2020屆高考數(shù)學(xué)高頻題型--極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、2020屆高考數(shù)學(xué)高頻題型極坐標(biāo)與參數(shù)方程除了簡單的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化外，還涉及一下內(nèi)容:（一）有關(guān)圓的題型-利用圓心到直線的距離與半徑比較題型一：圓與直線的位置關(guān)系 （圓與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題）7d r：相離，無交點(diǎn);d ：相切，1個(gè)交點(diǎn);d r:相交，2個(gè)交點(diǎn);用圓心（xo,yo）到直線Ax+By+C=0勺距離dAX0 Byo CA2 B2,算出d,在與半徑比較題型二：圓上的點(diǎn)到直線的最值問題 （不求該點(diǎn)坐標(biāo)，如果求該點(diǎn)坐標(biāo)請(qǐng)參照距離最值求法）思路：第一步：利用圓心（xo,yo）到直線Ax+By+C=0勺距離d "： By0 C A2 B2第二步：判斷

2、直線與圓的位置關(guān)系第三步：相離：代入公式：dmax d r, dmin d r相切、相交：dmax d r dmin o題型三：直線與圓的弦長問題弦長公式l 232 d2 , d是圓心到直線的距離延伸：直線與圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的弦長問題（弦長：直線與曲線相交兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離就是弦長）弦長公式l |ti t2 ,解法參考“直線參數(shù)方程的幾何意義”（二）距離的最值：-用“參數(shù)法”1 .曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題2 .點(diǎn)與點(diǎn)的最值問題“參數(shù)法”：設(shè)點(diǎn)-套公式-三角輔助角設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)用該點(diǎn)在所在曲線的的參數(shù)方程來設(shè)套公式：利用點(diǎn)到線的距離公式輔助角：利用三

3、角函數(shù)輔助角公式進(jìn)行化一例如：【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為x 2cos (為參數(shù))， y sin以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 sin( -)2虎.(I)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(II )設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)2I ) Ci的普通方程為y2 1, 3C2的直角坐標(biāo)方程為x y 4 0 .(解說：C: x "3cos”利用三角消元：移項(xiàng)-化同-平方-相加 y sin a這里沒有加減移項(xiàng)省去，直接化同，那系數(shù)除到左邊x cos a3y sin

4、a兩邊同時(shí)平方 32 y2 cos asin 2a2兩道式子相加xy2 13(H)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(V3cos ,sin )(解說：點(diǎn)直接用該點(diǎn)的曲線方程的參數(shù)方程來表示)因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,| 3 cos sin 41 廠d( ) |2 | 、2|sin(-) 2|.(歐萌說：利用點(diǎn)到直接的距離列式子，然后就是三角函數(shù)的輔助公式進(jìn)行化一)當(dāng) sin (-)1時(shí)即當(dāng) 2k (k Z)時(shí)，d()取得最小值，最小值為J2,此時(shí)P的直角坐標(biāo) 36為(|，2)(三)直線參數(shù)方程的幾何意義1.經(jīng)過點(diǎn)P(x°, yo),傾斜角為a的直

5、線l的參數(shù)方程為x x0 tcos (t為參數(shù))若A, B為直線l上 y V。tsm兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 3, t2,線段AB的中點(diǎn)為M點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為to,則以下結(jié)論在解題 中經(jīng)常用到：t 1 + t 2to二廠；t 1 + t 2(2)| PM=I to|=;(3)| AB|=| t2ti| ;(4)| PA | PB|=| ti t2|(5) I PA PB t1 t2t1t2<(tlt2)2/2,當(dāng)煤20t2,當(dāng)煤20(注：記住常見的形式，P是定點(diǎn)，A、B是直線與曲線的交點(diǎn)，P、A、B三點(diǎn)在直線上)【特別提醒】直線的參數(shù)方程中，參數(shù) t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且

6、其幾何意義為:|t|是直線上任一點(diǎn) Mx, y)到M(x。，yo)的距離,即1MM二|t|.直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 ti,t2,則弦長l |ti t2 ;2.解題思路第一步：曲線化成普通方程，直線化成參數(shù)方程第二步：將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，整理成關(guān)于t的一元二次方程：at2 bt c 0第三步：韋達(dá)定理：t1 t2 ,t1t2 a a第四步：選擇公式代入計(jì)算。L 3 x= 5+ 2 t, 例如：已知直線l :y=*+2t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為P=2cos8.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(

7、2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5 ,鎘)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A, B,求| MA | MB的優(yōu)解(1) p =2cos 0 等價(jià)于 p 2=2 p cos 0 .將p2= x2+y2, pcosB =乂代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2- 2x = 0.x = 5 + 23t ,將y=#+2t代入式，得t2+53t + 18 = 0.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1, t2,則由參數(shù)t的幾何意義即知，| MA | MB = |t1t2| =18.（四）一直線與兩曲線分別相交，求交點(diǎn)間的距離思路：一般采用直線極坐標(biāo)與曲線極坐標(biāo)聯(lián)系方程求出2個(gè)交點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用極徑相減即可例如：（2016?福建

8、模擬）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（其中口為參 （2+VTsinCL數(shù)），曲線G: （x-1） 2+y2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（I）求曲線C的普通方程和曲線G的極坐標(biāo)方程；（H）若射線8 =:（p >0）與曲線C, G分別交于A, B兩點(diǎn)，求|AB| .0解：（I） 曲線C的參數(shù)方程為"早''（其中a為參數(shù)），尸式門口曲線C的普通方程為x2+ （y-2） 2=7.曲線 G: （x- 1） 2+y2=1,.,把 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入（x 1） 2+y2=1,得到曲線C2的極坐標(biāo)方程（p

9、 cos 8 - 1） 2+ （ p sin 0） 2=1,化簡，得p =2cos 0 .（n）依題意設(shè) A （ p 1 ,二），B （ P 勿二），V曲線C的極坐標(biāo)方程為P 2 - 4 P sin 9 - 3=0,將日三（p >0）代入曲線C的極坐標(biāo)方程，得p 2 - 2 p - 3=0,解得p 1=3,同理，將由< （ P >。）代入曲線G的極坐標(biāo)方程，得p產(chǎn) . |AB|=| p 1- p 2|=3 -/3.（五）面積的最值問題面積最值問題一般轉(zhuǎn)化成弦長問題+點(diǎn)到線的最值問題例題2016?包頭校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C的參數(shù)方程為|-5產(chǎn),'十,

10、（t為參、產(chǎn) 3+爽 sint數(shù)），在以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線 l的極坐標(biāo)方程為 TTITTPg* Sr）=-瓜 A, B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為k （2,下），B （2,九）,（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求 PAB面積的最小值.解：（1）由.5+Tcos-t y=3+V2sintK+5=V2ostY 3-V2sint消去參數(shù) t ,得(x+5) 2+ (y-3) 2=2,圓C的普通方程為(x+5) 2+ (y-3) 2=2.由 p cos (8 +-) = 化簡得p cos 0 -2p sin 0 =- 72,即 p cos 8 p sin 0 =- 2,即 x y+2=0,則直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0;(n)將 a(2,712),B (2,冗)化為直角坐標(biāo)為 A (0, 2),