【研究生應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】3.度量空間ppt課件

1、第一章集合上的數(shù)學(xué)構(gòu)造第一章集合上的數(shù)學(xué)構(gòu)造 3. 3.度量空間度量空間3.3.度量空間度量空間一、度量空間的定義和例一、度量空間的定義和例度量空間的定義度量空間的定義;lp;lp空間空間,Ca,b,Ca,b空空間間二、度量空間的拓?fù)錁?gòu)造二、度量空間的拓?fù)錁?gòu)造度量拓?fù)?、開集、閉集、閉包、稠度量拓?fù)?、開集、閉集、閉包、稠密密三、延續(xù)映射三、延續(xù)映射一致延續(xù)、一致延續(xù)、LipschitzLipschitz延續(xù)、序列延續(xù)、序列收斂收斂四、完備性四、完備性 一、度量空間的定義和例一、度量空間的定義和例定義定義3.1 3.1 設(shè)設(shè)V V是一非空集合是一非空集合, ,其中元素稱其中元素稱為為點(diǎn)點(diǎn), ,:V

2、:VV VR R是非負(fù)泛函是非負(fù)泛函, ,滿足滿足: : (1) (1)x,yx,yV,V,(x,y)0;(x,y)0; (x,y)=0(x,y)=0 x=y(x,yx=y(x,yV).V). (2) (2)(x,y)=(x,y)=(y,x)(x,y(y,x)(x,yV).V). (3)(3)(x,z)(x,z)(x,y)+(x,y)+(y,z)(x,y,z(y,z)(x,y,zV).V).那么稱那么稱是是V V上的間隔函數(shù)或度量上的間隔函數(shù)或度量, ,V,V, 稱為度量空間稱為度量空間. .o設(shè)設(shè)V,V, 是度量空間是度量空間,A,AV.V.o點(diǎn)點(diǎn)x x到到A A的間隔以的間隔以(x,A)(

3、x,A)表示表示, ,定義為定義為o (x,A)=Inf(x,A)=Inf(x,y)|y(x,y)|yA.A.oV V的子集的子集A A的直徑的直徑dia(A)dia(A)定義為定義為o 當(dāng)當(dāng)A=A=時(shí)時(shí),dia(A)=0;,dia(A)=0;o 當(dāng)當(dāng)A A時(shí)時(shí),dia(A)=Sup,dia(A)=Sup(x,y)|x,y(x,y)|x,yA.A.oV V中子集中子集A A稱為有界集稱為有界集, ,o假設(shè)存在常數(shù)假設(shè)存在常數(shù)M0,M0,使使o dia(A)M. dia(A)M.o設(shè)設(shè)S SV,V,|S:S|S:SS SR R是是在在S S上的限制上的限制, ,o它仍滿足度量三公理它仍滿足度量三

4、公理, ,因此因此S,S,|S|S是度量量空是度量量空o間間, ,稱之為稱之為V V的子度量空間的子度量空間. .q例例3.1 3.1 x,yx,yR,xR,x與與y y的間隔定義為的間隔定義為q (x,y)=|x-y|,(x,y)=|x-y|,q它滿足度量三條公理它滿足度量三條公理. .q實(shí)踐上實(shí)踐上, ,q(1)(1)x,yx,yR,R,(x,y)=|x-y|0;(x,y)=|x-y|0;q (x,y)=|x-y|=0(x,y)=|x-y|=0 x=y.x=y.q(2)(2)x,yx,yR,R,(x,y)=|x-y|=|y-(x,y)=|x-y|=|y-x|=x|=(y,x).(y,x).

5、q(3)(3)x,y,zx,y,zR,R,q(x,z)=|x-z|x-y|+|y-z|(x,z)=|x-z|x-y|+|y-z|q = =(x,y)+(x,y)+(y,z).(y,z).q例例3.2 3.2 設(shè)設(shè)V V是是R R上線性空間上線性空間, ,在在V V上定義上定義內(nèi)積內(nèi)積q ( , ):V ( , ):VV VR,R,滿足滿足: : (1)(1)x xV,(x,x)0;(x,x)=0V,(x,x)0;(x,x)=0 x=x=qq. . (2)(2)x,yx,yV,(x,y)=(y,x).V,(x,y)=(y,x). (3)(3)k kR,x,yR,x,yV,(kx,y)=k(x,y

6、).V,(kx,y)=k(x,y). (4)(4)x,y,zx,y,zV.(x+y,z)=(x,z)+(y,z).V.(x+y,z)=(x,z)+(y,z). 那么稱那么稱V V是歐氏空間。是歐氏空間。x xV V的長度定義為的長度定義為 ),(xxx=x, yVx, yV兩點(diǎn)間的間隔定義為兩點(diǎn)間的間隔定義為 d(x,y)=x-y= d(x,y)=x-y=),(yxyx可以證明：可以證明：d d滿足度量三公理，從而滿足度量三公理，從而V,dV,d是度量空間。是度量空間。 首先證明首先證明: :x,yx,yV,V,有有CauchyCauchy不等式不等式 |(x,y)|xy. |(x,y)|xy

7、. 當(dāng)當(dāng)y=y=qq時(shí)時(shí), ,上式顯然成立上式顯然成立. . 設(shè)設(shè)y yqq,t,t為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù), ,置置 z=x+ty z=x+ty 那么不論那么不論t tR R取何值取何值, ,都有都有 (x+ty,x+ty)0, (x+ty,x+ty)0, 即即 (x,x)+2(x,y)t+(y,y)t20. (x,x)+2(x,y)t+(y,y)t20. 特別取特別取),(),(yyyxt那么有那么有0),(,(),()2yyyxxx 由于由于 (x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) (x,x)+2xy+(y,y) =(x+y)2 從而有從而有 x+yx+y. 設(shè)設(shè)=x-y,=y-z

8、(x,y,zV),那么有那么有 + 即即 x-zx-y+y-z 從而有從而有 d(x,z)d(x,y)+d(y,z)例例3.3 3.3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R R上的上的n n維向量空間維向量空間 Rn=(x1,x2,Rn=(x1,x2,xn)T|xi,xn)T|xiR,1in,R,1in,取取 x x =(x1,x2,=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,yn)TRnRnx x與與y y的內(nèi)積為的內(nèi)積為 (x,y)=yTx=x1y1+x2y2+ (x,y)=yTx=x1y1+x2y2+xnyn+xnyn度量為度量為.),(12)(niyxiiyxd此外，在

9、此外，在RnRn上還可以定義其它度量，例如上還可以定義其它度量，例如|;|),(11yxdiniiyx |.),(max|1yxdiniiyx顯然它們都滿足度量公理顯然它們都滿足度量公理(1)(1)和和(2).(2).只需驗(yàn)證只需驗(yàn)證公理公理3 3。而。而|),(1111niiiiniiniiizyyxzxdzx =d1(x,y)+d1(y,z). =d1(x,y)+d1(y,z).由于由于|maxmax11zyyxzyyxzxiniiiniiiiiiii因此因此. |maxmax|max111zyyxzxiniiiniiinii即即 d d(x,z)d(x,z)d(x,y)+d(x,y)+d

10、(y,z).(y,z).例例3.4 Ca,b3.4 Ca,b是是R R上的線性空間。上的線性空間。f,gf,gCa,bCa,b，f f與與g g的內(nèi)積定義為的內(nèi)積定義為badxxgxfyx)()(),(那么那么Ca,bCa,b是歐氏空間，其度量為是歐氏空間，其度量為.)()(),(2badxxgxfgfd例例3.5 3.5 思索思索lplp空間空間(1p(1p) )。,| ),(|121Cxxxxxlipiinp x=(x1,x2, ),y=(y1,y2, ) lp，它們之間間隔，它們之間間隔為為|/11|),(ppiiiyxyx顯然它滿足度量公理顯然它滿足度量公理1和和2。 下面將證明，它也

11、滿足度量公理下面將證明，它也滿足度量公理3，從而從而 lp,是度量空間。是度量空間。設(shè)設(shè)p,qR(1p),. 111qp先證先證Hlder不等式：不等式：)|)|11111|(|(|qpqniipniiiniiyxyx這里，這里，(x1,x2,xn)T,(y1,y2,yn)TRn.先證不等式先證不等式).,(11Rbabaqbpaqp思索思索01,那么函數(shù)那么函數(shù) x)=xx(0 x)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為 x)=(x11)它在它在0 x1為負(fù)。為負(fù)。因此，因此，(x)在在x=1取最大值。取最大值。所以所以 x)(1)=1(0 x)于是，于是，xR+，有，有 xx+(1)得到代入上式并乘以特別取,b

12、bax .)1 (1baba從而則置,11,1qp.11qbpabaqp下面證明下面證明Hlder不等式。不等式。 niqqknippkyybxxaikik11|,取取那么那么有有|)|)|1111|1|1|(|(|11qiniqknipipkniqiknipikyyxxyyxxqpqp于是有于是有. 111|1|1|(|(|1111111|)|)|11qpqpniqinkqknipinkpknkniqniipikkyyxxyxyxqp即得即得Hlder不等式不等式)|)|11111|(|(|qpqniipniiiniiyxyx由由Hlder不等式可推出不等式可推出Minkowski不等式：不

13、等式：假設(shè)假設(shè)1p0, 自然數(shù)自然數(shù)N,當(dāng)當(dāng)nN時(shí)有時(shí)有 d(xn,x)N時(shí)有時(shí)有 (xn,x)1令令M=1+max(x1,x),(xN,x),1,那么那么對一對一切切nN,有有 M2)x,x()x,x()x,x(mnmn 設(shè)設(shè), xxlimnn . yxlimnn 由于由于)n(0)y,x()x, x()y, x(nn 所以，所以，. yx, 0)y, x( 即二、度量空間拓?fù)錁?gòu)造二、度量空間拓?fù)錁?gòu)造v度量空間中開球的定義度量空間中開球的定義v度量空間中集合的內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)部等概念度量空間中集合的內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)部等概念v度量空間中開集、閉集、極限點(diǎn)、導(dǎo)集度量空間中開集、閉集、極限點(diǎn)、導(dǎo)集v 閉包等概念閉

14、包等概念v度量空間中閉集的充要條件度量空間中閉集的充要條件v度量空間中開集的特征；閉集的特征度量空間中開集的特征；閉集的特征v度量空間中序列收斂的條件度量空間中序列收斂的條件定義定義3.2 設(shè)設(shè)V，是度量空間，是度量空間，xV,rR+.集合集合 Br(x)=yV|(x,y)N時(shí)時(shí)xnB (x).證明證明: ) 0,B (x)=y V| (x,y)N時(shí)有，時(shí)有，xn B (x),即即xxlimnn (xn,x)0,0,存在存在 = = (x0,(x0, )0,)0,使使當(dāng)當(dāng)d(x,x0)d(x,x0) 時(shí)有時(shí)有 (F(x),F(x0)(F(x),F(x0)0,0,存在存在 = = (x0,(x0

15、, )0,)0,使使 F FB B (x0)(x0) B B (F(x0).(F(x0).定理定理3.6 3.6 設(shè)設(shè)(V,(V, ) )是度量空間，是度量空間，A,BA,B V.f:AV.f:AB B是映射是映射. .那么以下命題相互等價(jià)那么以下命題相互等價(jià)： (1)f:AB延續(xù)延續(xù). (2)開集開集OB,f-1(O)是是A中開集中開集. (3)閉集閉集FB,f-1(F)是是A中閉集中閉集.證明：證明：12 任取開集任取開集OB，xf1(O),f(x) O,所以有所以有f(x)的鄰域的鄰域 Uf(x),)O,于是于是f1(O)包含包含x的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域Ux,)f1(O),即即x是是f1(

16、O)的內(nèi)點(diǎn)，從而的內(nèi)點(diǎn)，從而f1(O)是開集。是開集。23 設(shè)設(shè)FB是任一閉集，是任一閉集，BF=BF是是B中開集，那么中開集，那么f1(BF)是是A中開中開集。集。而而 f1(F)=f1(B(BF)=f1(B)f1(B F)所以，所以，f1(F)是閉集是閉集A作為作為R的子拓?fù)淇臻g為的子拓?fù)淇臻g為開集。開集。31xX,0,B(F(x)是是Y中開中開集，集，從而從而Y- B(F(x)是是Y中閉集。因此，中閉集。因此，,X)x(F(B(F)Y(F)x(F(BY(F111中閉集是 ),x(F(B(F)x(B, 0,X)x(F(B(F11 使存在所以中開集是)x(F(B)x(B(F 定義定義3.7

17、設(shè)設(shè)(X,d),(Y,)是度量空間，映射是度量空間，映射f:XY稱為在稱為在X上一致延續(xù)上一致延續(xù),假設(shè)假設(shè)0,0,只與只與有關(guān)有關(guān),當(dāng)當(dāng)|x-y|(x,yX)時(shí)時(shí),有有 |f(x)-f(y)|0,使使)Xy, x)(y, x(Cd)y(F),x(F( Lipschitz延續(xù)的映射必一致延續(xù)延續(xù)的映射必一致延續(xù).例例3.8 設(shè)設(shè)X=Rn,Y=Rm都是歐氏空間都是歐氏空間,因此是度因此是度量空間量空間,歐氏度量為歐氏度量為.|),(,|),(21122112|niiiniiivuyxvuyxd其中其中 x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,y2,yn)TRn u=(u1,u2,um)T, v

18、=(v1,v2,vm)TRm.映射F:XY為)(2121222211121121xFvxxxFFFFFFFFFvvvnmnmmnnm它是Lipschitz延續(xù)的.這里,FijR(1im,1jn).此映射的分量表達(dá)式為)1 (1mixFvjnjiji假設(shè)取x0X,v0=F(x0),那么|)20120|,(vvvimiiv|201120111)(|xxFxFxFjminjjijjminjnjijjij |201112|xxFjminjjnjij于是有于是有 (v,v0)Cd(x,x0)這里這里minjijFC1122|因此因此F是是Lipschitz延續(xù)的延續(xù)的.定理定理3.4 設(shè)設(shè)X,d和和Y,

19、 是度量空間是度量空間,F:XY是映射是映射.那么那么F在在X上延續(xù)上延續(xù) 對于對于X中任一收斂序列中任一收斂序列xn,有有 ).()(limlimxxnnnnFF證明證明:) 設(shè)設(shè)F在在X上延續(xù)，上延續(xù)，xnx(n),任取任取Y中中開集開集B，F(xiàn)(x) B,所以，所以，xF-1(B),于是存在于是存在自然自然數(shù)數(shù)N，當(dāng)，當(dāng)nN時(shí)，時(shí)，xn F-1(B),F(xn) B,因此因此).()(limlimxxnnnnFF)對于對于X中任一收斂序列中任一收斂序列xn,設(shè)設(shè)).()(limlimxxnnnnFF要證要證:F在在X上延續(xù)上延續(xù).假設(shè)不對假設(shè)不對,即即F在在x*不延續(xù)不延續(xù),那么存在那么存

20、在00.0,存在存在xX,使使 d(x,x*), 而而 (F(x),F(x*)0.特別取特別取 1=1,得得x1 X,使使 d(x1,x*)0,存在自然數(shù)存在自然數(shù)N,當(dāng)當(dāng)m,nN時(shí)有時(shí)有 (xm,xn)0,存在自然數(shù)存在自然數(shù)N,當(dāng)當(dāng)m,nN時(shí)有時(shí)有2),(,2),(xxxxmn于是于是 (xm,xn)(xm,x)+ (xn,x) 我們知道我們知道,R中中Cauchy列一定收斂列一定收斂.但在度量空但在度量空間中這一結(jié)論普通間中這一結(jié)論普通 不成立不成立. 例如例如,X=xR|0n0時(shí)有時(shí)有 (xm,xn)n2時(shí)有時(shí)有 ),(),(),(xxxxxxkknnnnxxnn lim2),( xx

21、kn;2),( nmxx例例3.10 R是完備的是完備的.證明：先證：任何實(shí)數(shù)列證明：先證：任何實(shí)數(shù)列xn必有單調(diào)子列。必有單調(diào)子列。記記 Ep=xp,xp+1, (p=1,2, )當(dāng)每個(gè)集合當(dāng)每個(gè)集合Ep都有最大值時(shí)，選取都有最大值時(shí)，選取,max,max,max1111121 kknnnnnExExEx.的一個(gè)單調(diào)減少的子列是nnxxk當(dāng)存在某個(gè)當(dāng)存在某個(gè)Ep=xp,xp+1, 無最大值時(shí)，那么無最大值時(shí)，那么對任對任意意n1p,11pnnxxE 也無最大值。此時(shí)取于是于是xp+1,xp+2, 中必有大于中必有大于xp的，取為的，取為,3222221nnnnnxxxxx的，取為中必有大于而

22、在 得到得到 knnnxxx21為一個(gè)單調(diào)增加子列knx再證：再證：R中的任何中的任何Ccauchy列列xn是收斂的。是收斂的。由于由于xn是有界的，所以是有界的，所以xn有一個(gè)單調(diào)有界有一個(gè)單調(diào)有界的的子列子列收斂由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，,kknnxx從而，從而，xn收斂。收斂。例例3.11 lp(1p0,存在自然數(shù)存在自然數(shù)N,當(dāng)當(dāng)m,nN時(shí)有時(shí)有.|),(11)()(|pipinimnmxx于是當(dāng)于是當(dāng)m,nN時(shí)有時(shí)有 |i(m)i(n)|N,有有.|,(1)(*|)pipiinpnxx這里這里x*=(1,2,)lp.實(shí)踐上實(shí)踐上,取取=1,存在自存在自然數(shù)然數(shù)N,當(dāng)當(dāng)nN時(shí)有時(shí)有 (xn,x

23、*)0,0,存在自然數(shù)存在自然數(shù)N,N,當(dāng)當(dāng)nNnN時(shí)有時(shí)有 |fn(x) |fn(x)fn(x)|d(fn,fm)fn(x)|d(fn,fm) ( ( x x a,b)a,b)于是于是, ,對每一個(gè)固定對每一個(gè)固定x x a,ba,b fn(x) fn(x)f(x)(nf(x)(n),),而而fn(x)fn(x)在在a,ba,b上一致收斂于上一致收斂于f(x),f(x),所以所以, ,f(x)f(x) Ca,b.Ca,b.從而從而,Ca,b,Ca,b是完備的是完備的. .下面討論度量空間的幾個(gè)完備性定理下面討論度量空間的幾個(gè)完備性定理. .定理定理4.1 4.1 完備度量空間完備度量空間V,

24、V, 完備完備A A是閉集是閉集. .對于每一個(gè)開球?qū)τ诿恳粋€(gè)開球),(1aBn).(,1aAByynnn使必有即即 (a,yn).lim,1aynnn因此yn是是A中中Cauchy列列由于由于A A是完備的，所以是完備的，所以a aA,A,即即A A是閉集。是閉集。設(shè)設(shè)A A是閉集。任取是閉集。任取A A中中CauchyCauchy列列yn,yn,由于由于ynynV,V,且是完備，所以，且是完備，所以，.*limVyynn但但y y* *是怕極限點(diǎn)，而是怕極限點(diǎn)，而A A是閉集，所以，是閉集，所以，y y* *A,A,從從而，而，A A是完備的。是完備的。證明證明: : ) )設(shè)設(shè)A A是完

25、備的。任取是完備的。任取a aA.A.) )類似類似. .不完備的度量空間能否可在某種意義下成為完不完備的度量空間能否可在某種意義下成為完備的度量空間備的度量空間? ?這不僅是必要的而且是能夠的這不僅是必要的而且是能夠的. .定義定義4.2 4.2 度量空間度量空間X,dX,d稱為可完備化的稱為可完備化的, ,假設(shè)存在度量空間假設(shè)存在度量空間XX* *,d,d* *,滿足滿足: :(1)(1)存在存在XX* *,d,d* * 的子度量空間的子度量空間Z,dZ,d* *,它在它在X X* *中稠密中稠密, ,且且Z Z與與X X是等度的是等度的; ;(2)X(2)X* *是完備的是完備的. .稱

26、稱X X* *是是X X的完備化空間的完備化空間. . 可以證明可以證明: :每一個(gè)度量空間都可完備化每一個(gè)度量空間都可完備化. . ( (二二) )緊縮映射與不動(dòng)點(diǎn)原理緊縮映射與不動(dòng)點(diǎn)原理 定義定義4.3 4.3 設(shè)設(shè)X,dX,d是度量空間是度量空間, ,映射映射F:XF:XY Y稱稱 為緊縮映射為緊縮映射, ,假設(shè)存在常數(shù)假設(shè)存在常數(shù)k,k,滿足滿足0k1,0k0;d(x0,x1)0;這樣可得序列這樣可得序列xnxnX,X,滿足滿足 xn=F(xn-1),d(xn-1,xn)0下面證明下面證明,xn是是Cauchy列列.取自然數(shù)取自然數(shù)m1,m2(m2m1),那么有那么有)(),(),(112121xxxxmmmmFFdd),(1121xxmmkd)(),(2221xxmmFFkd),(22221xxkmmd),(21xxkrrrmmd取取r=m1-1,得得),(),()1(1112121xxkxxmmmmmdd),(1210 xxkmmmd留意到),()(),(),(101021xxxxxxkdFFdd),()(),(),(1022132xxkxxxxdFFdd),