立體幾何專題三：垂直證明題型及方法

1、立體幾何專題三 :垂直證明題型及方法一個關系 :線線垂直 線面垂直面面垂直 ;三類證法(1證明線線垂直的方法定義:兩條直線所成的角為 90° 平面幾何中證明線線垂直的方法 ; 線面垂 直的性質:a , b? ? a b ; 線面垂直的性質 :a , b ? a b . (2證明線 面垂直的方法線面垂直的定義 :a 與 內任何直線都垂直 ? a ; 判定定理 1:?m 、 n ? , m n =A l m , l n ? l ; 判定定理 2:a b , a ? b ; 面面平行的性質 : , a ? a ;面面垂直的性質 : , ?= l , a, a l ? a . (證3 明面面

2、垂直的方法利用定義 :兩個平面相交 ,所成的二面角是直二面角 ; 判定定理 :a ? , a ? .類型一 :線線垂直證明 （共面垂直、異面垂直1. 共面垂直 :實際上是平面內的兩條直線的垂直 （只需要同學們掌握以下幾種 模型（1等腰（等邊三角形中的中線 （2 菱形（正方形的對角線互相垂直 （3 勾股定理中 的三角形（4 利用相似或全等證明直角。2. 異面垂直 （利用線面垂直來證明 ,高考中的意圖例 1. 如 圖 , 在四棱 錐 ABCD P -中 , 底 面 A B C D 是矩 形 , 已 知60, 22, 2, 2, 3=PAB PD PA AD AB .證明:AD PB ;變式 1:如

3、圖,在邊長為 2的正方形 ABCD 中,點 E 是 AB 的中點,點 F 是 BC 的 中點,將 AED, DCF 分別沿 , DE DF 折起,使 , A C 兩點重合于 ' A . 求證 :' A D EF ;變式 2:如圖,在三棱錐 P ABC -中, PAB 是等邊三角形 , PAC = PBC =90 o 證明 :AB PC類型二 :線面垂直證明方法 1利 用線面垂直的判斷定理證:1AO BDE 平面 變式 1:如圖:直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中, AC =BC =AA 1=2, ACB =90? . E 為BB 1的中點, D 點在 AB 上且 DE

4、=3 . 求證:CD 平面 A 1ABB 1;變式 2 如圖,在底面為直角梯形的四棱錐 P ABCD -中,AD BC , 90ABC =°, PA 平面 ABCD . 3PA =, 2AD =, AB =6BC =2 利用面面垂直的性質定理 方法點撥 :此種情形 ,條件中含有面面垂直。例 3. 在四棱錐 P ABCD -,底面 ABCD 是正方形,側面 PAB 是等腰三角形 ,且PAB ABCD 面底面 , 求證:BC PAB 面類型 3:面面垂直的證明。 （本質上是證明線面垂直例 4. 如圖,已知 AB 平面 ACD , DE 平面 ACD , ACD 為等邊三角形 ,分別是棱

5、CC 與BB 上的點,且 EC=BC=2FB =2. 求證:平面 AEF 平面 AA C C ;小題訓練1. 設 M 表示平面 , a 、 b 表示直線,給出下列四個命題 :M b M a b a ? / b a M b M a /? ? b a M a b M ?b a M a /b M .其中正確的命題是 (A. B. C. D. 2. 下列命題中正確的是 (A. 若一條直線垂直于一個平面內的兩條直線 ,則這條直線垂直于這個平面 B. 若 一條直線垂直于一個平面內的無數條直線 ,則這條直線垂直于這個平面 C. 若一條直 線平行于一個平面 , 則垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線 D.

6、若一條直線垂 直于一個平面 ,則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這4個平面3. 如圖所示,在正方形 ABCD 中, E 、 F 分別是 AB 、 BC 的中點 . 現在沿 DE 、 DF 及 EF 把 ADE 、 CDF 和 BEF 折起,使 A 、 B 、 C 三點重合 ,重合 后的點記為 P . 那么,在四面體 P DEF 中,必有 (A. DP 平面 PEF B. DM 平面 PEF C. PM 平面 DEF D. PF 平面 DEF4. 設 a 、 b 是異面直線 ,下列命題正確的是 (A. 過不在 a 、 b 上的一點 P 一定可以作一條直線和 a 、 b 都相交 B. 過不在 a

7、 、 b 上的一點 P 一定可以作一個平面和 a 、 b 都垂直 C. 過 a 一定可以作一個平 面與 b 垂直 D. 過 a 一定可以作一個平面與 b 平行5. 如果直線 l , m 與平面 , 滿, 足:l = , l , m 和 m 那, 么必有A. 且 l m B. 且 m C.m 且 l m D. 且 6有. 三 個命題:垂直于同一個平面的兩條直線平行 過平面 的一條斜線 l 有且僅有一個平面與 垂直 ; 異面直線 a 、 b 不垂直 ,那么過 a 的任一個平面與 b 都不垂直 其中正確命題 的個數為 (A.0 B.1 C.2 D.37. d 是異面直線 a 、 b 的公垂線,平面 、滿足 a , b 則,下面正確的 結 論是 (A. 與 必相交且交線 m d 或 m 與 d 重合 B. 與 必相交且交線 m d 但 m 與 d 不重合 C. 與必相交且交線 m 與 d 一定不平行 D. 與 不一定相