《微積分》(下)復(fù)習(xí)大綱

1、微積分（下）復(fù)習(xí)大綱第六章 定積分教學(xué)目的和要求：1、了解定積分的概念及存在定理，理解定積分的基本性質(zhì)和中值定理2、掌握牛頓-萊布尼茲公式，掌握定積分的換元法和分部積分法3、理解兩種廣義積分的概念并掌握它們的求法4、理解定積分的應(yīng)用并掌握它們的求法重點(diǎn)：1、 牛頓-萊布尼茲公式2、 定積分的換元法和分部積分法難點(diǎn)：1、 定積分的概念2、 積分上限函數(shù)的概念與應(yīng)用3、 定積分的換元法和分部積分法中的技巧第一節(jié) 定積分的概念和性質(zhì)教學(xué)目的和要求： 1、通過(guò)曲邊梯形的面積以及變速直線運(yùn)動(dòng)的路程實(shí)例引入定積分的概念，從中領(lǐng)會(huì)從有限到無(wú)限、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)

2、題的能力。2、使學(xué)生掌握定積分的概念和存在定理，并通過(guò)例題使學(xué)生學(xué)會(huì)如何處理和解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。3、理解定積分的基本性質(zhì)和中值定理重點(diǎn)：定積分的概念教學(xué)過(guò)程：一、問(wèn)題的提出1、 幾何上，曲邊梯形的面積2、物理上，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程二、定積分的定義1、定積分的定義2、定積分存在的條件3、定積分的幾何意義三、定積分的性質(zhì) 1、線性性質(zhì)（1）2、線性性質(zhì)（2）3、區(qū)間可加性4、用定積分求矩行面積的公式5、定積分的不等式性質(zhì)6、定積分的估值不等式7、定積分的中值定理第二節(jié) 微積分基本定理教學(xué)目的和要求：1、掌握積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)2、掌握微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式），會(huì)用這個(gè)公式求一些

3、函數(shù)的定積分重點(diǎn)：1、積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)2、牛頓-萊布尼茨公式教學(xué)過(guò)程：一、積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)1、積分上限函數(shù)的定義2、積分上限函數(shù)的性質(zhì) 3、原函數(shù)存在定理二、牛頓-萊布尼茨公式第三節(jié) 定積分的積分法教學(xué)目的和要求：1、使學(xué)生掌握定積分的換元積分法、分部積分法。重點(diǎn)：定積分的換元積分法、分部積分法。一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法第四節(jié) 定積分的應(yīng)用教學(xué)目的和要求：1. 理解定積分的應(yīng)用于求面積、體積。重點(diǎn)：在直角坐標(biāo)系中列出所求問(wèn)題的積分式一、平面圖形的面積 二、體積1. 平行截面面積為已知的立體的體積2.旋轉(zhuǎn)體的體積 一般情況，閉區(qū)間a,b上連續(xù)曲線構(gòu)成的曲邊梯形

4、繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，閉區(qū)間c,d上連續(xù)曲線構(gòu)成的曲邊梯形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，叫旋轉(zhuǎn)體。 第五節(jié) 廣義積分教學(xué)目的和要求：1、使學(xué)生理解廣義積分實(shí)際上是普通定積分的極限，并會(huì)求解廣義積分2、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)廣義積分尤其是無(wú)界函數(shù)廣義積分的識(shí)別能力重點(diǎn)：1、廣義積分的識(shí)別與計(jì)算一、廣義積分的計(jì)算1、無(wú)窮限的廣義積分廣義積分當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散2、無(wú)界函數(shù)的廣義積分 廣義積分當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1、理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念.2、掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的條件.重點(diǎn)難點(diǎn)：級(jí)數(shù)概念及其斂散性教

5、學(xué)活動(dòng)：一、級(jí)數(shù)的概念1、級(jí)數(shù)的定義2、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散存在(不存在)二、基本性質(zhì)1、級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.2、收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.3、級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.4、收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和.5、收斂的必要條件第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別教學(xué)目標(biāo)：1、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法、比值判別法，會(huì)用根值判別法.2、掌握p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散條件.重點(diǎn)難點(diǎn)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法一 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:3、比較判別法（極限判別法）4、比值判別法(達(dá)朗貝爾DAlembert判別法)5、根值判別法

6、 (柯西判別法)第三節(jié) 任意級(jí)數(shù)的斂散性判別教學(xué)目標(biāo)：1、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法。 2、掌握絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及性質(zhì).重點(diǎn)難點(diǎn)：萊布尼茲判別法、絕對(duì)收斂與條件收斂的判別。一、 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法1、定義：2、萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:();(),則級(jí)數(shù)收斂,且其和,其余項(xiàng)的絕對(duì)值.二、 絕對(duì)收斂與條件收斂第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、了解冪級(jí)數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的概念.2、掌握一些冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，會(huì)求一些簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 重點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)一、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1、定義，2、收斂性定理：收斂半徑、收斂區(qū)間；二、冪級(jí)

7、數(shù)的和函數(shù)1、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).2、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積,且對(duì)可逐項(xiàng)積分.3、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)教學(xué)目標(biāo)：1、了解函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的充分必要條件，掌握， 的麥克勞林展開(kāi)式，并利用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù).重點(diǎn)：函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)一、 泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1、直接法2、間接法利用已知函數(shù)的展開(kāi)式作間接展開(kāi)時(shí)，必須注意已知展開(kāi)式的收斂區(qū)間問(wèn)題。第八章 多元函數(shù)微積分學(xué)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目標(biāo)：理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何表示、極限、連續(xù)的概念，以及有

8、界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).重點(diǎn)：多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的概念1、平面點(diǎn)集（鄰域、聚點(diǎn)、區(qū)域），n維空間2、二元函數(shù)的概念（定義、圖形）二、 多元函數(shù)的極限三 多元函數(shù)的連續(xù)性第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法.2、了解偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系以及的幾何意義，了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的充分條件.重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法1、定義注意: 2、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1） 偏導(dǎo)數(shù)是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分;（2） 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；（3） 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)則該點(diǎn)連續(xù)

9、，而多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，則未必在該點(diǎn)連續(xù)，二、 高階偏導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 全微分教學(xué)目標(biāo)：1、理解多元函數(shù)全微分的概念，掌握全微分的求法.2、理解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.重點(diǎn)：全微分的概念一、全微分的定義1、全增量的概念2、全微分的定義二、可微的條件三、全微分的計(jì)算第五節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目標(biāo)：掌握各種情況下的多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法.重難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、全微分形式不變性全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則第六節(jié) 多元函數(shù)極值及其求法教學(xué)目標(biāo)：1、理解

10、多元函數(shù)極值和條件級(jí)值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解多元函數(shù)極值存在的充分條件.2、掌握求二元函數(shù)的極值以及運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法.3、會(huì)求二元函數(shù)的最大值和最小值，并解決一些實(shí)際問(wèn)題.重難點(diǎn)：二元函數(shù)極值及其求法一、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義2、多元函數(shù)取得極值的條件（1）定理1（必要條件）注：仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).（2）（2）定理2（充分條件）3、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.4、例題二、條件極值

11、拉格朗日乘數(shù)法1、條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值2、拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況第七節(jié) 二重積分教學(xué)目的和要求：1、 通過(guò)對(duì)曲頂柱體體積以及平面薄片質(zhì)量的計(jì)算實(shí)例引入二重積分的概念，從中領(lǐng)會(huì)“有限到無(wú)限”、“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。2、 使學(xué)生掌握二重積分的定義和性質(zhì)，并通過(guò)例題學(xué)會(huì)如何處理和解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。重點(diǎn)：二重積分的概念一、二重積分的定義1、曲頂柱體體積的計(jì)算2、二重積分的定義3、二重積分存在的充分條件4、二重積分的幾何意義二、二重積分的性質(zhì)1、 線性性質(zhì)2、 積分區(qū)域的可加性3、 用二重積分求

12、平面區(qū)域面積的公式4、 二重積分的比較性質(zhì)5、 二重積分的估值性質(zhì)6、 二重積分的中值定理二重積分的計(jì)算方法教學(xué)目的和要求：掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)：直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算。難點(diǎn)：坐標(biāo)系的選取。直角坐標(biāo)下積分次序的交換和對(duì)稱性的運(yùn)用。一利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分：1型和型積分域的特點(diǎn)。注：一般區(qū)域總可以分割成型區(qū)域和型區(qū)域。2積分限的確定方法：1）先畫(huà)出積分區(qū)域。2）定積分限的原則：先積后定限，外層常數(shù)見(jiàn)，域內(nèi)畫(huà)條線，先交寫(xiě)下限，后交寫(xiě)上限。1 二重積分的計(jì)算方法公式累次積分法。2 二重積分計(jì)算時(shí)注意的問(wèn)題：1） 確定坐標(biāo)系選擇、選擇積分次序、確定積分限是關(guān)鍵。2） 注意何時(shí)、何類型的題目要交換積分次序。3） 如何利用奇偶性、對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。4） 被積函數(shù)絕對(duì)值的處理：分塊積分；利用對(duì)稱性。5） 何時(shí)必須用分塊積分。二利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1 公式注：換成。2 積分限的確定：注：1）極點(diǎn)在之外。2）極點(diǎn)在之內(nèi)。3）極點(diǎn)在的邊界上。3 極坐標(biāo)計(jì)算適合的類型：1） 積分域?yàn)閳A域或圓域的一部分（包括環(huán)形域）