結構穩(wěn)定與極限荷載PPT課件

1、 極限荷載方法經(jīng)濟合理局限性只反映結構最后狀態(tài)： 不反映彈性塑性極限狀態(tài)過程 給定K在實際荷載作用下結構工作狀態(tài)無法確定設計荷載作用下，大多數(shù)為彈性狀態(tài)結構設計彈性與塑性計算相互補充 簡化計算： 假設材料為理想彈塑性材料， 其應力應變關系如圖121所示。第1頁/共179頁 加載應力增加材料彈塑性 卸載應力減少材料彈性 在經(jīng)歷塑性變形之后， 應力與應變之間不再存在單值對應關系， 同一個應力值可對應于不同的應變值， 同一個應變值可對應于不同的應力值。 要得到彈塑性問題的解， 需要追蹤全部受力變形過程。 疊加原理不適用比例加載 各荷載按同一比例增加第2頁/共179頁 理想彈塑性材料T形截面梁 （圖1

2、22a）純彎曲狀態(tài)基本概念。第3頁/共179頁 圖b：截面處于彈性階段，Mu）機構2 ：A、C塑性鉸（圖12-7c），求得27.5uMFl可破壞荷載，滿足機構條件和平衡條件；分段疊加法繪出M圖（圖f），滿足內力極限條件，即同時為可接受荷載極限荷載第34頁/共179頁12-6 連續(xù)梁的極限荷載連續(xù)梁的極限荷載 連續(xù)梁（圖128a） 破壞機構的可能形式： 各跨獨立形成破壞機構 （圖b、c、d）， 不可能由相鄰幾跨聯(lián)合 形成一個破壞機構（圖e） 因為荷載方向均向下， 各跨的最大負彎矩 只可能發(fā)生在支座截面處。 不可能一跨中部出現(xiàn) 負彎矩塑性鉸（圖e）第35頁/共179頁 連續(xù)梁的極限荷載計算： 對每

3、一個單跨破壞機構分別求出相應的破壞荷載 取其中的最小值 得到連續(xù)梁的極限荷載?！纠?2-4 】 試求圖所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨為等截面，極限彎矩如圖每一個單跨破壞機構為圖b、c、d： （圖d中應為F截面為塑性鉸）第36頁/共179頁0.823.75uuuPaMMMPaAB跨破壞時（圖b）： BC跨破壞時（圖c）：2224uuuuPaaMMMaMPaCD跨破壞時（圖d）C支座處取較小的Mu ：2333.33uuuPaPaMMMPa 比較以上結果，可知CD跨首先破壞，所以極限荷載為 3.33uuMPa第37頁/共179頁12-7 剛架的極限荷載剛架的極限荷載 剛架極限荷載計算：窮舉法和試算法。

4、【圖1210】圖示剛架， 各桿為等截面， 極限彎矩：AC、BEMu；CE2Mu。 計算極限荷載。 首先確定破壞機構的可能形式：由彎矩圖的形狀（求解器計算）可知塑性鉸只可能在A、B、C、D、E五個截面出現(xiàn)。 剛架3次超靜定故只要出現(xiàn)4個塑性鉸，或直桿上出現(xiàn)三個塑性鉸即為破壞機構第38頁/共179頁可能的破壞機構：第39頁/共179頁2223uuuuPaMMMMPa窮舉法： 機構1（圖1210b）： 機構2（圖1210c）：1.542.67uuPaMMPa第40頁/共179頁1.522222.29uuuuuPaPaMMMMMPa機構3（圖1210d） 機構4（圖1210e）21.522216uuu

5、uuPaPaMMMMMPa 選取最小的，所以極限荷載為 2.29uuMPa第41頁/共179頁2.67uMPa試算法：選機構2（圖1210c）：求相應荷載 作M圖（圖1211a）：疊加法作CE的M圖得MD = 2.67Mu 2 Mu ，不滿足CE的內力局限條件荷載P不是可接受荷載。22242.67uuDuMMPaMPaM第42頁/共179頁2.29uMPa選機構3（圖1210d）：求相應荷載 作M圖（圖1211b）：疊加法作CE的M圖得MC = 0.42Mu Mu ，滿足AC的內力局限條件荷載是可接受荷載。故機構3即為極限狀態(tài)，極限荷載為2.29uuMPa第43頁/共179頁*12-8 矩陣位

6、移法求剛架的極限荷載矩陣位移法求剛架的極限荷載 以矩陣位移法為基礎的增量變剛度法， 簡稱為增量法或變剛度法， 適合電算解復雜的極限荷載問題。 假設： （1）當出現(xiàn)塑性鉸時，假設塑性區(qū)退化為一個截面（塑性鉸處的截面），而其余部分仍為彈性區(qū)。 （2）荷載按比例增加所有荷載可用一個荷載參數(shù)F表示，且為結點荷載因而塑性鉸只出現(xiàn)在結點處。 若有非結點集中荷載，可把荷載作用截面當做結點處理 （3）每個桿件的極限彎矩為常數(shù)，但各桿的極限彎矩可不相同。 （4）忽略剪力和軸力對極限彎矩的影響。第44頁/共179頁 1增量變剛度法的基本思路把原來的非線性問題轉化為分階段的幾個線性問題兩個特點：（1）把總的荷載分成

7、幾個荷載增量，進行分階段計算，因而叫做增量法。以新塑性鉸的出現(xiàn)作為分界標志，把加載的全過程分成幾個階段： 由彈性階段開始，過渡到一個塑性鉸階段， 再過渡到兩個塑性鉸階段， 最后達到結構的極限狀態(tài)。每一個階段有一個相應的荷載增量，由此可算出相應的內力和位移增量，累加后便得到總的內力和位移。第45頁/共179頁（2）對于每個荷載增量，仍按彈性方法計算，但不同階段要采用不同的剛度矩陣，因而叫做變剛度法。在施加某個荷載增量的階段內，由于沒有新的塑性鉸出現(xiàn)，因此結構中塑性鉸的個數(shù)和位置都保持不變在此階段內的結構可看作是具有幾個指定鉸結點的彈性結構；當由前一階段轉到新的階段時，由于有新的塑性鉸出現(xiàn)，結構就

8、變?yōu)榫哂行碌你q結點的彈性結構，其剛度矩陣需要根據(jù)新塑性鉸情況進行修改第46頁/共179頁F11MuMF1uMF=F1+FuMF1F=+2M1MFFF1min1MMumin11MMFumin11MFMumin11MFMFuFMMM21第47頁/共179頁1M以圖a所示的梁為例加以說明。（1）彈性階段：零荷載P1 第一個塑性鉸出現(xiàn)【解】單位荷載P=1作用單位彎矩圖（ 圖），其中控制截面A和B的彎矩組成單位荷載的彎矩向量llMT3253261相應截面的極限彎矩和單位彎矩相比:lMlMMMuuTu5326321A點比值較小第48頁/共179頁最小比值發(fā)生在A點，其值為1min163uuMMMl上述最小

9、比值我們用P1來表示。當荷載增大到： 1163uMPPl梁的彎矩為：111MPM相應的彎矩向量1M為： 11116355316326TTuuuMMP MllMMl第49頁/共179頁2M（2）一個塑性鉸階段：P1 P2 第二個塑性鉸出現(xiàn)【解】截面A應改為單向鉸結點結構降低一次超靜定，改成簡支梁。單位荷載P=1作用彎矩圖（ 圖）。第二個塑性鉸出現(xiàn)時所需施加的荷載增量可按下式確定：BuMMMP212第50頁/共179頁122uBMMPM252634uuuMMMPll此荷載增量引起彎矩增量為22222()3uMMMPMl第51頁/共179頁（3）極限狀態(tài) 出現(xiàn)兩個塑性鉸后，結構已成為單向機構，從而達

10、到極限狀態(tài)。極限狀態(tài)的彎矩M：21MMM極限荷載為：lMlMlMPPPuuuu63231621第52頁/共179頁1M例12-6試用增量變剛度法求圖示剛架的極限荷載。解（1）第一階段計算原剛架在單位荷載P=1作用下，單位（力）彎矩圖（圖b ）各控制截面的比值 中，1MMu以截面D的比值為最小，即為第一階段終結荷載：lMlMMMPuuDu2222. 245. 011111MPM第一個塑性鉸出現(xiàn)在截面D。(圖c)第53頁/共179頁 2M（2）第二階段計算把截面D改為鉸結點，P=1，作出新的單位彎矩圖（圖a- 圖）在各控制截面中以截面E的比值為最小，12min2()1 0.77780.64520.

11、3444uuuMMPMMlMl第54頁/共179頁這個比值就是第二階段的荷載增量，即lMPu3444. 02彎矩增量為222MPM荷載和彎矩的累加值分別為：lMuPPP5666. 2212212MMM第二個塑性鉸在截面E出現(xiàn)(圖c)第55頁/共179頁（3）第三階段計算除截面D外，再把截面E改為鉸結點，P=1，作出新的單位彎矩圖（ 圖a- 圖）3M求各控制截面的比值32MMMu其中以截面A的比值為最小lMlMMMMMPuuuAu4778. 05222. 0323第56頁/共179頁P3作用下的彎矩增量為333MPM荷載和彎矩的累加值分別為lMPPPu0444. 3323323MMM第三個塑性鉸

12、在截面A處出現(xiàn)(圖c)第57頁/共179頁4M （4）第四階段計算再把截面A改為鉸結點，P=1，新的單位彎矩圖（ )求各控制截面的比值43MMMu其中以截面C的比值為最小3441.51.04440.4556uCuuuMMPMMMMllM4 = M4P4（圖b）第58頁/共179頁u3.5uMPl （5）極限狀態(tài)除D、E、A處，再把截面C改為鉸結點，剛架已變?yōu)闄C構，處于極限狀態(tài)M4，于是P4就是極限荷載，即荷載和彎矩的累加值分別為lMPPPu5 . 3434434MMM第四個塑性鉸在截面C處出現(xiàn)。第59頁/共179頁 使用SMSolver計算Mi圖 VB程序設計變剛度法第60頁/共179頁131

13、 概述概述 結構設計 強度驗算：最基本的和必不可少的 穩(wěn)定驗算：在某些情況下顯得重要薄壁結構高層建筑：剪力墻、筒中筒結構高強度材料結構鋼結構：鋼框架、大跨屋架、橋梁受壓比較容易喪失穩(wěn)定 結構穩(wěn)定計算： 小撓度理論方法簡單，結論基本正確。 大撓度理論結論精確，方法復雜。第61頁/共179頁 結構失穩(wěn)： 原始的平衡狀態(tài)，隨荷載增大，喪失其穩(wěn)定性 （由穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡狀態(tài)） 兩類穩(wěn)定問題兩種基本形式： 第一類穩(wěn)定問題分支點失穩(wěn) 第二類穩(wěn)定問題極值點失穩(wěn)。第62頁/共179頁 結構的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性 （以直桿受壓為例） 設結構： 原來處于某個平衡狀態(tài)， 受到輕微干擾 而稍微偏離其原來位置； 干擾消失后

14、： 穩(wěn)定平衡狀態(tài) 恢復平衡位置： 直線平衡形式，只受壓力 不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 繼續(xù)偏離，不能回到原來位置；彎曲平衡形式，受壓、彎 中性平衡狀態(tài)（隨遇平衡） 由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的 中間狀態(tài)。PPPcrP第63頁/共179頁 1分支點失穩(wěn)（第一類穩(wěn)定問題）以簡支壓桿為例。（圖a）完善體系（理想體系）:桿軸理想直線荷載理想中心受壓荷載（無偏心）微小干擾發(fā)生彎曲（圖b） 隨壓力P增大，考查F與中點撓度之間的關系曲線F-曲線（平衡路徑）（圖c）：OAFFcr，0，直線平衡A點FFcr，直線平衡 彎曲平衡（力不增加，位移可以增加）第64頁/共179頁 直線形式的平衡狀態(tài) 穩(wěn)定： 單純受壓，無彎曲 原始

15、平衡狀態(tài)： 路徑I原始平衡路徑： 曲線由直線OA表示。 （受到干擾，偏離平衡位置； 干擾消失，恢復平衡位置） 原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。 （唯一的平衡形式）；22crEIFFl（歐拉臨界值）第65頁/共179頁F2 Fcr ：兩種不同形式的平衡狀態(tài)：直線形式路徑I （AD段）彎曲形式路徑II（AC段：大撓度理論）（AB段：小撓度理論）點D 對應的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的：受到干擾而彎曲，干擾消失，繼續(xù)彎曲（偏離）直到CD第66頁/共179頁分支點：兩條平衡路徑和的交點A分支點失穩(wěn)：平衡形式的二重性：OA穩(wěn)定平衡AD不穩(wěn)定平衡 穩(wěn)定性的轉變。分支點A對應的荷載臨界荷載對應平衡狀態(tài)臨界狀態(tài)。結構分支點失穩(wěn)特

16、征：分支點 F Fcr原始平衡形式由穩(wěn)定轉為不穩(wěn)定，并出現(xiàn)新的平衡形式。DI（穩(wěn)定）I（不穩(wěn)定）II第67頁/共179頁 喪失第一類穩(wěn)定的現(xiàn)象可在其他結構中發(fā)生。 圖示承受荷載的結構： a所示承受均布水壓力的圓環(huán)：園非園 b承受均布荷載的拋物線拱 c剛架：軸向受壓壓縮和彎曲 d懸臂工字梁：平面彎曲斜彎曲和扭轉第68頁/共179頁喪失第一類穩(wěn)定性的特征：結構的平衡形式即內力和變形狀態(tài)發(fā)生質的突變：原有平衡形式成為不穩(wěn)定，同時出現(xiàn)新的有質的區(qū)別的平衡形式。第69頁/共179頁2極值點失穩(wěn)（第二類穩(wěn)定問題）以簡支壓桿為例（圖133）非完善體系（圖a） ：具有初曲率承受偏心荷載加載處于受壓和彎曲平衡狀

17、態(tài)F曲線（圖b）小撓度理論（- - - -）F Fe(歐拉臨界值)撓度 大撓度理論（-）F Fcr（極值點A）極值點后荷載下降不穩(wěn)定 Pe第70頁/共179頁大撓度理論：F 0Y” 0 xy第85頁/共179頁通解：ycossin()SFAnxBnxlxF已知邊界條件：x 0，y 0 ， y 0，x l，y 0代入通解，可得關于A、B、FS/F 的齊次方程：00cossin0SSFAlFFBnFAnlBnl零解原始直線平衡形式非零解新的平衡形式系數(shù)行列式應等于零第86頁/共179頁10010cossin0lnnlnltgnlnl特征方程：D0y1 nl 和 y2 tgnl 的函數(shù)圖線，其交點橫

18、坐標即為方程的根。3/2= 4.71，nl=4.7左右試算法：（表131）特征值：nl 4.493224.49320.19()crFn EIEIEIll第87頁/共179頁133 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定1113EIkl（圖138）剛架 壓桿 彈性支座（圖a） AB壓桿， BC桿對AB桿的 轉動約束作用（圖b）簡化為彈性支座的壓桿（圖c） 轉動剛度：圖138第88頁/共179頁坐標系xy分支點失穩(wěn)新的平衡形式：y1 B端反力矩：111MkA端反力FS：1110,BSMkMFll取截面x，桿段Ax：平衡微分方程：2211()()SMEIyFyF lxFnEIkyn ylxEIl 令:得：FFSM第

19、89頁/共179頁式中三個待定常數(shù)A、B、1 ，由邊界條件確定：x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = 0 通解11cossin()kyAnxBnxlxFl11110(1)0cossin0kAFkBnFlAnlBnl11100(1)0cossin0kFknFlnlnl特征方程：第90頁/共179頁1111221111cossin(1)011()1kknlnlFFlknnlknlnlFtgnlkEI FEIkFllnlk l EIk lFln+彈簧剛度 k1已知可由超越方程求解nl 其最小正根即可求得臨界荷載Fcr 2min222()()crFnllEIEIFnll第9

20、1頁/共179頁211()nltgnlEInlk l特殊情況：k1 0 ，即兩端鉸支，sin0nl k1 ，即一端鉸支，一端固定tgnlnl第92頁/共179頁11122233HMkMkFk一般情況（圖139c）壓桿三個彈性支座坐標系xy分支點失穩(wěn)新的平衡形式y(tǒng)：邊界條件：桿端0 、 1 、2桿端反力：FFH3M1M2FFH3MFM1FH3任取截面x，桿段1x第93頁/共179頁任取截面x，桿段1x：平衡微分方程：31311221131131()1cossin()HMFyFxMEIyFykxkFnEIyn ykkxEIyAnxBnxkkxF 令:得：通解：MFM1FH3第94頁/共179頁式中

21、4個待定常數(shù)A、B、 、 1 ，由邊界條件確定：x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = ; y= -211331cossin()1sincosyAnxBnxkkxFyAnnxBnnxkF 11311133210111cossin1sincosAkFBnkFAnlBnlkk lFFAnnlBnnlkF 5個待定常數(shù)，其中1個為不獨立的，由整體平衡條件可得其它常數(shù)表示第95頁/共179頁11211223223110,0()0()HmMMF lFkkk lFkk lFk3223112233122331132()10()10()11cossin(1)01sincos0kk l

22、FAkFkkk lFBnkFkkk lFAnlBnlk lkFFkAnnlBnnlkF整體：第96頁/共179頁2233232113322321() )01()0111cossin(1)()0sincos0Akk lFFk lFkBnkFkkAnlBnlk lk lFkFFFkAnnlBnnlF223112233122331132()10()10()11cossin(1)01sincos0kk lFAkFkkk lFBnkFkkk lFAnlBnlk lkFFkAnnlBnnlkF第97頁/共179頁22232332111232(1)0()0cossin0sincos0ABAk lkFFk l

23、kkFnkFkkknlnlFknnlnBAnFBl2233232113322321() )01()0111cossin(1)()0sincos0Akk lFFk lFkBnkFkkAnlBnlk lk lFkFFFkAnnlBnnlF第98頁/共179頁322332111310(1)cossin000()sincos1k lkFFknlnlFDkk lkFnFkkkknnlnnlF關于A、B、2的齊次方程非零解：特征方程穩(wěn)定方程:（136）彈性支座壓桿穩(wěn)定方程的一般情形22232332111232(1)0()0cossin0sincos0ABAk lkFFk lkkFnkFkkknlnlFkn

24、nlnBAnFBl第99頁/共179頁（圖138b）一端彈性固定，另一端鉸支。k2 = 0，k3 = （= 0），2 不作為獨立參數(shù)333110100cossin0k lFkk lFnFknlnlk2 = 0322332111310(1)cossin000()sincos1k lkFFknlnlFDkk lkFnFkkkknnlnnlF000第100頁/共179頁整體平衡，k2011211223221111330,0()0HmMMF lFkkk lFkkkk lFFk l333133111333101100010cossin0cossin01limkk lkFFkk lFkknnFkFk lF

25、lnlnlnlnlkFk ll （133）第101頁/共179頁（圖139a）一端彈性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 011112110100cossin0(sin)cos0FnknlnlFnlnnlknknktgnlPn EIk lnl tgnlEI 322332111310(1)cossin000()sincos1k lkFFknlnlFDkk lkFnFkkkknnlnnlF第102頁/共179頁（圖139a）一端彈性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 011112110100cossin0(sin)cos0FnknlnlFnlnnlknknktgnlPn EIk l

26、nl tgnlEI （134）第103頁/共179頁333333333310100cossin0sincos(1)0()k lFknFnlnlkk lnlnnlFFnFk nlnFtgnlnlkkEI nltgnlnlk l（圖139b）一端固定，另一端側向彈性約束。k2 = 0，k1 = 322332111310(1)cossin000()sincos1k lkFFknlnlFDkk lkFnFkkkknnlnnlF第104頁/共179頁333333333310100cossin0sincos(1)0()k lFknFnlnlkk lnlnnlFFnFk nlnFtgnlnlkkEI nlt

27、gnlnlk l（圖139b）一端固定，另一端側向彈性約束。k2 = 0，k1 = （135）第105頁/共179頁【例132】 （圖1310） 對稱剛架對稱荷載（圖a）失穩(wěn)形式正對稱（圖b） 反對稱（圖c）第106頁/共179頁22122222211()1()43.83()3.8314.67crnlnltgnlEInlnlk lnlEIFn EInllEIEIll試算法：最小正根，故正對稱取半跨（圖d）彈性轉動約束： k1 2i1 22EI/l 4EI/l由式（133）2i1第107頁/共179頁1222222121.45()1.452.10crk lnltgnlEInlEIFn EInll

28、EIEIll試算法：最小正根，故反對稱取半跨（圖e） 與（圖139a）相同 （水平位移無約束）彈性轉動約束： k1 32i1 322EI/l 12EI/l由式（154）第108頁/共179頁 與典型壓桿形式相比：正對稱失穩(wěn)比兩端簡支增加彈性約束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2 （9.87）反對稱失穩(wěn)比一端固定，一端自由減少約束Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（2.47）所以結構必以反對稱形式失穩(wěn)。第109頁/共179頁13-4 用能量法確定臨界荷載用能量法確定臨界荷載 基本方法有兩類： 根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的方法，稱為靜力法； 根據(jù)臨界狀態(tài)的能量

29、特征而提出的方法，稱為能量法。 靜力法問題：微分方程具有變系數(shù)，不能積分為有限形式邊界條件較復雜，微分方程為髙階行列式不易展開和求解 能量法較為簡便結構失穩(wěn)時平衡的二重性為依據(jù)應用能量形式表示平衡條件確定臨界荷載。第110頁/共179頁勢能駐值條件用位移表示的平衡方程在分支點失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值，且位移有非零解。勢能是位移y1的二次式，其關系曲線是拋物線。（圖）F Fcr ，勢能是負定的。原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。F= Fcr ，體系處于中性平衡狀態(tài)，即臨界狀態(tài)荷載即臨界荷載臨界狀態(tài)的能量特征還可表述為：在荷載達到臨界值的前后，勢能由正定過渡到非正定。對于單自由度體

30、系，則由正定過渡到負定。EPy1PEPE第111頁/共179頁勢能駐值原理能量形式表示的平衡條件：對于彈性結構，在滿足支承條件和位移連續(xù)條件的一切虛位移中，同時又滿足平衡條件的位移（即真實位移），使結構的勢能為駐值。即結構勢能的一階變分對于零EP0結構勢能 結構應變能 外力勢能 EP = VE + V應變能 EP = ky2i（按材料力學公式計算）外力勢能 V = Fii（外力虛功的負值）第112頁/共179頁有限自由度結構12(,)00(1,2, )nPP a aaPPiiiPiEEEEaaaEina為任意的一組關于ai的齊次方程組，要使ai不全為零，則方程組的系數(shù)行列式應等于零穩(wěn)定方程臨界

31、荷載結構的勢能勢能駐值原理第113頁/共179頁【例133】 單自由體系(圖a) 失穩(wěn)時微小偏移（圖b）122212122211222221(1)1(1)22(1 cos )2sin212( )()222yllylllyyllllllyllll 或： 彈簧應變能為21111122EVkyyky荷載勢能為212yVFFl 為桿端豎向位移第114頁/共179頁體系的勢能為2221111122200PEPcryklFEVVkyFylldEklFydylklFFkly10，臨界荷載第115頁/共179頁【例134】（圖1312a）具有兩個變形自由度的體系。能量法222211() 2yyyl 彈性支座應

32、變能2212()2EkVyy荷載勢能22221)2FVFyyyl +（-在圖b中，1點的豎直位移為結構勢能 EPVEVPE第116頁/共179頁結構勢能222212221221122()()221()2(2 )2PEkFEVVyyyyylklF yFy yklF yl應用勢能駐值條件：1211221()01(2 )0PPEklF yFyylEFyklF yyl第117頁/共179頁得勢能駐值條件的解包括全零解和非零解。求非零解，建立特征方程()0(2 )klFFFklF展開式得223()0Fklkl解得兩個特征值：2.618350.3822klFklkl最小的特征值叫做臨界荷載，即0.382c

33、rFkl第118頁/共179頁無限自由度結構勢能22200011()1222lllEMEIyVdxdxEIy dxEIEI應變能：荷載作用點下降取微段ds與投影dx之差dxyydxydxdxydxdxds222122)(21 1)(211 1)(1()(1積分ldxy02)(21外力勢能：VF 第119頁/共179頁外力勢能20()2lFVFydx 結構勢能22001()()22llPEFEVVEI ydxydx其中撓曲線函數(shù) y 未知無限多獨立參數(shù)。結構勢能為撓曲線函數(shù)y的函數(shù)泛函求極值問題變分法問題瑞利李茲法近似為有限多自由度2012lEVEIy dx應變能第120頁/共179頁瑞利李茲法

34、：假設撓曲線為有限個已知函數(shù)的線性組合niiixay1)( i(x)滿足位移邊界條件的已知函數(shù)表132（p34）ai任意參數(shù)，共n個原體系被近似地看作有n個自由度的體系。求解Fcr 為近似解（按有限自由度求解）* Fcr Fcr (精確解)（p34）因為所假設的撓曲線與真實的曲線不同，故相當于加入了某些約束，從而增大了壓桿抵抗失穩(wěn)的能力 第121頁/共179頁彎曲應變能2200111( )( )22nllEiiiVEI ydxEIaxdx再求與F相應的位移（壓桿頂點的豎向位移）。為此，先取微段AB進行分析。2211( )22iidydxadx 荷載勢能2011( )2nliiiVFFaxdx

35、體系勢能22001111( )( )22nnllPEiiiiiiEVVEIaxdxFaxdx勢能駐值條件0PE即0PiEa（i1,2, . n）第122頁/共179頁sinxyal【例135】 圖示兩端簡支的中心受壓柱，試用能量法求其臨界荷載。簡支壓桿的位移邊界條件為： 當x=0 和x=l 時，y=0（1）假設撓曲線為正弦曲線：滿足壓桿兩端的邊界條件應變能及外力勢能 :2242222001a( )sin224llEEIxEIVEI ydxdxalll222200(y )(cos)224llFFaxVdxdxFalll 第123頁/共179頁結構勢能：422E3423V()44()022PPEI

36、EVF alldEEIF adall423220:022craEIFllEIFl與靜力法的精確解相同，所設撓曲線即是真實撓曲線。第124頁/共179頁 （2）假設撓曲線為拋物線21)(4lxlxay212crEIFl（3）取跨中橫向集中力FS作用下的撓曲線作為變形形式233334()()(0)16122SFl xxxxlyaxEIll210crEIFl誤差為0.01（4）討論：假設撓曲線臨界荷載值 拋物線誤差為21.6%。 跨中橫向集中力作用下的撓曲線誤差為1.3%， 正弦曲線，失穩(wěn)真實變形曲線臨界荷載是精確解誤差為21.6第125頁/共179頁【例136】 試求圖137所示壓桿的臨界荷載坐標

37、系如圖，兩端位移邊界條件為當x=0時，y=0，y=0當x=l時，y=0假設變形曲線為取表132中第四種相應位移條件的多項式級數(shù)前兩項：231222312212()()(23)(33)(26 )(69)ya x lxa x lxyalxxalxxyalxalxx第126頁/共179頁20203245211225267211221( )2()224(48)25223()2 151035lElPEVEI ydxFVydxEVVEIl al a al aFl al a al a 第127頁/共179頁3546121465712221(4)(4)015101243(4)()010535PPEEIll F

38、 aEIll F aaEEIll F aEIll F aa23232144151001243410535EIl FEIll FEIl FEIll Fa1、a2不全為零：第128頁/共179頁2222221282240()0.6%crEIEIFFllEIFlEIl最小根即為臨界荷載：20.92與精確解20.19比較，大3第129頁/共179頁【例137】 圖示等截面柱，下端固定、上端自由，試求在均勻豎向荷載作用下的臨界荷載值qcr均布荷載q，需要另行計算外力勢能：微段ds轉角y，產(chǎn)生豎向位移：2211 ()()2dsdxdxydxydx微段以上荷載FS=q（l-x）在此位移上做功 FSd21()

39、()2q lxydx所有荷載所作之功為沿桿長積分：22001()()()()22llqVq lxydxlxydx dsd第130頁/共179頁坐標系如圖兩端位移邊界條件為當x=0時， y=0y=0根據(jù)上述位移邊界條件，假設變形曲線為取表132中相應位移條件的三角級數(shù)（a）的兩項：121222123(1 cos)(1 cos)2233sinsin222233() cos() cos2222xxyaallxxyaallllxxyaallll第131頁/共179頁積分求應變能與外力勢能：4422212302222211220442222221211223424211233181( )()264644

40、394()()()232432814394()()64643243243819()(6432464lElPEEIVEI ydxaalqVlx ydxqaa aaEVVEIaaqaa aalEIEIqaqa aqll 2224)32a第132頁/共179頁42123142123243()03216438194()043216PPEEIqaqaalEEIqaqaal 42342343()32164038194()43216EIqqlEIqql第133頁/共179頁22333331.382413106.5915750.5576()0106.591584.92012 1.3824140.01%crEI

41、EIqqllEIqlEIqlEIl最小根即為臨界荷載：7.838精確解7.837，誤差僅第134頁/共179頁135 變截面壓桿的穩(wěn)定 兩種變截面壓桿：階梯形、截面慣性矩按冪函數(shù)變化 1階梯型直桿（圖1316a）上下兩部分剛度為：EI1 、EI2壓桿失穩(wěn)時上下兩部分的位移為：y1 、y2平衡微分方程：111222()()EI yFyEI yFy 第135頁/共179頁111222()()EI yFyEI yFy 1111222211112222FFyyEIEIFFyyEIEIyn ynyn yn第136頁/共179頁通解：11111222221212cossincossin,yAn xBn x

42、yAn xBn xFFnnEIEI式中：有五個未知常數(shù)：A1、B1、A2、B2、已知邊界及連續(xù)條件：221212120,00,xyyxl yxlyyyy 第137頁/共179頁代入通解可得：222211111211 211 222 222 221 11 21 11 2222 2222 20,00,0,cossin,cossincossin,sincossincosxyAxyBxl yAnlBnlxlAnlBnlAn lBn lxlAnnlBnnlA nn lB nn l 得方程：22111111 211 22 21 11 21 11 222 20cossin0cossincos0sincoss

43、in0ABAnlBnlAnlBnln lAnnlB nnlnn l 第138頁/共179頁穩(wěn)定方程：展開：D111 21 22 211 211 222 2cossin0cossincos0sincossinnlnlDnlnln lnnlnnlnn l111111 211 22 21 11 21 11 222 2cossin0cossincos0sincossin0AnlBnlAnlBnln lAnnlB nnlnn l1 22 21 22 21111 222 211 222 2sincoscoscoscossin0cossinsinsinnln lnln lnlnlnnlnn lnnlnn l

44、-取后三個方程：（A2由確定）第139頁/共179頁1 22 21 22 21111 222 211 222 2sincoscoscoscossin0cossinsinsinnln lnln lnlnlnnlnn lnnlnn l-121 22 211 22 2121 22 211 22 222 21 211 2112 211 211 222 21212 21cossinsincoscossincossinsincossin(sincoscossin)cos(coscossinsinsinsin()coscos(nl nnln lnnln lnl nnln lnnln lnn lnlnlnln

45、lnn lnlnlnlnlnn ln llnn ln（-）-（）=0+）=0222 21 11211 12 2221 1)0sinsincoscotant0asnnnllnn lnlnlnnlnlln（1319）該式只有已知比值I1/I2、l1/l2才能求解。第140頁/共179頁對于柱頂、截面突變處作用F1 、F2 的情形，類似推導可得穩(wěn)定方程：1111122112222()()()EI yFyEI yFyFy 1121 12 221tantannFFnln lnF（1320）1121212,FFFnnEIEI上式只有已知比值111222IlFIlF、 和才能求解。第141頁/共179頁11

46、112112121,521.5FnEIFFFFnnEIEI【例】(圖1317)1 112 211 11111 11 11121 12,233523lnlnln lnnlnFFtgnl tgnlnFtg nl最小根為：1 13nl臨界荷載:2222111111 12221()()3(2 /3)4crEIEIEIFn EInllll第142頁/共179頁能量法解：22222222242242024243110(1 cos)2sin221() sin()(1 cos)2222() cos,221() cos()(1 cos)22221()21311()(1 cos)()(1 c222222llxya

47、lxyallxxyaallllxyallxxyaallllUEI ydxxEI adxEI alll ，32431034214421442144213os)11 3()(1 cos)(1 cos)222 23 (sin0)()(0sin)642 33333 323642432736464736464lllllxdxlxxa EIdxdxlllEIllllallEIllllalEIllalEIal311020232441()2111()(1 cos)()(1 cos)2222232lllPlEIEIEEI ydxxxadxadxllll第143頁/共179頁2424311032431034214

48、42141311()(1 cos)()(1 cos)22222211 3()(1 cos)(1 cos)222 23 (sin0)()(0sin)642 33333 32364243lllPlllxxEEI adxEI adxllllxxa EIdxdxlllEIllllallEIlllal421442132736464736464lEIllalEIal第144頁/共179頁222222222222303223032223031() sin()(1 cos)2222()()22611()(1 cos)()(1 cos)2222221()6(1 cos)(1 cos)2 226(2 836lll

49、llllllxxyaallllVydxydxFxFxadxadxllllFxxadxFdxlllFlFla 22222222(sin0)()(0sin)33363 3232 833285 3()2 83285 3()1632llllFllllalFllala Fl 第145頁/共179頁4221342134143132222127385 3()646416327385 32 ()06464163273286 31664646485 36460 31632143 349.1785824.28471615 3PEPcrEVVEIaFlldEEIaFdallEIEIllFllEIl22112.498

50、38crEIlEIFl211222.46744crEIEIFll誤差1.25%第146頁/共179頁1( )mxxIIa2.截面慣性矩按冪函數(shù)變化（圖）12121ln(/)()1mmIIalIIalae式中：若已知比值I2/I1及m，可由上式確定a對于不同m值，有不同形狀的桿件。m=2、4為兩種很有實用價值的情況：第147頁/共179頁1、m4（圖b）：具有直線外形的圓形或正方形實心壓桿2、m2（圖c）：具有直線外形的由4個截面不變的角鋼組成的組合壓桿（略去角鋼對本身形心軸的慣性矩）221114214212422114221122122211()(),()6(4,()1212,()()2()m

51、mIhmIhIhIhIhaalIIIaaddbbhbbaIa AamIh434d圓形：I=方形：I=4，第148頁/共179頁4211212142ln(/)ln(/)21111hhhhlllaheeh簡化為：對于（圖d）所示下端固定上端自由的壓桿，m2，微分方程：21212( )0EIyFyxEIyFyaEIx yFya 第149頁/共179頁變系數(shù)微分方程，令tlnx，可變常系數(shù)方程:2222222221111()( )()11111ln1()1(lln ,)ndydy dtdydxdt dxx dtd yddyddyddydxdx x dtdx xdtx dx dtdyddy dtdyd

52、yxdtx dt dt dxxdttxaadxdtxdtxd ydyxxdtdtx 22222121221(0)0EId ydyxFd ydyFaydtdyaxdtdtEIt第150頁/共179頁21222141()04FaEId ydykydtdt2令k22210d ydyFaydtdtEI解可寫為：1122()()ik tik tyA eB e（1325）第151頁/共179頁設解：1122()()ik tik tyA eB e1122112211221122()()222111444()()11222()()2211222()()221144()()()()()()()()()ik ti

53、k tik tik tik tik tik tik tkyA keB kedyAik eBik edtd yAikeBikedtAikkeBikke 滿足方程。2221()04d ydykydtdt第152頁/共179頁歐拉公式：()(cossin)()iiiiA eB eeA eB eeABAABBAB i其中：代入：11()ln()ln221lnlnln21212()( ) (cos lnsinln)(cos lnsinln)xxikikaaxxxikikaaayA eB eeA eB exxxAkBkaaaxxxAkBkaalnxta1122()()ik tik tyA eB e第153

54、頁/共179頁邊界條件：,cos( ln1)sin( ln1)0,0 xa ya AkBkA12112212()12(sinln)11(sinlncos ln)2,01()( sinlncos ln)021sinlncos ln02tan( ln)2tan(2 ln()2(2 ln )2x a ldxyx BkdxaxxBxkxkkaaxxal yalalyB alkkkaaalalkkkaaalkkaakkaltgkkaal ）第154頁/共179頁12112212()12(sinln)11(sinlncos ln)2,01()( sinlncos ln)021sinlncos ln02ta

55、n( ln)2tan(2 ln()2(2 ln )2x a ldxyx BkdxaxxBxkxkkaaxxal yalalyB alkkkaaalalkkkaaalkkaakkaltgkkaal ）若已知，可解k 最小值，進而求得臨界荷載 Fcr 。第155頁/共179頁m4，微分方程：410EIyFyxEIyFya （ ）421220(cossin)FaEIx yyyx ABxx令第156頁/共179頁邊界條件：2(),0( cossin)0( cossin)()( sincos)(cossin)(sincos),0(cossin)(sincos)0a lxa yya ABaayABxABx

56、xxxxABxxxxxxxal yyABalalalalalal第157頁/共179頁A、B不全為零，穩(wěn)定方程：cossin0(cossin)(sincos)0cossin0cossinsincosABaaABalalalalalalaaDalalalalalal第158頁/共179頁sin(cossin)cos(sincos)0tan(1tan)(tan)0tantantantan0(1tan)tantantan(13 31t)1aant naalalalaalalalaalalalalaalaalalalalaalalaalaalala第159頁/共179頁還可以表示為：sin(cossi

57、n)cos(sincos)0( sincoscostan()sin)( sinsincoscos)0sin()cos()0aalalalaalalalaalaalalaalla alalaalalaalala 第160頁/共179頁136 剪力對臨界荷載的影響剪力對臨界荷載的影響222222MSSMyyyd yd yd ydxdxdx建立撓曲線微分方程，同時考慮彎矩和剪力對變形的影響彎矩引起的曲率：22Md yMdxEI計算剪力引起的附加曲率：22Sd ydx第161頁/共179頁先求剪力引起的桿軸切線的附加轉角Sdydx第7章（p111）SFkGA222211SSSdyFdMkkdxGAGA dxd yd MkdxGA dx 代入（a）式：22221d yMd MkdxEIGA dx(1332)第162頁/共179頁（圖319）所示，有：M = FyM = Fy22(1)0(1)0FkFyyyEIGAkFEIyFyGAFmkFEIGAym y 令：第163頁/共179頁通解：cossinyAmxBmx邊界條件：0,cos0sin000,sin0sin0 xyABAxl yBmlABml 、 不能全為零第164頁/共179頁其最小正根為：2 2222 2222222222222(1)(1)(1)()11emlFm llkFEIGAkFkFlm l EIEIFG