江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)真題及答案

1、江蘇省2014年普通高校專轉(zhuǎn)本選拔考試高等數(shù)學(xué) 試題卷注意事項(xiàng):1 .本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，試題卷共3頁(yè)，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2 .必須在答題卡上作答，作答在試卷上無(wú)效.作答前務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)準(zhǔn)確清晰地填寫在試題卷和答題卡上的指定位置.3 .本試卷共8頁(yè)，五大題24小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.單項(xiàng)選擇題(本大題共 6小題，每小題4分，滿分24分.在下列每小題中，選出一個(gè) 正確答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將所選項(xiàng)的字母標(biāo)號(hào)涂黑)x4x a1 .若是x 1函數(shù)f(x) -2的可去間斷點(diǎn)，則常數(shù) a ()x3x 2A. 1B. 2C. 3D. 4.4_ 3 2

2、 .曲線yx 2x的凹凸區(qū)間為()3._3A. (,0,1,)B. 0,1C. (,2 D.-.)3 .若函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為 xsinx,則 f (x)dx (A. xsin x CC. sin x xcosx CB. 2cosx xsin x CD. sinx xcosx C. 3_3_ Z4 .已知函數(shù)z z(x, y)由萬(wàn)程z 3xyz x 2 0所確te,則 一 (x x 1 y 0A. 1B. 0C. 1D. 222 x5.二次積分1dx ° f (x, y)dy交換積分次序后得()22 yA. d dy n f(x,y)dx1012C. 0dy 2 y f(x,y

3、)dx6.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是()B.12 y0dy 0 f(x,y)dx22 yD. 0dy 1 f(x, y)dxA.B.sin nD.2n、填空題(本大題共 6小題，每小題4分，共24分)27.曲線y12 的水平漸近線的方程為 .X328 .設(shè)函數(shù)f(x) ax 9x 12x在x 2處取得極小值，則 f(x)的極大值為 9 .定積分 ：(x 1)Jl x2dx的值為.y10 .函數(shù) z arctan的全被分 dz .11 .設(shè)向量a (1,2,1),b (1,0, 1),則a b與a b的夾角為12.計(jì)算題(本大題共 8小題，每小題8分，共64分)13.求極限lim(1x 0 xarcsin

4、x14.y(x)由參數(shù)方程2t.x (t 1)e所確定，求電ey ty edx15.求不定積分xln2 xdx .16.計(jì)算定積分Fdx.2 2x 317.求平行于x軸且通過(guò)兩點(diǎn) M (1,2,3)與N(2,3,4)的平面方程.18.設(shè)函數(shù)z f (sin x,x2 y2),其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),19.計(jì)算二重積分 (xDy)dxdy, 其中D是由三直線y x, y1.x0所圍成的平面區(qū)域.20.求微分方程y 2y2x , xe 的通解.四、證明題(本大題共 2小題，每小題9分，共18分)證明：方程 xlnx 3在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.22 .證明：當(dāng) x 0時(shí)，ex 1

5、1x2 ln(x 1).五、綜合題(本大題共 2小題，每小題10分，共20分)223 .設(shè)平面面圖形 D由拋物線y 1 x及其在點(diǎn)(1,0)處的切線以及y軸所圍成，試求:(1)平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.24 .設(shè)(x)是定義在(，)上的連續(xù)函數(shù)，且滿足方程0 t (t)dt 1(x),(1)求函數(shù) (x)的表達(dá)式;(2)討論函數(shù)f (x)2,x 0在x 0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.2014年江蘇專轉(zhuǎn)本高數(shù)真題答案一、選擇題1.因?yàn)槎?= 1是F(x>*：一曲+”的可去間斷點(diǎn),所以一的極限存在, xl -3x+2n -一3H+ 2廣41 + at 4r

6、+a：lim、 =lim士 不十#,即= i明，a：- -4x + a = 0> 故白=3J 41 X- -3x4- 2 1->J (i:- 2)(a -1)1 y = 4a- 6a1 * 尸* = 12/-12* =【2x(m-1), y' = 2x(x- I) < 0»所以凸區(qū)間為03、jr(x)=r(,r)+c因?yàn)镕fr)的一個(gè)原函數(shù)為#sin工，所以/(工)=(xsinx)f = sinx+xcosx則,/ r(r)= 2cosxA-sinx 故 J / "(x)去=2cos*-xsinx + U 4、設(shè)廠(工優(yōu)二)=二-3% + -12，

7、 干+3* =4_匚一舐F；- 3q -孫當(dāng)工=Ly=o時(shí),1=1v; = _女普I /03加6<2可人“正 1 -收斂。:,且V收斂，所以收斂，哮sin nIs7絕看收斂.用V (h+ 1>因?yàn)?hm= lim冏 T8 IfKr9 2",29 >= lim= 2,所以Z一發(fā)散8 S + l)2U -二、填空題所以水平漸近線的方程為J因?yàn)镸sl n故為華收斂. ”=i n式品因咤尸維瑞以導(dǎo)總收斂.8、因?yàn)?(不)=辦、-9x?+12x在x= 2處取得極小值，且/(x)在* = 2處可導(dǎo),所以 x = 2 是，(幻的駐點(diǎn)，/'(幻=3姑2-18、+ 12,7(

8、2) = 12- 36 + 12 = 0 所以a = 2.即/(幻=2/一9/+12£ /'(x) = 6-18x + 12 = 0.解得x=2.x = l.故/(«)在x = l處取得極大值.極大值為/'(1) = 59、J： (.V3 + l)vl -x2 dx = j，41 - xz +V1- x2 )dx = f/Yl-x2 dx + -x2dx =21 小- C dx = 2arcsin a： = n10、z = arctail x-y , x .丁 ydx + -rdyx* +y2 x2 + V11、a = (1,2.1),b = (1,0-1)

9、* W + B = (220)5-B = (0,2.2)設(shè)G +5和后一，的夾角為6cos'=I 11-= = ,所以6二2aba-b，8,8 23U ts& X 反I 匕 工用設(shè),岐爺«=i 7n«=i 7n2L va 所以E多 n=i >ln當(dāng)y=T時(shí)，級(jí)數(shù)為flzg收斂；當(dāng)）,=1時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散; »=1 "<-i V的收斂域?yàn)長(zhǎng)1），因?yàn)閥 = x-l,所以9P0<x<2>故火與t的收斂域?yàn)?.2） 三、計(jì)算題13、lim|y |x->oxarcsinx x )1 , 公力 ma x-arcsi

10、nx . x-arcsinx . Jl-x21 <1 -x2 一 1i 原式=hm= lim= hm- y = lim -,x-*0 x arcsinx'_0%3%，x0 3x2<l-x2=lim-,2= lim -廣=-3x2 V1 - x2 6V1-X264、卜=3+ty = e解：t/r = (2/ + 3)e21對(duì)/ +(y = e兩邊關(guān)于，求導(dǎo)e， y + y + 展=0,得 j>' = ey +力=一 ydx (e' +1)(2,+ 3)?"當(dāng)/ = 0 時(shí).x = 1 ；當(dāng) 7 = 0 時(shí).y = 1dy _ 1石L%15、jx

11、ln2 xdx0/解：原式=|ln2Az7= J2=-11KX- 111XZ7= 22X2 f 2X2 frX=In xIn x + -22216、1/dx4 2x+3j 產(chǎn)、解：設(shè)I =x =-2當(dāng)k = L時(shí)，r = 0；當(dāng)x=? 22代入原式得=一一f力=I "+4 J=皿-一S山 (0一，則 dy =dt t/ +/A In2 x- </ln2 x = -hr x- (xnxdx2J 22J hr x-(-Inr-j-i/lnx) 222dx =In2 xlnx + + C224Fl .一.ax = tdt_時(shí) 9 t 22 t2 , f2/2 + 4-4 ,4.0 J

12、 + J 1 J +4 z I t2 +4 1= 2-2廣； d = 2- 2alelan =2- -I機(jī) 2i 217、求平行于x軸且通過(guò)兩點(diǎn)A/(1,L1)與N(234)的平面方程.解：由題意設(shè)平面方程為圾+ Cz + D = O因?yàn)槠矫嫱ㄟ^(guò)兩點(diǎn)A/(1,L1)與N(2,3,4),所以B + C + D = O. 3B + 4C + D = 0,解得8 = -3。，C = 2D,則一3。，+2£>2 +。= 0.所以平面方程為一3j，+ 2? + l = 018、設(shè)z = /(sinx-尸)，其中函數(shù)/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求心 oxoy解：一 =/cosx + /；2x =

13、，'cosx + 2 (= cosx"； 0 +，； (-2)，) + 2x(/： 0 + />(-2y) = -2ycos 璐-公煨 oxuy19、計(jì)算二重柝分。(+卜)出心，.其中D為由三直線卜= -x/=Lx=0所圍成的平面區(qū) D解，-X< V<1-14xS0域。|j(x + y)dxdy =(公J* (x + y)dy = j (xy + ) dx = j+ 2x + ；公20、求微分方程y'-2_/ = x"的通蟀。解：特征方程為-2廠=0,解得。=0,=2因?yàn)閍 = 2是特征方程的單根，所以 = 1,.設(shè)原方程的特解為),=/*

14、/ + &) _/ =(Ax + Bx2)etx,|y* = (A + 2Bx)e2x + 2(Av+Bx2)/，/ = 2Be" + 4(4 + 2Bx)e2x + 4(Ax + Bx2 )e2x把代入原方程，得一f2Be2i + 4(/ + 2Bx)eZx + 4。儀 + Bx2 )eZi - 2(4 + 2Bx)eu - 4(Ax + Bx2 )e2x =2Be2s + 2(A + 2Bx)eix = x* 即 2B + 24 + 4Rv =r所以4十8 0,故/4 = 一4,5 = ，即丁=1(爐_*八 4B = 1444所以原方程的通解為y = Cf +C2e2x

15、+-(x2-x)e2"囚、證明題21、證明，方程.rlnx = 3在區(qū)間(Z3)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。證明；設(shè)f(x) = xln-3,顯然f(x)在2,3上連續(xù)，因?yàn)?f(2)=2ln2-3<0，/(3) = 31n3-3> 0.即 f(2)f(3)<0所以,由零點(diǎn)定理知,/(©在(23)內(nèi)至少存在一點(diǎn)彳使得/e)= 0,即方程在區(qū)間(23)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.又因?yàn)?*'(© = lnx+1在(23；內(nèi)大于等,即在(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增.所以/(X)在(2,3)內(nèi)有且僅有一點(diǎn)4使得/=0,即方程在區(qū)間(Z3)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)22、證明：當(dāng)

16、 x>0時(shí).ex -1 > x2 +ln(x + l)2證明：設(shè)/(%)=/ _!2_加0 + 1)顯然，當(dāng)x>0時(shí),fx) > 0 .所以當(dāng)x>()時(shí),/住)單調(diào)遞增.故當(dāng)x>0時(shí)，fx) > fXO) = 0 ,因此當(dāng)工>0時(shí)，/*)單調(diào)遞增，所以當(dāng) x>()時(shí)，F(xiàn)(X)> F(0) = 0，即當(dāng)>0 時(shí)，x-1-ix2-ln(x+1)>02則當(dāng)x>()時(shí)，ex -1 >-x2 +1n(x + l)五、綜合通c. ow5e X a E： 023、設(shè)平面圖形D由拋物線），= 1-及其在點(diǎn)（L0）處的切線以及y

17、軸所圖成.試求:（1）平面圖形D的面積（2）平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：（1） y = -2x> y't ） =-2,所以切線方程為尸2x+21312(2) Vy = x 12 x 2 -(1 - y)dy = -1- 7y-=:萬(wàn)24、設(shè)奴x）是定義在（-8,+8）上的連續(xù)函數(shù)，且滿足方程（二奴。4=1-奴工）（1）求奴X）的解析式呼，（2）討論函數(shù)/（戈）=，x在X = 0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.-i,x = 02脩（1）方程。歡/）力=1一雙乃兩邊求導(dǎo)，得xdxx(p(x) = -(px) 設(shè) y = °(x).方程為友=一可0 = -xdx dxyjT一 hiy =-+ lnc, y = ce 1當(dāng)；v = 0時(shí)，代人方程= 1