復(fù)積分的各種計算方法與應(yīng)用

1、第1章 引言曹1.1研究背景及研究內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分理論是復(fù)變函數(shù)理論的重要組成部分，是研究解析函數(shù)的重要工具之一.但對于如何計算復(fù)變函數(shù)積分以及如何處理有關(guān)復(fù)變函數(shù)積分的問題，往往很難迅速找到解決問題的方法.因此，理解復(fù)變函數(shù)積分，并能夠靈活運用復(fù)積分計算方法進行復(fù)積分計算就顯得極其重要.復(fù)積分中的Cauchy積分定理在理論上處于關(guān)鍵地位，由它派生出的Cauchy積分公式、留數(shù)定理、輻角原理等都涉及到積分的計算問題.解析函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)原本是一個積分，而實際計算卻需要Laurent展式.因而把積分與級數(shù)結(jié)合起來的留數(shù)定理使復(fù)積分理論甚至是復(fù)變函數(shù)理論達到高潮，且其用途十分廣泛.因此，研究

2、復(fù)變函數(shù)積分計算的各種方法有著非常重要的意義，本文以所列參考文獻3中的復(fù)積分計算方法為基礎(chǔ)，并通過查閱相關(guān)資料，借鑒了文獻4-7的結(jié)果，總結(jié)復(fù)積分計算的各種方法，并通過應(yīng)用1,2,8,9中的相關(guān)知識和方法，對所列出的每種方法作典型例證和分析.1.2預(yù)備知識定義1.1 復(fù)積分 設(shè)有向曲線：，以為起點，為終點，沿有定義.順著從到的方向在上依次取分點：.把曲線分成若干個弧段.在從到的每一弧段上任取一點.作成和數(shù)，其中.當分點無限增多，而這些弧段長度的最大值趨于零時，如果和數(shù)的極限存在且等于，則稱沿(從到）可積，而稱為沿(從到）的積分，并記以.稱為積分路徑. 表示沿的正方向的積分，表示沿的負方向的積分

3、.定義1.2 解析函數(shù) 如果函數(shù)在點及的某個鄰域內(nèi)處處可導，那么稱 在點解析，如果在區(qū)域內(nèi)解析就稱是內(nèi)的一個解析函數(shù).定義1.3 孤立奇點 若函數(shù)在點的鄰域內(nèi)除去點外處處是解析的，即在去心圓域內(nèi)處處解析，則稱點是的一個孤立奇點.定義1.4 留數(shù) 函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)定義為，記作.第2章 復(fù)積分的各種計算方法2.1復(fù)積分計算的常見方法（1）參數(shù)方程法定理 設(shè)光滑曲線，(在上連續(xù)，且)，又設(shè)沿連續(xù)，則.(、分別與起、終點對應(yīng))1.若曲線為直線段，先求出的參數(shù)方程為過兩點的直線段，為始點，為終點.例1 計算積分，路徑為直線段.解 設(shè)，則2.若曲線為圓周的一部分，例如是以為圓心，為半徑的圓.設(shè)，即，（

4、曲線的正方向為逆時針）.例2 計算積分為從到的下半單位圓周.解 設(shè)，.用Green公式法也可計算復(fù)積分, Green公式法是參數(shù)方程法的一種具體計算方法.例3 設(shè)為可求長的簡單閉曲線，是所圍區(qū)域的面積，求證：.證明 設(shè)，則由Green公式，有： 得證.本題目用Green公式解決了與區(qū)域面積有關(guān)的復(fù)積分問題.（2）用Newton-Leibnize公式計算復(fù)積分在積分與路徑無關(guān)的條件下（即被積函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析）也可直接按類似于實積分中的Newton-Leibnize公式計算.例4 計算.解 因為在復(fù)平面上處處解析，所以積分與路徑無關(guān).（3)用Cauchy定理及其推論計算復(fù)積分Cauchy

5、積分定理 設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條周線，則.Cauchy積分定理的等價定理 設(shè)函數(shù)在以周線為邊界的閉域上解析, 則例5 計算為單位圓周.解 是的解析區(qū)域內(nèi)的一閉曲線，由Cauchy積分定理有.注1 利用Cauchy積分定理也有一定的局限性，主要是要求被積函數(shù)的解析區(qū)域是單連通的，計算起來較為方便.注2 此題可用參數(shù)方法，但計算要復(fù)雜得多，而用Cauchy積分定理很簡單.另外，Cauchy積分定理可推廣到復(fù)周線的情形.定理 設(shè)是由復(fù)周線 所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則，或?qū)懗?，或?qū)懗?.這也是計算復(fù)積分的一個有力工具，即復(fù)函數(shù)沿區(qū)域外邊界曲線的積分等于沿

6、區(qū)域內(nèi)邊界積分的和.適用于積分曲線內(nèi)部含被積函數(shù)奇點的情形.例6計算的值，為包含圓周的任何正向簡單閉曲線.解 ，分別以為心做兩個完全含于 且互不相交的圓周，則有.（4）用Cauchy積分公式計算復(fù)積分Cauchy積分公式 設(shè)區(qū)域的邊界是周線（或復(fù)周線）在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有.Cauchy積分公式可以解決積分曲線內(nèi)有被積函數(shù)的奇點的積分問題.例7 計算，其中為圓周.解 因被積函數(shù)的兩個奇點是，分別以這兩點為心做兩個完全含于且互不相交的圓周.則有.此題是Cauchy積分公式與Cauchy積分定理復(fù)周線情形的結(jié)合. （5）用解析函數(shù)的高階導數(shù)公式計算復(fù)積分Cauchy積分公式解決的是形如的積分，那

7、么形如的積分怎樣計算呢？利用解析函數(shù)的高階導數(shù)公式可解決此問題.例8 計算為.解 因被積函數(shù)的兩個奇點是，分別以這兩點為心做兩個完全含于而且互不相交的圓周. 注 Cauchy積分公式與解析函數(shù)的高階導數(shù)公式在計算復(fù)積分時的主要區(qū)別在于被積函數(shù)分母的次數(shù)是否為一次因式，二者在計算時都常與Cauchy積分定理復(fù)周線情形相結(jié)合.（6）用留數(shù)定理計算復(fù)積分留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)在以為邊界的區(qū)域內(nèi)除外解析，且連續(xù)到，則.例9 計算.解 在圓周內(nèi)有一階極點，二階極點.，由留數(shù)定理.留數(shù)計算方法的改進留數(shù)是復(fù)變函數(shù)中的一個重要的概念，一般的復(fù)變函數(shù)專著對函數(shù)在極點處的留數(shù)通常采用下面三個引理中敘述的計算方法進行計

8、算，即引理1 若為的階極點，即,其中在解析,且,則.引理2若,其中在解析，則.引理3 設(shè)在擴充復(fù)平面上除外解析,，則在各點的留數(shù)總和為零，即.在實際運用中，發(fā)現(xiàn)以上三個引理所給公式應(yīng)用范圍有限，對有些留數(shù)的計算效果不佳.為了使計算簡化、公式更為通用，下面通過三個定理給出三個改進的留數(shù)計算公式，并相應(yīng)的給出算例.定理1 設(shè)是的階零點，也是的階零點，則在點的留數(shù)為.證明 因為為的階極點，則在點的鄰域內(nèi)可展開為.則.兩端求階導數(shù)，令，則.運用定理1只需判斷分母零點的階數(shù)，不必判斷分子的零點階數(shù)及極點的階數(shù)，它簡化了一些分式函數(shù)留數(shù)的計算.推論1 設(shè)，其中在點解析，則.例10 求在孤立奇點處的留數(shù).解

9、 因為是的階零點，據(jù)推論1，有.定理2 設(shè)為的一階極點，且在解析，為的階零點，為的階零點，則.證明 由假設(shè)可得.又為的一階極點，則，即.比較系數(shù)得，而，由此解得.例11 計算積分.解 被積函數(shù)在單位圓內(nèi)只有一個奇點，且是的三階零點，是的二階零點，又.由定理2，得.另外，對于多個奇點留數(shù)的和利用定理1、定理2相當麻煩，于是通過對引理3進行改進得到如下一種更簡便的方法.定理3 設(shè)，其中，則有以下結(jié)論：(1)當時，；(2)當時，；(3)當時，設(shè)，其中為的多項式，且的次數(shù)小于，則，化為1）或2）.此定理的結(jié)論是求有理函數(shù)在點留數(shù)的一個好方法，使用起來很方便.當分子次數(shù)比分母高時，可用綜合除法轉(zhuǎn)化為1）

10、或2）的情形.例12 計算積分.解 被積函數(shù)在內(nèi)部有6個奇點，計算它們十分麻煩，利用留數(shù)定理及引理3有.再利用定理3，則，故.例13 求.解 設(shè)被積函數(shù)的個極點為，并且在外部無極點，利用留數(shù)定理及引理3，而，利用定理3注 運用定理3求有理函數(shù)在點的留數(shù)特別簡潔，并且利用它求在孤立奇點的留數(shù)可以達到事半功倍的效果.（7）用級數(shù)法計算復(fù)積分連續(xù)性逐項積分定理 設(shè)在曲線C上連續(xù)()，在C上一致收斂于，則在曲線C上連續(xù)，并且沿C可逐項積分：.將函數(shù)展成Taylor級數(shù)或Laurent級數(shù)就解決了該類復(fù)積分的有關(guān)問題.例14 計算積分.解 在內(nèi)，有：所以 .例15 設(shè)在圓環(huán)內(nèi)解析，且，證明：在圓環(huán)內(nèi)，有

11、 .證明 因為在圓環(huán)內(nèi)解析，故有，于是由，得，則在內(nèi)解析，根據(jù)Cauchy積分定理可得： .（8）用Laplace變換法計算復(fù)積分定義 設(shè)是定義在上的實函數(shù)或復(fù)函數(shù)，如果含復(fù)變量（為實數(shù)）的積分在的某個區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分定義的復(fù)函數(shù)稱為函數(shù)的Laplace變換，簡記為.計算該類復(fù)積分時，可先運用Laplace變換的基本運算法則（線性關(guān)系、相似定理、位移定理、象函數(shù)微分法、本函數(shù)微分法、本函數(shù)積分法、延遲定理、卷積定理等），將該類復(fù)積分化為的形式，再參照Laplace變換表，得出相應(yīng)的復(fù)積分結(jié)果.例16 計算積分.解 令 則 由相似定理有 由Laplace變換表得所以 .2.2各種方法的選擇

12、原則及其聯(lián)系上一節(jié)給出了復(fù)積分的各種計算方法.那么,碰到有關(guān)復(fù)積分計算的題目時,我們到底應(yīng)該如何選擇具體的計算方法,簡便而快捷地進行計算呢.這是本節(jié)所要探討的主要問題.我們知道,復(fù)積分是由三部分構(gòu)成的,即積分路徑、被積函數(shù)以及積分微元。其中積分路徑和被積函數(shù)對復(fù)積分起著決定性的作用.因此，如何才能正確選擇上節(jié)中的各種復(fù)積分計算方法進行復(fù)積分的計算就要從這兩方面進行分析.（1）若所給復(fù)積分的積分路徑是閉的，則有以下兩種情況：1.被積函數(shù)為解析函數(shù)時，可選用Cauchy積分定理及其等價定理直接得出結(jié)果；2.被積函數(shù)在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)有奇點時，則需根據(jù)奇點個數(shù)進行討論：若奇點個數(shù)有限，則可選用Ca

13、uchy積分公式、高階導數(shù)公式或留數(shù)定理進行計算；若奇點個數(shù)無限，則可先對奇點類型進行判斷，再利用參數(shù)方程法進行計算.(2)若所給復(fù)積分的積分路徑是非閉的，則有以下兩種情況：1.被積函數(shù)為解析函數(shù)時，則可選用Newton-Leibnize公式進行計算；2.被積函數(shù)為非解析函數(shù)時，可選用參數(shù)方程法進行計算.在很多復(fù)積分的計算中，Cauchy積分公式、高階導數(shù)公式在運用往往與Cauchy積分定理相結(jié)合，還有一些題目也常常需要將Cauchy積分公式與Cauchy積分定理相結(jié)合.因此，復(fù)積分的多種計算方法在應(yīng)用時并不是完全獨立、沒有聯(lián)系的.例如，Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、高階導數(shù)公式

14、就是留數(shù)定理的特例.下面給出說明.Cauchy積分定理 設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條周線，則.Cauchy積分公式 設(shè)區(qū)域的邊界是周線（或復(fù)周線）在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有.高階導數(shù)公式 留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)在以為邊界的區(qū)域內(nèi)除外解析，且連續(xù)到，則.說明 （1）根據(jù)Cauchy積分定理，函數(shù)在復(fù)平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，即函數(shù)在內(nèi)無奇點，故可解釋為奇點處的留數(shù)之和為0.則根據(jù)留數(shù)定理，有.（2）令，根據(jù)Cauchy積分公式的條件可知，作為的函數(shù)在內(nèi)除點外均解析.根據(jù)留數(shù)定理，.且為的一階極點，故.即.（3）高階導數(shù)公式是在Cauchy積分公式的條件下得到的，這里令.根據(jù)Cauchy

15、積分公式的條件可知，作為的函數(shù)在內(nèi)除點外均解析，根據(jù)留數(shù)定理，有.且為的階極點，故. 即.參考文獻1 劉玉璉等編數(shù)學分析講義上、下冊(第五版)M. 高等教育出版社，2008.2 華東師范大學數(shù)學系編數(shù)學分析上、下冊(第四版)M. 高等教育出版社，2010.3 鐘玉泉編，復(fù)變函數(shù)論（第三版）M. 高等教育出版社，2005.4 黃雋.復(fù)變函數(shù)積分計算方法的探討J.常州工學院學報，2008，8（4）.5 黃得隆.復(fù)變函數(shù)計算中的幾種方法J.寶雞文理學院學報.1995.6 孟祥發(fā) 求留數(shù)的另一種方法J，天津理工學院學報，2001,17（2）：4-5.7 閔嗣鶴、程民德、董懷允等譯、普里瓦洛夫（蘇聯(lián)）著

16、M、復(fù)變函數(shù)論、北京：人民教育出版社，1975.8 孫本旺、汪浩、數(shù)學分析中典型例題和解題方法M.湖南：湖南科學技術(shù)出版社，1981:09-1.9 龔冬寶，復(fù)變函數(shù)典型題M，西安：西安交通大學出版社，2003.致謝本論文經(jīng)過幾個月的努力即將告以尾聲，從論文的選題、資料的收集到論文的撰寫，整個過程都經(jīng)過精心地考慮、仔細地查閱和細心地修改.在此，我首先要感謝我的指導教師張艷紅老師，不管在論文選題還是論文的撰寫，以及資料的查閱方面，她都給了我莫大的幫助與啟發(fā)，尤其是在論文的幾次修改過程中，張老師以廣博的學識，嚴謹?shù)闹螌W精神影響著我，在她的悉心指導下，我的論文順利完成.再次向張老師致以誠摯的感謝和崇高的敬意.同時，我要對作出本論文參考文獻的所有學術(shù)專家和老師致以真摯的謝意，是他們出版的書籍與發(fā)表的學術(shù)論文給了我很大的啟示與指導，我才能夠?qū)⒄?/p>