邊形是平行四邊形21

8、EHFG且且EH= FG四邊形四邊形EHGF是平形四邊形是平形四邊形解解: EHBD且且EH= BD21 連結(jié)連結(jié)BD順次連接任意四邊形、平行四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形順次連接任意四邊形、平行四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形v順次連接平行四邊形順次連接平行四邊形 、矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是、矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么形狀？為什么？什么形狀？為什么？ 如果將如果將“矩形矩形”改成改成“菱形菱形”呢？正方形呢？呢？正方形呢？順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的

9、四邊形是矩形結(jié)論：結(jié)論：(1)(2)(3)（4）順次連接正方形形的四邊中點(diǎn)所得的四邊）順次連接正方形形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。形是正方形。 1 1。如圖（。如圖（1 1）ABCABC中，中， AB=6AB=6， AC=8AC=8，BC=10BC=10， D DE EF F分別是分別是ABACBCABACBC的中點(diǎn)的中點(diǎn) 則則DEFDEF的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是 ， 面積是。面積是。 v2 2如圖（如圖（2 2）ABCABC中，中，DEDE是是 中位線，中位線，AFAF是中線，則是中線，則DEDE與與 AFAF的關(guān)系是的關(guān)系是v3 3若順次連接四邊形四邊中若順次連接四邊形四邊中 點(diǎn)所得的四邊形是

10、菱形，則點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則 原四邊形（原四邊形（ ） （A A）一定是矩形）一定是矩形 （B B）一定是菱形）一定是菱形 （C C）對(duì)角線一定互相垂直）對(duì)角線一定互相垂直 （D D）對(duì)角線一定相等）對(duì)角線一定相等FABcDE(1)ACBDEF(2)互相平分互相平分6cm212cmD A A、B B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，如何才兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，如何才能知道它們之間的距離呢？能知道它們之間的距離呢？M MN N 在在ABAB外選一點(diǎn)外選一點(diǎn)C C，連結(jié)，連結(jié)ACAC和和BCBC，并分別找出，并分別找出ACAC和和BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M、N N，如果測(cè)得，如果測(cè)得MN = 20mMN = 20m，

11、那么，那么A A、B B兩點(diǎn)的距離是多少？為什么？?jī)牲c(diǎn)的距離是多少？為什么？如圖如圖1：在：在ABC中，中，DE是中位線是中位線 （1）若）若ADE=60， 則則B= 度，為什么？度，為什么？ （2）若）若BC=8cm， 則則DE= cm，為什么？，為什么？ 如圖如圖2：在：在ABC中，中，D、E、F分別分別 是各邊中點(diǎn)是各邊中點(diǎn) AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 則則DEF的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)= cm圖圖1 1圖圖2 260412A AB BC CD D E EB BA AC CD D E EF F5 54 43 3例例1 1 求證三角形的一條中位線與第三邊求證三角形的一條中位線與第三邊

12、上的中線互相平分上的中線互相平分已知：如圖2443所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求證：AE、DF互相平分證明證明 連結(jié)連結(jié)DE、EF ADDB，BEEC， DEAC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）同理EFAB四邊形ADEF是平行四邊形AE、DF互相平分（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）例例2 2如圖如圖24244 44 4，ABCABC中，中，D D、E E分別分別是邊是邊BCBC、ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ADAD、CECE相交于相交于G G求證：求證：31ADGDCEGE證明證明 : :連結(jié)連結(jié)ED，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，DEAC，21ACDE（三角形

13、的中位線平行于第三邊并且等于第三邊（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半），的一半）， ACGDEG，21ACDEAGGDGCGE31ADGDCEGE如果在圖如果在圖24244 44 4中，取中，取ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)F F，假設(shè)，假設(shè)BFBF與與ADAD交于交于GG，如圖，如圖24.4.524.4.5，那么我們，那么我們同理有同理有 ，所以，所以有有 ，即兩圖中，即兩圖中的點(diǎn)的點(diǎn)G G與與GG是重合的是重合的31BFFGADDG31ADDGADGD 三角形三條邊上的中線交三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線重心，重心與

14、一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的31例題解析例題解析 猜一猜猜一猜：畫(huà)一個(gè)任意四邊形，并畫(huà)出四邊的中點(diǎn)，再順次連：畫(huà)一個(gè)任意四邊形，并畫(huà)出四邊的中點(diǎn)，再順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形的形狀是什么？接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形的形狀是什么？v如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中，中，E F G HE F G H分別是分別是AB CD AD BCAB CD AD BC的中點(diǎn)，四邊形的中點(diǎn)，四邊形EFGHEFGH是是平行四邊形嗎？為什么？平行四邊形嗎？為什么？v解：四邊形解：四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形連接連接DBDB因?yàn)橐驗(yàn)镋 E、H H分別是分別是A

15、BAB、ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn) ，即即EHEH是是ABDABD的中位線的中位線所以所以EHBDEHBD，EH=EH= BD BD，理由是：，理由是：三角形的中位線平行于第三三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。邊，并且等于它的一半。同理可得，同理可得，F(xiàn)GBD FG=FGBD FG=BDBD所以所以EHFGEHFG，EH=FGEH=FG故四邊形故四邊形EFGHEFGH是平行四邊形，理由是；一組對(duì)邊平行是平行四邊形，理由是；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形且相等的四邊形是平行四邊形 ABCDHEFG順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊

16、形是平行四邊形議一議議一議：v順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么形狀？為順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么形狀？為什么？什么？ 如果將如果將“矩形矩形”改成改成“菱形菱形”呢？呢？順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形結(jié)論：結(jié)論：(1)(2)(3)課堂訓(xùn)練課堂訓(xùn)練 練一練練一練：1 1。如圖（。如圖（1 1）ABCABC中，中， AB=6AB=6， AC=8AC=8，BC=10BC=10， D DE EF F分別是分別是ABACBCABACBC的中點(diǎn)的中點(diǎn) 則則

17、DEFDEF的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是 ， 面積是。面積是。 v2 2如圖（如圖（2 2）ABCABC中，中，DEDE是是 中位線，中位線，AFAF是中線，則是中線，則DEDE與與 AFAF的關(guān)系是的關(guān)系是v3 3若順次連接四邊形四邊中若順次連接四邊形四邊中 點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則 原四邊形（原四邊形（ ） （A A）一定是矩形）一定是矩形 （B B）一定是菱形）一定是菱形 （C C）對(duì)角線一定互相垂直）對(duì)角線一定互相垂直 （D D）對(duì)角線一定相等）對(duì)角線一定相等FABcDE(1)ACBDEF(2)互相平分互相平分6cm212cmD議一議： 1.1.如果順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所

18、得的四邊形是菱形，那么如果順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，那么原四邊形的兩條對(duì)角線存在什么關(guān)系原四邊形的兩條對(duì)角線存在什么關(guān)系 ？ （兩條對(duì)角線（兩條對(duì)角線相等相等）v2.2.上問(wèn)中的菱形改為矩形呢？上問(wèn)中的菱形改為矩形呢？（兩條對(duì)角線（兩條對(duì)角線互相垂直互相垂直）v3.3.當(dāng)四邊形滿(mǎn)足什么條件時(shí)，順次連接它的四邊中點(diǎn)當(dāng)四邊形滿(mǎn)足什么條件時(shí)，順次連接它的四邊中點(diǎn) 所得的四邊形是正方形？所得的四邊形是正方形？（兩條對(duì)角線（兩條對(duì)角線互相垂直且相等互相垂直且相等） 如圖如圖, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E EF F分別是分別是ACACBDBD的中點(diǎn)的中點(diǎn) （）（

19、）EFEF與與ADADBCBC的關(guān)系如何？為什么？的關(guān)系如何？為什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。ABCDEFG解：（）解：（）ADEFBCADEFBC 因?yàn)橐驗(yàn)锳DBCADBC，則，則DAFDAFGCFGCF，ADFADFCGFCGF連接連接DFDF并延長(zhǎng)并延長(zhǎng)DFDF交交BCBC于于G G又又AFAFFCFC所以所以ADFADFCFG(CFG(AASAAS) )所以所以DF=FGDF=FG而而DE=EBDE=EB所以所以EF BCEF BC理由是：理由是：三角形的中位線平行于第三邊三角形的中位線平行于第三邊又又ADBCADBC所以所以ADEFBCADEFBCv如圖如圖, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E EF F分別是分別是ACACBDBD的中點(diǎn)的中點(diǎn) （）（）EFEF與與ADADBCBC的關(guān)系如何？為什么？的關(guān)系如何？為什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。AEGDFCB解：（解：（2 2）所以所以EF=BG=EF=BG=(BC-GC)(BC-GC) 理由是：理由是：三角形的中位線三角形的中位線 等于第三邊的一半。等于第三邊的一半。而而GC=ADGC=AD所以所以EF=EF=(BC-AD)=(BC-AD)=(