高考數(shù)學(xué)考前必看系列材料之二

1、高考數(shù)學(xué)考前必看系列材料之二思想方法篇一、中學(xué)數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想一、函數(shù)方程思想函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。1.函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想；2.應(yīng)用函數(shù)思想解題， 確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟， 大體可分為下面兩個步驟：（ 1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題； （ 2）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題； （ 3）方程思想：在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些

2、變量的值，這時常常列出這些變量的方程或（方程組） ，通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；3.函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。二、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一，對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應(yīng)幾何的性質(zhì)使問題得以解決（以形助數(shù)）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決（以數(shù)助形），這種解決問題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合。1.數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮

3、數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長避短。2.恩格斯是這樣來定義數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。這就是說： 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征， 宇宙間萬事萬物無不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一。 因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。3.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)。4.華羅庚先生曾指出： “數(shù)缺性時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！睌?shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性,或者借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.5.把數(shù)作

4、為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關(guān)于這個方面的考查（即用代數(shù)方法研究幾何問題）。而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在高考客觀題中體現(xiàn)。6.我們要抓住以下幾點數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng)：(1) 對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；(2) 對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點，頂點是關(guān)鍵點） ，作好知識的遷移與綜合運(yùn)用；(3) 對于以下類型的問題需要注意：(1) ( xa)2( y b)2 ; (2)ya ; (3) Ax By; ( 4)F (cos ,sin ); (5)a2abb2 ; 可分xb別通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函

5、數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y 2=1 上的點 (cos, sin) 及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。三、分類討論的數(shù)學(xué)思想分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。1.有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：（ 1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；（ 2）運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；（ 3）求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；（ 4）數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的

6、；（ 5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。2.分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏有利于問題研究。四、化歸與轉(zhuǎn)化思想，包含各種情況，同時要所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過變化轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有1.通過輔助平面轉(zhuǎn)化為平面問題，把已知元素和未知元素聚集在一個平面內(nèi)，實現(xiàn)點線、線線

7、、線面、面面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化；2.平移和射影，通過平移或射影達(dá)到將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化未知為已知的目的；3.等積與割補(bǔ)；4.類比和聯(lián)想；5.曲與直的轉(zhuǎn)化；6.體積比，面積比，長度比的轉(zhuǎn)化；7.解析幾何本身的創(chuàng)建過程就是“數(shù)”與“形”之間互相轉(zhuǎn)化的過程。解析幾何把數(shù)學(xué)的主要研究對象數(shù)量關(guān)系與幾何圖形聯(lián)系起來，把代數(shù)與幾何融合為一體。二、中學(xué)數(shù)學(xué)常用解題方法1. 配方法配方法是指將一代數(shù)形式變形成一個或幾個代數(shù)式平方的形式，其基本形式是：2b ) 24 ac b2(a 0 ) .高考中常見的基本配方形式有：ax +bx+c= a ( x2 a4a（ 1） a2+b2= (a + b) 2

8、- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab;（ 2） （ 2） a2+ b2+ ab = ( a1 b ) 2(3 b ) 2 ;22（ 3） （ 3） a2+ b2+c2= (a b + c) 2- 2 ab 2 a c 2 bc;（ 4）(4) a2+ b2+ c2 - a b bc a c =1 ( a - b)2 + (b - c) 2 + (a - c)2 ;2（ 5） x2 1( x1 ) 22 ;x 2x配方法主要適用于與二次項有關(guān)的函數(shù)、方程、等式、不等式的討論，求解與證明及二次曲線的討論。2.待定系數(shù)法 待定系數(shù)法是把具有某種確定性時的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)

9、化為方程組來解決。待定系數(shù)法的主要理論依據(jù)是：（ 1）多項式f(x)=g(x) 的充要條件是：對于任意一個值a，都有 f （ a） g(a);（ 2）多項式 f(x) g(x) 的充要條件是：兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等； 運(yùn)用待定系數(shù)法的步驟是：（ 1）確定所給問題含待定系數(shù)的解析式（或曲線方程等）；（ 2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；（ 3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決； 待定系數(shù)法主要適用于：求函數(shù)的解析式，求曲線的方程，因式分解等。3.換元法換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量（或代數(shù)式），對新的變量求出結(jié)果之后， 返回去求原變量的結(jié)果。換元法

10、通過引入新的元素將分散的條件聯(lián)系起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ膯栴}。其理論根據(jù)是等量代換。高中數(shù)學(xué)中換元法主要有以下兩類：（ 1）整體換元：以“元”換“式”；（2）三角換元，以“式”換“元” ；（ 3）此外，還有對稱換元、均值換元、萬能換元等；換元法應(yīng)用比較廣泛。如解方程，解不等式，證明不等式，求函數(shù)的值域，求數(shù)列的通項與和等，另外在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用。運(yùn)用換元法解題時要注意新元的約束條件和整體置換的策略。4.向量法向量法是運(yùn)用向量知識解決問題的一種方法，解題常用下列知識：（ 1）向量的幾何表示，兩個向量共線的充要條件；（ 2）平面向量基本定理及

11、其理論；（ 3）利用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；（ 4）兩點間距離公式、線段的定比分點公式、平移公式；5.分析法、綜合法（ 1）分析法是從所求證的結(jié)果出發(fā)，逐步推出能使它成立的條件，直至已知的事實為止；分析法是一種“執(zhí)果索因”的直接證法。（ 2）綜合法是從已經(jīng)證明的結(jié)論、公式出發(fā)，逐步推出所要求證的結(jié)論。綜合法是一種“由因?qū)Ч?，敘述流暢的直接證法。（ 3）分析法、 綜合法是證明數(shù)學(xué)問題的兩大最基本的方法。分析法“執(zhí)果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解題路子，但書寫格式要求較高，不容易敘述清楚，所以分析法、綜合法常常交替使用。分析法、 綜合法應(yīng)用很廣，幾乎所有題都可以用這兩個方法來解。6.反證法反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要方法，因為命題p 與它的否定非p 的真假相反，所以要證一個命題為真，只要證它的否定為假即可。這種從證明矛盾命題（即命題的否定）為假進(jìn)而證明命題為真的證明方法叫做反證法。 反證法證明的一般步驟是：（ 1）反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（ 2）歸謬：從命題的條件和所作的結(jié)論出發(fā),經(jīng)過正確的推理論證 ,得出矛盾的結(jié)果；（ 3）結(jié)論：有矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定的結(jié)論正確； 反證法的適用范圍： （ 1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少時的命題；（ 2）結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、 更簡單