數(shù)學建模論文獵狗追兔子問題

1、數(shù)學建模論文論文題目：獵狗追兔子問題姓名1：舒忠明 學號：1025114016 手機名2：王福松 學號：1025114032 手機名3：吳非凡 學號：0715112015 手機：180609131632010計算機1班2012-10-5獵狗追兔子問題摘要本文討論了分別用微分模型，計算機仿真模型求解獵狗追兔子的問題，獵狗追兔的問題屬于實際的情景問題，具有一定的時代氣息。 微分模型計算得到獵狗能追上兔子的最小速度是17.0803米/秒，在這種情況下，獵狗跑過的路程是256.2045米。計算機仿真模型形象的演示了獵狗追擊兔子的狀態(tài)和路線。技術(shù)科學中

2、往往遇到大量的微分方程就是聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)以及他的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。在自然科學和微分方程問題。通過對高級微分方程的分析，我們對題目里提出的問題建立了符合實際的數(shù)學模型。在模型的求解過程中應(yīng)用數(shù)學軟件等計算工具，編寫相應(yīng)的程序，解決實際問題。關(guān)鍵詞：數(shù)學建模 獵狗 兔子 追擊 計算機仿真 matlab目錄一、問題重述與分析31.1問題描述31.2問題分析3二、模型假設(shè)4三、符號說明4四、微分模型建立4五、微分模型求解65.1方程求解65.2最小速度65.3獵狗跑過的路程75.4奔跑曲線75.5 matlab編程求解8六、計算機仿真136.1計算機仿真模型的建立136.2仿真程序156.3顯示追

3、擊路線的程序17七、模型的評價197.1、優(yōu)點197.2、缺點207.3、改進方向20八、參考文獻20一、問題重述與分析：1.1問題描述：某有一只獵狗在b點位置發(fā)現(xiàn)了一只兔子在正東北方距離它200米的地方o處，此時兔子開始以8米/秒的速度向正西北方距離為120米的洞口a全速跑去，假設(shè)獵狗在追趕兔子的時候始終朝著兔子的方向全速奔跑，用微積分方程理論解、微積分方程數(shù)值解、計算機仿真法等多種方法完成下面的實驗： (1) 問獵狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在獵狗能追上兔子的情況下，獵狗跑過的路程是多少？ (3) 畫出獵狗追趕兔子奔跑的曲線圖。 (4) 假設(shè)在追趕過程中，當獵狗與兔子之間的距離

4、為30米時，兔子由于害怕,奔跑的速度每秒減半，而獵狗卻由于興奮奔跑的速度每秒增加0.1倍，在這種情況下，再按前面的（1）（3）完成實驗任務(wù)。1.2問題分析：1、本題目是在限定條件下求極值的問題，可以通過建立有約束條件的微分方程加以模擬。2、通過運用歐拉公式及改進歐拉公式的原理，結(jié)合高等數(shù)學的有關(guān)知識，對微分方程進行求解。3、將數(shù)學求解用matlab程序語言進行實現(xiàn)，得出方程的近似解。4、最后解方程的解結(jié)合實際問題轉(zhuǎn)化為具體問題的實際結(jié)果。二、模型假設(shè)1、設(shè)在兔子和獵狗的運動過程中，兩者的速度保持恒定，且不受其他因素的影響。2、假設(shè)在較短的時間內(nèi)獵狗運動的軌跡為直線。3、當獵狗與兔子之間的距離相

5、當小時，認為獵狗已經(jīng)追上了兔子。三、符號說明s：獵狗跑夠的路程t: 經(jīng)歷的時間v: 獵狗的速度a：兔子的速度四、微分模型建立：以bo所在的直線為x軸，以oa所在的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，則o點坐標（0，0），b點坐標（-200，0），a點坐標（0，120）。nwoab從獵狗發(fā)現(xiàn)兔子時起，在t時刻，兔子到達c(0，8t)點，獵狗到達(x,y)點，由題意可知： 對兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可得： 于是： y(-200)=0,dy(-200)=0 則該問題的模型建立五、微分模型求解5.1方程求解：令：，原方程可以化為： y=(v*x*(-x/200)(8/v)/(2*v + 16) - (1600*

6、v)/(v2 - 64) - (v*x*(-200/x)(8/v)/(2*v - 16)5.2最小速度：令x=0, 此時獵狗追上兔子，則兔子走過的距離為 y=1600*v/(-64+v2)則追趕的時間為： t=y/8=200*v/(-64+v2)由于兔子跑回窩的時間是一個定植，所以當獵狗以最小速度追趕上兔子時，所經(jīng)歷的時間恰好為兔子跑回窩所需要的時間，即： 200*v/(-64+v2)=15可以解得：v= 17.0803即獵狗的最小速度為17.0803米/秒5.3獵狗跑過的路程：當獵狗的速度為17.0803米/秒時，獵狗可以追上兔子，則：獵狗跑過的路程：y=17.0803*15米= 256.2

7、045米5.4奔跑曲線： 用matlab繪制曲線，代碼如下：v=17.0803;x1=;y1=;x2=;y2=;d=20.5/2;for x=-200:0 x1=x1,x; y1=y1,100*(-1/200*x)(8/v+1)/(8/v+1)-100*(-1/200*x)(-8/v+1)/(-8/v+1)+1600*v/(-64+v2); x2=x2,0; y2=y2,120/200*(200+x);endhold onaxis(-150 100 -150 100)xd=d.*x1-d.*y1;yd=d.*x1+d.*y1;xt=d.*x2-d.*y2;yt=d.*x2+d.*y2; plo

8、t(xd,yd,'*')plot(xt,yt,'*')5.5 matlab編程求解： 獵狗能追上兔子的最小速度a=8;dogxa=;cabbitxa=;dogya=;cabbitya=;d=1;dogx=-100*sqrt(2);dogy=-100*sqrt(2);cabbitx=0;cabbity=0;t=0;dt=0.01;for b=10:0.5:40 dogx=-100*sqrt(2);dogy=-100*sqrt(2);cabbitx=0;cabbity=0;t=0; while(sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2)

9、>d&cabbity<200) t=t+dt; dogx=dogx+b*dt*(cabbitx-dogx)/sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2); dogy=dogy+b*dt*(cabbity-dogy)/sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2); cabbitx=-a*cos(pi/4)*t; cabbity=a*sin(pi/4)*t; end if cabbity<=60*sqrt(2) break endendfprintf('the minspeed of dog id:%2f&#

10、39;,b); 獵狗跑過的路程：a=8;b=17;d=0.1;dogxb=;cabbitxb=;dogyb=;cabbityb=;dogx=-100*sqrt(2);dogy=-100*sqrt(2);cabbitx=0;cabbity=0;t=0;dt=0.01;s=0;while(sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2)>d) t=t+dt; dogx0=dogx; dogy0=dogy; dogx=dogx+b*dt*(cabbitx-dogx)/sqrt(cabbitx-dogx)2+(cabbity-dogy)2); dogxb=dogxb,do

11、gx; dogy=dogy+b*dt*(cabbity-dogy)/sqrt(cabbitx-dogx)2+(cabbity-dogy)2); dogyb=dogyb,dogy; cabbitx=-a*cos(pi/4)*t; cabbity=a*sin(pi/4)*t; cabbitxb=cabbitxb,cabbitx; cabbityb=cabbityb,cabbity; s=s+sqrt(dogx0-dogx)2+(dogy0-dogy)2);endfprintf('the length dog run is:%.1f',s); 獵狗追趕兔子奔跑的曲線圖：plot(do

12、gxb,dogyb,cabbitxb,cabbityb,'*') 獵狗與兔子距離30米時：第一問：a=8;dogxa=;cabbitxa=;dogya=;cabbitya=;d=1;dogx=-100*sqrt(2);dogy=-100*sqrt(2);cabbitx=0;cabbity=0;t=0;dt=0.01;for b=8:0.5:40 dogx=-100*sqrt(2);dogy=-100*sqrt(2);cabbitx=0;cabbity=0; t=0; c=b; a=8;while(sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2)>d

13、&cabbity<60*sqrt(2) if(sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2)<=30) b=b*1.1dt; a=a*0.5dt; end t=t+dt; dogx=dogx+b*dt*(cabbitx-dogx)/sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2); dogy=dogy+b*dt*(cabbity-dogy)/sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2); cabbitx=cabbitx-a*dt*cos(pi/4); cabbity=cabbity+a*sin(p

14、i/4)*dt; end if (cabbity<=60*sqrt(2) b=c; break end endfprintf('the minspeed of dog is:%2f',b);第二問：a=8;b=15.5;dogxb=;cabbitxb=;dogyb=;cabbityb=;dogx=-100*sqrt(2);dogy=-100*sqrt(2);cabbitx=0;cabbity=0;t=0;dt=0.01;s=0;while(sqrt(dogx-cabbitx)2+(dogy-cabbity)2)>d) t=t+dt; if(sqrt(dogx-cab

15、bitx)2+(dogy-cabbity)2)<=30) b=b*1.1dt; a=a*0.5dt end dogx0=dogx; dogy0=dogy; dogx=dogx+b*dt*(cabbitx-dogx)/sqrt(cabbitx-dogx)2+(cabbity-dogy)2); dogxb=dogxb,dogx; dogy=dogy+b*dt*(cabbity-dogy)/sqrt(cabbitx-dogx)2+(cabbity-dogy)2); dogyb=dogyb,dogy; cabbitx=cabbitx-a*dt*cos(pi/4); cabbity=cabbity

16、+a*sin(pi/4)*dt; cabbitxb=cabbitxb,cabbitx; cabbityb=cabbityb,cabbity; s=s+sqrt(dogx0-dogx)2+(dogy0-dogy)2);endfprintf('the length dog run is:%.1f',s);第三問：plot(dogxb,dogyb,cabbitxb,cabbityb,'*')六、計算機仿真6.1計算機仿真模型的建立：以bo所在的直線為x軸，以oa所在的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，則兔子的起始位置是o（0,0），狗的初始位置是b（-200，0），

17、a點坐標（0，120）。兔子的速度是8米每秒，所以任意時刻t,兔子的位置是=（0，8t）,狗以勻速追趕兔子，速度大小不變，方向時刻指向兔子。yxnwoab設(shè)任意時刻，獵狗的位置是,兔子的位置是，則有題意可知:,，獵狗的速度大小為v，在時，獵狗的位置是,則：，設(shè)置時間步長，速度v，a及初始位置獵狗在時的坐標：兔子在時的坐標： 獵狗和兔子之間的距離當=0時，狗追到兔子，但如果在=0之前，兔子到達a點，即兔子跑進了洞穴，則狗追不到兔子，兔子跑進洞穴所需時間為t=120/8=15秒，所以狗以最小速度追趕兔子時，在洞口初，恰好追到兔子。在運算時，可以任意給狗一速度v,在此速度下，狗能否在洞口處恰好追到兔

18、子，如果在到達洞口之前就追到了，則取比v小的一速度，在進行運算。如兔子進入洞穴時仍未追上，則在取一比v大的速度進行運算，直到取到一速度使狗在洞口處追到了兔子。當狗與兔子的距離大于30時，運算過程與上述過程相同，當距離小于30時，兔子的速度每秒減半，而狗的速度每秒增加0.1倍，取間隔dt，當二者距離小于30時，兔子的速度為v=8/(2dt),狗的速度v=v*1.1dt,由此可以寫出任意時刻t，兔子和狗的位置坐標。6.2仿真程序：1、取c=-120米;a=8米/秒;v=10米/秒時c=-120; a=8; v=10; dogxb=;dogyb=;rabbitxb=;rabbityb=; d=0.1

19、;dt=0.1;t=0; dogx=c;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0; while (sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)>d && t<=15) t=t+dt; dogx=dogx-v*dt*dogx/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); dogxb=dogxb,dogx; dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); dogyb=dogyb,dogy; rabbity=a*t; rabbityb=rabbityb,rabbity; en

20、d rabbitxb=zeros(length(rabbityb); plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*')2、取c=-120米;a=8米/秒;v=20米/秒時c=-120; a=8; v=20; dogxb=;dogyb=;rabbitxb=;rabbityb=; d=0.1;dt=0.1;t=0; dogx=c;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0; while (sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)>d && t<=15) t=t+dt; dogx=do

21、gx-v*dt*dogx/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); dogxb=dogxb,dogx; dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); dogyb=dogyb,dogy; rabbity=a*t; rabbityb=rabbityb,rabbity; end rabbitxb=zeros(length(rabbityb); plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*')6.3顯示追擊路線的程序：1、取c=-120米;a=8米/秒;v=10米/秒時c=-120; a=8;

22、 v=10;d=0.1;dt=0.1;t=0;dogx=c;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;while (sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)>d && t<=15) plot(dogx,dogy,'ro',rabbitx,rabbity,'y*') pause(0.00001) hold on t=t+dt; dogx=dogx-v*dt*dogx/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); rabbity=a*t; plot(dogx,dogy,'ro',rabbitx,rabbity,'y*')end2、取c=-120米;a=8米/秒;v=20米/秒時c=-120; a=8; v=20;d=0.1;dt=0.1;t=0;dogx=c;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;w