2022-2023學年江蘇省常州市金壇區(qū)金沙高級中學高二下學期5月教學質量檢測數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市金壇區(qū)金沙高級中學2022-2023學年高二下學期5月教學質量檢測數學試題一、單選題1.若復數z滿足，則復數z的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，得，所以，則復數的虛部為．故選：．2.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，所以；若，則，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3.某人將斐波那契數列的前6項“1，1，2，3，5，8”進行排列設置數字密碼，其中兩個“1”必須相鄰，則可以設置的不同數字密碼有（）A.120種 B.240種 C.360種 D.480種〖答案〗A〖解析〗將兩個1捆綁在一起，則可以設置的不同數字密碼有種.故選：A.4.在中，是線段上一點，滿足是線段的中點，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是線段上一點，滿足，所以，又是線段的中點，所以，所以，所以，故，故選：B.5.已知多項式，則（）A.11 B.74 C.86 D.〖答案〗B〖解析〗對于，其展開通項公式為，令，得，故，對于，其展開通項公式為，令，得，故，所以.故選：B.6.已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個內接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側面積的比值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓錐的高為，如圖，由可得：，∴，∴,圓柱側面積，圓錐側面積，.故選：D．7.北京冬奧會奧運村有智能餐廳和人工餐廳各一個，某運動員連續(xù)兩天均在奧運村用餐且每一天均在同一個餐廳用餐．他第一天等可能地隨機選擇其中一個餐廳用餐．若他第一天去智能餐廳，那么第二天去智能餐廳的概率為0.7；如果他第一天去人工餐廳，那么第二天去人工餐廳的概率為0.2．則該運動員第二天去智能餐廳用餐的概率為（）A.0.45 B.0.14 C.0.75 D.0.8〖答案〗C〖解析〗設“第1天去智能餐廳用餐”，“第1天去人工餐廳用餐”，“第2天去智能餐廳用餐”，則，且與互斥，根據題意得：，，，由全概率公式得，故選：C．8.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，點P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點，則的最小值是（）．A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗過點作直線的垂線，垂足為點，，如圖，由平面向量數量積的幾何意義可知，等于的模與在方向上的投影的乘積，當點在線段上時，在方向上的投影取最小值，此時，，，，故的最小值為.故選：B.二、多選題9.已知向量，下列結論中正確的是（）A.若//，則B.若，則與的夾角的余弦值為C.當時，在上的投影向量為D.當時，與的夾角為銳角〖答案〗BC〖解析〗對于A：若//，則，解得，故A錯誤；對于B、C：若，則，可得，所以與的夾角的余弦值為，故B正確；所以在上的投影向量為，故C正確；對于D：與的夾角為銳角，等價于，解得且，故D錯誤；故選：BC.10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（

）A.若丙在甲、乙的中間（可不相鄰）排隊，則不同的排法有20種B.若五位同學排隊甲不在最左端，乙不在最右端，則不同的排法共有78種C.若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且甲、丙不能相鄰，則不同的排法有36種D.若甲、乙、丙、丁、戊五位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每位同學只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一位同學，則不同的分配方案有150種〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：可知有三種可能：甲、乙之間只有一位同學，則不同的排法有種；甲、乙之間有兩位同學，則不同的排法有種；甲、乙之間有三位同學，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故A錯誤；對于選項B：可知有四種可能：甲在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故B正確；對于選項C：若甲、乙相鄰，則不同的排法有種；若甲、乙必須相鄰且甲、丙相鄰，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故C正確；對于選項D：若每位同學只去一個社區(qū)，則不同的排法有種；若有小區(qū)沒有人去，則有兩種可能：所有人去了一個小區(qū)，則不同的排法有種；所有人去了兩個小區(qū)，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故D正確；故選：BCD.11.下列結論正確的有（）A.若隨機變量，滿足，，則B.若樣本數據（i=1，2，3，…，n）線性相關，則用最小二乘法估計得到的經驗回歸直線經過該組數據的中心點C.若隨機變量，且P（ξ<6）=0.84，則P（3<ξ<6）=0.34D.若根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到的值越小，則X與Y相關性越強〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，則，所以若，則，故錯誤；對于B，若樣本數據線性相關，則用最小二乘估計得到的經驗回歸直線經過該組數據的中心點，正確；對于C，若隨機變量，且，則，所以，故正確；對于D，若根據分類變量X與Y的成對樣本數據，值越大，則X與Y相關性越強，錯誤.故選：BC.12.如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且，是的中點.沿將翻折，折成三棱錐，在翻折過程中，下列結論正確的是（）A.存在某個位置，使得與所成角為銳角B.棱上總會有一點，使得平面C.當三棱錐的體積最大時，D.當平面平面時，三棱錐外接球的表面積是〖答案〗BC〖解析〗解：對于A選項，取中點，連接，，因為是等邊三角形，所以，又因為是的中點，所以，因為，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，故錯誤；對于B選項，取中點，連接，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故正確；對于C選項，設到平面的距離為，因為且，所以，所以，故要使三棱錐的體積最大，則最大，所以當的投影在棱上時，最大，且，此時平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，平面，所以，故正確；對于D選項，因為為直角三角形，所以過作，設為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，過點作交于，如圖所示，所以四邊形為矩形，所以，所以在中，，即，在中，，即，進而解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故錯誤.故選：BC.三、填空題13.某工廠月產品的總成本（單位：萬元）與月長量（單位：萬件）有如下一組數據，從散點圖分析可知與線性相關．如果回歸方程是，那么表格中數據的值為______．/萬件1234/萬件3.85.682〖答案〗6.4〖解析〗由題意及表知，，，∵回歸方程是，∴，∴．故〖答案〗為：6.4.14.某校高三共有1200人參加考試，數學成績，不低于60分的同學有960人，估計90分以上同學人數為_____________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以，所以90分以上同學人數為人.故〖答案〗為：.15.在中，，且，若，則________．〖答案〗或〖解析〗因為，所以，又，在中，，則所以，即，所以或．故〖答案〗：或.16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美.圖是由邊長為的正方形和正三角形圍成的一個半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上.則該半正多面體共有________個面，其體積為________.〖答案〗26〖解析〗將圖所示的半正多面體看作上、中、下三個部分，則上部包含個正方形、個正三角形；中部包含個正方形；下部包含個正方形、個正三角形；所以該半正多面體共有個面，如圖所示，因為半正多面體的棱長為1，所以，又為等腰直角三角形，故，所以正方體棱長為，由圖知該圖形是由一個正方體截去12相同的三棱柱和8個相同的小正方體的得到的，其中三棱柱的高1，底面為斜邊為的等腰直角三角形，小正方體的棱長為，大正方體的棱長為，所以所求體積.故〖答案〗為：；.四、解答題17.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角的余弦值.解：（1）由已知可得，；（2）設與的夾角為，又，.18.若復數，為虛數單位，為實數.（1）若為純虛數，求的值；（2）若復數在復平面內對應的點位于第三象限，求的取值范圍.解：（1）由為純虛數得，解得；（2）復數，因為復數位于第三象限，所以，即，解得．故的取值范圍為.19.已知的二項展開式中，所有項的二項式系數之和等于．求：（1）的值；（2）展開式中的常數項；（3）展開式中系數最大的項．解：（1）展開式的二項式系數和為，，解得：n=9.（2）展開式通項為：，令，解得：，則展開式常數項為.（3）設展開式第項的系數最大，則，即，解得：，又，，展開式中系數最大的項為.20.國寶大熊貓“丫丫”的回國路，牽動著十四億中國人的心，由此掀起了熱愛、保護動物的熱潮．某動物保護機構為了調查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關”，從某市市民中隨機抽取200名進行調查，得到部分統(tǒng)計數據如下表：保護動物意識強保護動物意識弱合計男性7030100女性4060100合計11090200（1）根據以上數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為人們保護動物意識的強弱與性別有關？并說明原因；（2）將頻率視為概率，現從該市女性的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中“保護動物意識強”的人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列和數學期望．附：0.100.050.0100.00500012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．解：（1）零假設為：保護動物意識的強弱與性別相互獨立，即保護動物意識的強弱與性別無關，由題意，．所以根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立．即認為保護動物意識的強弱與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.010；（2）由題意可知：在女性的市民中抽到1人“保護動物意識強”的概率為，所以，X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P．21.如圖，在三棱柱中，.（1）證明：平面；（2）設點D為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，連接，由，所以為等邊三角形因為，所以，所以，又平面，所以平面.（2）解：解法1：如圖，設E為的中點，連結，作于F.因為平面，，所以平面，又平面，所以.在中，，D為的中點，所以，又，所以平面.因為，所以平面，所以，又因為平面，所以平面，所以直線與平面所成角為.在中，，所以，所以.因此，直線與平面所成角的正弦值為.解法2：如圖，以C為原點，以射線分別為x，y軸正半軸，建立空間直角坐標系，則，，因此，.設平面的法向量為，由，得，可取.設直線與平面所成角為，則.因此，直線與平面所成角的正弦值是.22.我國為全面建設社會主義現代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金．該企業(yè)為了解研發(fā)資金的投資額x（單位：百萬元）對年收入的附加額y（單位：百萬元）的影響，對往年研發(fā)資金投資額和年收入的附加額進行研究，得到相關數據如下：投資額234568911年收入的附加額3.64.14.85.46.27.57.99.1（1）求年收入的附加額y與投資額x的線性回歸方程；（2）在（1）的條件下，若投資額為16百萬元，估計年收入的附加額；（3）若年收入的附加額與投資額的比值大于1，則稱對應的投資額為“優(yōu)秀投資額”，現從上面8個投資額中任意取3個，用X表示這3個投資額中“優(yōu)秀投資額”的個數，求X的分布列及數學期望．附：，，．在線性回歸方程中，，．解：（1），，得，又，所以，所以年收入的附加額y與投資額x的線性回歸方程為．（2）由（1）知，所以當時，，所以當投資額為16百萬元時，估計年收入的附加額為12.325百萬元．（3）8個投資額中，“優(yōu)秀投資額”的個數為5，故X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則X的分布列為X0123P故．江蘇省常州市金壇區(qū)金沙高級中學2022-2023學年高二下學期5月教學質量檢測數學試題一、單選題1.若復數z滿足，則復數z的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，得，所以，則復數的虛部為．故選：．2.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，所以；若，則，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3.某人將斐波那契數列的前6項“1，1，2，3，5，8”進行排列設置數字密碼，其中兩個“1”必須相鄰，則可以設置的不同數字密碼有（）A.120種 B.240種 C.360種 D.480種〖答案〗A〖解析〗將兩個1捆綁在一起，則可以設置的不同數字密碼有種.故選：A.4.在中，是線段上一點，滿足是線段的中點，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是線段上一點，滿足，所以，又是線段的中點，所以，所以，所以，故，故選：B.5.已知多項式，則（）A.11 B.74 C.86 D.〖答案〗B〖解析〗對于，其展開通項公式為，令，得，故，對于，其展開通項公式為，令，得，故，所以.故選：B.6.已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個內接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側面積的比值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓錐的高為，如圖，由可得：，∴，∴,圓柱側面積，圓錐側面積，.故選：D．7.北京冬奧會奧運村有智能餐廳和人工餐廳各一個，某運動員連續(xù)兩天均在奧運村用餐且每一天均在同一個餐廳用餐．他第一天等可能地隨機選擇其中一個餐廳用餐．若他第一天去智能餐廳，那么第二天去智能餐廳的概率為0.7；如果他第一天去人工餐廳，那么第二天去人工餐廳的概率為0.2．則該運動員第二天去智能餐廳用餐的概率為（）A.0.45 B.0.14 C.0.75 D.0.8〖答案〗C〖解析〗設“第1天去智能餐廳用餐”，“第1天去人工餐廳用餐”，“第2天去智能餐廳用餐”，則，且與互斥，根據題意得：，，，由全概率公式得，故選：C．8.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，點P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點，則的最小值是（）．A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗過點作直線的垂線，垂足為點，，如圖，由平面向量數量積的幾何意義可知，等于的模與在方向上的投影的乘積，當點在線段上時，在方向上的投影取最小值，此時，，，，故的最小值為.故選：B.二、多選題9.已知向量，下列結論中正確的是（）A.若//，則B.若，則與的夾角的余弦值為C.當時，在上的投影向量為D.當時，與的夾角為銳角〖答案〗BC〖解析〗對于A：若//，則，解得，故A錯誤；對于B、C：若，則，可得，所以與的夾角的余弦值為，故B正確；所以在上的投影向量為，故C正確；對于D：與的夾角為銳角，等價于，解得且，故D錯誤；故選：BC.10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（

）A.若丙在甲、乙的中間（可不相鄰）排隊，則不同的排法有20種B.若五位同學排隊甲不在最左端，乙不在最右端，則不同的排法共有78種C.若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且甲、丙不能相鄰，則不同的排法有36種D.若甲、乙、丙、丁、戊五位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每位同學只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一位同學，則不同的分配方案有150種〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：可知有三種可能：甲、乙之間只有一位同學，則不同的排法有種；甲、乙之間有兩位同學，則不同的排法有種；甲、乙之間有三位同學，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故A錯誤；對于選項B：可知有四種可能：甲在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故B正確；對于選項C：若甲、乙相鄰，則不同的排法有種；若甲、乙必須相鄰且甲、丙相鄰，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故C正確；對于選項D：若每位同學只去一個社區(qū)，則不同的排法有種；若有小區(qū)沒有人去，則有兩種可能：所有人去了一個小區(qū)，則不同的排法有種；所有人去了兩個小區(qū)，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故D正確；故選：BCD.11.下列結論正確的有（）A.若隨機變量，滿足，，則B.若樣本數據（i=1，2，3，…，n）線性相關，則用最小二乘法估計得到的經驗回歸直線經過該組數據的中心點C.若隨機變量，且P（ξ<6）=0.84，則P（3<ξ<6）=0.34D.若根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到的值越小，則X與Y相關性越強〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，則，所以若，則，故錯誤；對于B，若樣本數據線性相關，則用最小二乘估計得到的經驗回歸直線經過該組數據的中心點，正確；對于C，若隨機變量，且，則，所以，故正確；對于D，若根據分類變量X與Y的成對樣本數據，值越大，則X與Y相關性越強，錯誤.故選：BC.12.如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且，是的中點.沿將翻折，折成三棱錐，在翻折過程中，下列結論正確的是（）A.存在某個位置，使得與所成角為銳角B.棱上總會有一點，使得平面C.當三棱錐的體積最大時，D.當平面平面時，三棱錐外接球的表面積是〖答案〗BC〖解析〗解：對于A選項，取中點，連接，，因為是等邊三角形，所以，又因為是的中點，所以，因為，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，故錯誤；對于B選項，取中點，連接，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故正確；對于C選項，設到平面的距離為，因為且，所以，所以，故要使三棱錐的體積最大，則最大，所以當的投影在棱上時，最大，且，此時平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，平面，所以，故正確；對于D選項，因為為直角三角形，所以過作，設為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，過點作交于，如圖所示，所以四邊形為矩形，所以，所以在中，，即，在中，，即，進而解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故錯誤.故選：BC.三、填空題13.某工廠月產品的總成本（單位：萬元）與月長量（單位：萬件）有如下一組數據，從散點圖分析可知與線性相關．如果回歸方程是，那么表格中數據的值為______．/萬件1234/萬件3.85.682〖答案〗6.4〖解析〗由題意及表知，，，∵回歸方程是，∴，∴．故〖答案〗為：6.4.14.某校高三共有1200人參加考試，數學成績，不低于60分的同學有960人，估計90分以上同學人數為_____________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以，所以90分以上同學人數為人.故〖答案〗為：.15.在中，，且，若，則________．〖答案〗或〖解析〗因為，所以，又，在中，，則所以，即，所以或．故〖答案〗：或.16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美.圖是由邊長為的正方形和正三角形圍成的一個半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上.則該半正多面體共有________個面，其體積為________.〖答案〗26〖解析〗將圖所示的半正多面體看作上、中、下三個部分，則上部包含個正方形、個正三角形；中部包含個正方形；下部包含個正方形、個正三角形；所以該半正多面體共有個面，如圖所示，因為半正多面體的棱長為1，所以，又為等腰直角三角形，故，所以正方體棱長為，由圖知該圖形是由一個正方體截去12相同的三棱柱和8個相同的小正方體的得到的，其中三棱柱的高1，底面為斜邊為的等腰直角三角形，小正方體的棱長為，大正方體的棱長為，所以所求體積.故〖答案〗為：；.四、解答題17.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角的余弦值.解：（1）由已知可得，；（2）設與的夾角為，又，.18.若復數，為虛數單位，為實數.（1）若為純虛數，求的值；（2）若復數在復平面內對應的點位于第三象限，求的取值范圍.解：（1）由為純虛數得，解得；（2）復數，因為復數位于第三象限，所以，即，解得．故的取值范圍為.19.已知的二項展開式中，所有項的二項式系數之和等于．求：（1）的值；（2）展開式中的常數項；（3）展開式中系數最大的項．解：（1）展開式的二項式系數和為，，解得：n=9.（2）展開式通項為：，令，解得：，則展開式常數項為.（3）設展開式第項的系數最大，則，即，解得：，又，，展開式中系數最大的項為.20.國寶大熊貓“丫丫”的回國路，牽動著十四億中國人的心，由此掀起了熱愛、保護動物的熱潮．某動物保護機構為了調查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關”，從某市市民中隨機抽取200名進行調查，得到部分統(tǒng)計數據如下表：保護動物意識強保護動物意識弱合計男性7030100女性4060100合計11090200（1）根據以上數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為人們保護動物意識的強弱與性別有關？并說明原因；（2）將頻率視為概率，現從該市女性的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中“保護動物意識強”的人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列和數學期望．附：0.100.050.0100.00500012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．解：（1）零假設為：保護動物意識的強弱與性別相互獨立，即保護動物意識的強弱與性別無關，由題意，．所以根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立．即認為保護動物意識的強弱與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.010；（2）由題意可知：在女性的市民中抽到