理論力學(xué)簡明教程復(fù)習(xí)題題庫(物理專業(yè)用)要點(diǎn)

1、理論力學(xué)復(fù)習(xí)題計(jì)算題題庫第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)M處其速度為v = 4i + 3i，加速度a與速度v夾角p=300,且a=10m/s2。求軌跡在該點(diǎn)密切面內(nèi)的曲率半徑P和切向加速度ayO ¥答：由已知條件V = 41+ 3j-得v=d42 +32 =5m/s法向加速度 an = asin300 = 5m/s22則曲率半徑P = t=5m切向加速度a, = acos300 =8.66m/s2an一點(diǎn)向由靜止開始作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，試證明點(diǎn)的全加速度和切向加速度的夾角a與其經(jīng)過的那段圓弧對應(yīng)的圓心角P之間有如下關(guān)系tan . =2證明：設(shè)點(diǎn)M沿半徑為R的圓作圓周運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻走過

2、的路程為AM=s速度為v,對應(yīng)的2an v tan：二二a圓心角為P。由題設(shè)條件知aTR%dv dva = 一 = v一 = Cbdt dsC為常數(shù) 積分(b)式得jvdv= ja£s所以v2 =2ag-將(c)式代入(a),并考慮s = RP ,所以tana = 2P質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為x=3t(m),y = 2t2(m)求t=1秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)速度、切向加速度、法向加速度的大小解：由于 x=3(mS),y=4t=4(mS)所以有 v=，鏟k = z96=5(mp又：v = 爐再2=、'9+16t2貝U-1at = v = 9 16t2 232t =1 = 3.2 m2n ,S2

3、9 16t2 2x = 0, y =4(mS )a =x'+ y2 = 4(mS)an -a2 -at2 *16 3.22 = 2.4ms點(diǎn)M沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。如果a = -K(K為已知常數(shù))，以初 a始位置為原點(diǎn)，原點(diǎn)初速度為求點(diǎn)的弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程及點(diǎn)的速度減少一半時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間解：設(shè)點(diǎn)的初始位置為Advanv2=a = 一 = 一dtKKR積分上式:dv1KRt0dtv0 v KR依題意RKv0KR v0t則弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程為S”鬲WR#KR當(dāng)丫=回時(shí)t =KR 2v0一質(zhì)點(diǎn)沿圓滾線s=4asin日的弧線運(yùn)動(dòng)，如日為常數(shù)，則其加速度亦為一常數(shù)，試證明之。式中日為圓滾線某

4、點(diǎn)P上的切線與水平線(x軸)所成的角度，S為P點(diǎn)與曲線最低點(diǎn)之間的曲線弧長。解：因 s=4asin 故丫 =生=4a8 cos日=4aco cos日 dt式中口 = .=常量（題設(shè)）v2ds而P =4a cos日Pd1所以an2222 v 16a cos 二4acos9=4a，2 cos?又a = dv = -4a 1 2sin - a dt故a =a 2 + a2 =4ao2 v'sin28+ cos2日=4ao 2 =常數(shù)結(jié)論得證設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線x=2sin4t,y =2cos4t,z = 4t運(yùn)動(dòng),試求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度和軌道的曲率半徑。解：因 x = 2 sin 4t, y =

5、2 cos4t, z = 4t故 x = 8cos4t = 4y, y = -8sin 4t = -4x, z = 4所以 v = . x2y2z2 = 4 x2 , y2 1=4.5又 x = 4y =16x,y = -4x = -16y, z = 0所以 a = .x2 y2 z2 =16 , x2 y2 =32又a 二型二412xx2yy=4 4xy-4xy=0dt2x2y2 1 x2 y2 1所以 an =a =16. x2 , y2 =322而。上an80=2.532小環(huán)的質(zhì)量為mi套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為x2 =4ay ,試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度及

6、小環(huán)在此時(shí)所受到的約束反作用力。解：小環(huán)受力如圖示，重力 mg豎直向下，約束力R的方向沿著拋物線的法線小環(huán)在任意位置P處的運(yùn)動(dòng)微分方程為一 dvm- = mgsin 1 (1)2vm = RP一 mgcos?(2)因dv=dv ds=vdv而tane "曰=_可= _dy(s增大而y減小故為dt ds dt dsdx ds負(fù)值)(1)式變?yōu)?mv-dv = -mg 即 vdv = -gdy(3)ds dsn2積分vdv = -f gdy得 v = y12ag (因 x=2a,y = - = a)此即小環(huán)自x=2a0a4a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度又x2=4ay 則 y, = dy=

7、工，y.=嗎=工 dx 2a dx 2a在拋物線頂點(diǎn)處x=0,y=0,y，=0,y:工2a3所以在拋物線頂點(diǎn)處P=(1+f =2a y“(因在頂點(diǎn)處由(2)式知 R = m二 十 mgcos = mag + mg = 2mg P2a0 =0, cos 9 =1 )小環(huán)在頂點(diǎn)處所受到的約束反作用力為2mg。質(zhì)點(diǎn)所受的力如恒通過一定點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)必在一平面上運(yùn)動(dòng)，試證明之。 證明：取力通過的定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的位矢 F與力F共線，則 有 M =r F =0所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒，即J=CJx =m yz -zy = C1(1)其分量式為 jy =mzx-xz = C2(2)Jz =mxy - yx)

8、=C3(3)由 x M (1) + y M (2) + z M (3)得至lj CiX +C?y +C3Z = 0由解析幾何知識(shí)知上式為一平面方程，故質(zhì)點(diǎn)只能在這個(gè)平面上運(yùn)動(dòng)。一物體質(zhì)量 m=10kg，在變力F =10(1 t)N作用下運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體初速度V0=0.2m/s,開始時(shí)力的方向與速度方向相同。問經(jīng)過多長時(shí)間后物體速度為零，此前走了多少路程？(知識(shí)要點(diǎn))質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題解答：由mdv = F 得fdv = f 10(1 -t)dt積分得dt%0_ 2_ ,、v - -5t 10t 0.2(m/s)st再積分 gds=(5t2+10t+0.2)dt 得S = t3

9、+5t2+0.2t(m)003由 v = 5t2 +10t+0.2 = 0 解得 t=2.02s 再代入前式得 S=7.07 m質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常數(shù)，試證明速度矢量v與加速度矢量a正交。證明：采用自然坐標(biāo)系，由題意知 v=c£ c為常量中日右 dv d , dcdd于ze侶 a=一(c ) = - c二c dtdt dtdtdt又在自然坐標(biāo)系中d.=：；ndtdv d , 、 dc d d所以 a = = (c.)=. c = c = c n dt dt dt dtdt由于w_Ln 故a_Lv得證動(dòng)點(diǎn)M以勻速V =5(m/s)沿軌跡y =1x2運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)x=2m時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的

10、速3度沿x和y分量的大小，以及M的加速度解：由 v2 =x2 y2 =25根據(jù)y =1 x2求導(dǎo)數(shù)得y = xx而x = 2m時(shí)y = ' x(2)333(2)代入(1)得 x2+16x2=25.9整理得 x =3(m/s)代入(2)得 y'=4(m./s)又2 =dv=0 貝 Ua2=a2+an2 =/即2 = % dt3又由數(shù)學(xué)知識(shí)知P =(1：y')2而根據(jù)y=1x2微分得y=2x,y“ = 2yj333x=2m 時(shí) y = 4,y*=233所以有二3(1 y 2)216 325 3(1 -)2(-)29 二 92 -23 3125五=宣2 - 183.2 CL=

11、3.6(m/s2)故a =a =v_ -25_ a an _n ：12518某力場的力矢為 F =(2xy+ z3)i +x2 j+3xz2k其中i,j,k分別為 x,y,z軸的單位矢,試證明該力場是否為保守力場,若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。iF =-二 x 2xy-y2 xk：z3xz2=i | (：(3xz2) _ ：:(x2)二 y二 z. j "2xy：zz3)”3xz2):x-1 ； (x2)：:(2xy z3) I'22-y+ k 1-(-)-(y) =i(0-0)+ j(3z2-3z2)+k(2x-2x) = 0故力場為保守力場Fx:U一 x=2xy z3(1

12、)">2(2)Fz =- * =3xz2(3)；z(1)式積分得：U =-x2y-z3x + f(y,z)(4)對(4)式求偏導(dǎo)數(shù)得：U =_x2 + f(y,z)Lx2即 加(y,z)Lo二 y二 y二 y上式得：f(y,z) = g(z)代入(4)式得：U =-x2y-z3x + g(z)對(5)式求偏導(dǎo)數(shù)得：且= _3xz2+當(dāng)如=_3xz2即封但】=0積分 :zcz: z得：g(z)=c代入(5)式得：U = -x2y - z3x +c 取 x = Q y = 0,U =0 貝c = 0所以勢能函數(shù)為 U =-x2y-z3x某力場的力矢為 Fx =6abz3y _ 20

13、bx3y2 ,Fy =6abxz3 -10bx4y,Fz =18abxyz2試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。kmf=£excyFxFyF =際臣 ycyFz22223333= (18abxz -18abxz )i -18abz y -18abz y j -6abz 140bx y-6abz 40bx y k故力場為保守力場FxFyFz,:U .x :U-y.:U.:z=6abz3 y -20bx3y2=6abxz3 -10bx4y2=18abxyz(3)(1)(2)(1)式積分得：U - -6abz3yx 5bx4y2f(y,z)(4)(4)式求偏導(dǎo)數(shù)得:-

14、6abz3x 10bx4y；:1f (y,z)l-:y-Fy = -6abxz3 10bx4y即8f(y,z)=0上式得：:yf(y,z)=g(z)代入(4 )式得：U = -6abz3 yx 5bx4 y2 g(z)(5)對(5)式求偏導(dǎo)數(shù)得：U 二18abz2xy + * g(z) '= Fz = 18abxyz Fzfz即由切=0積分得：g(z)=c代入(5)式得： ：z 342U - -6abz yx 5bx y c(6)取 x=0,y =0,z=0,U =0 貝|c = 0所以勢能函數(shù)為U =5bx4y2 -6abxyz3Fx =a1x a12y aM已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力為

15、Fy = a21x+ a22 y+ a23zFz =a31x a32y a33z式上系數(shù)aj(i,j=1,2,3)都是常數(shù)，問這些aj滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿足，試計(jì)算其勢能。解：要滿足勢能存在須使力場為保守力場，既力場的旋度為零，所以,1 F =0即玉二 y：Fy一 a12 一- a21二 x=a31千z.:z=a13 =Fx干y于z=a23 = a32z:y即勢能存在a。滿足條件是：a12 = a2ia13 = a31a23 - a32VFx = aiixa12 y ai3z 二 一一(1):xV 田 Fy =a21xa22y a23z 二 一一(2)二 yVFz =a31

16、x a32ya33z = (3)：z1(1)式積分倚 V =1aiix - ai2yx - azx f (y,z)(4)(4)式對y偏微分=(2)式得Nf(y,z)二 一ai2x ；- -a12x - a22y - a23z:y二 y即 f (y, z) - -a22y -a23z(5)：y1 c(5)式積分得 f (y, z) a22y -a23zy g(z)(6)2(6)式代入(4)式得、，1212,、，、V = -aux -a12yx azx 一一 a22y -a23zy g(z)(7)22(7)式對z偏微分=(3)式得V：:g(z)二-a13x 一 a23 y 二 a"x -

17、 a23 y 一 a33z:zcz即冬1 = .(8)-z(8)式積分得 g(z) = -1a33z2 c2(9)式代入(4)式得1V = an x22 a12 yx 一 a13zx122 a22 y -a23zy-a33z 2c(10)取 x =0,y= 0,z=0,V=0貝Uc = 0彳導(dǎo)勢能為、，1V = - -a11x22 -a12yx -a13zx -1a22y2 -a23zy -1a33z221 ,222二-(a11xa22ya33z2a12xy 2a23zy 2a31zx)2某力場的力矢為F = xi yj zk解：由于' r.xFx-yFy.:zFz.y試證明該力場是否

18、為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。故力場為保守力場Fx =:V二x.由tFy.x :V二y-y(2)FzV =z.,Z(3)積分(1)式得Vy偏微分=(2 )式得:V;:f y,zLi.y二 y=-y 積分得f (y,z)=g z 5代(5)入(4)得V =-g z 62積分得gz 一;c(6)式對z偏微分=(3)式得"=如=-z:Z二 z代(7)入(6)得v =取x=Qy =0,z=0,V =0則c=0得勢能函數(shù)為V =有一質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受到的力為F =(x + y)十(xy) j,質(zhì)點(diǎn)在平面上由點(diǎn)A (1,0)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B (1,1 ),求力F所作的功解法

19、1:由功的定義計(jì)算W = F dr = (Fxdx Fydy)= AAB(x y)dx (x- y)dyA又 x = 1, dx = 0所以W = ：A F dr 二八(Fxdx Fydy) = A(x y)dx (x - y)dy =；0(1 - y)dy AAA0/12=(y -2y)解法2:由功的定義計(jì)算Bw= aF dBA(Fxdx Fydy)=A(1,0)(1,1)121(x + y)dx + 11,0) (x-y)dy =(-x - xy)(1,0) * /12(1,0) * (xy -二 y )2(1,1)(1,0)二1B -W = F dr =-ABB(1,1)1 2(Fxdx

20、Fydy) = (x y)dx (x - y)dy d(-x xy -AA(1,0)212、2y )J 21=(2x xy-2y2)(1,1)(1,0)111二(1) 一222解法3:由保守力性質(zhì)計(jì)算故力場F為保守力場:xFx-yFy-ZFz(0 -0)i (0 -0)j (1 -1)k =0.(3)V .x4FyFV=x -y:y:V-=0.:z2積分(1)式得V = -'-xy f y 2(4)式對y偏微分=(2)式得以=_x+山 =_x+y y：y積分得 f ( y ) = 1 y 2 - c j：522代(5)入(4)得V=二十匕xy + c (6)2222取 x=0, y=0

21、,z = 0,V =0 貝J c = 0 得勢能函數(shù)為 V = - 十 xy22則由保守力與功的關(guān)系可知121212121111W =-(V2 -Vi) =Vi -V2 =(-x -y -xy)(,0)-(-x -y - xy)。# =二 -(-1 二 -1)二22222222Fx = x 2y z 5設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力場的力矢為Fy = 2x y zFz = x y z 6求此質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線x =cosB, y =sinH,z =7日運(yùn)行，自8=0至8= 2n時(shí)力場所作的功解：由保守力性質(zhì)計(jì)算故力場F為保守力場FxFyFz_ (1 -1)i (1 -1) j (2 -2)k -0Fx =，F(xiàn)y

22、Fz 二二 V 一2=x 2y z 5.x-V = 2x y z. :y.(1)(3)2積分(1)式得V二一土2xy _xz _5x f y,z iM2(4)式對y偏微分=(2)式得史= -2x+fy)= -2x . y . z：:y2 y積分得 f(y,z)=.；y2 -zy g(z) 522代(5)入(4)得 V =-二一匕2xy - xz 5x - yz 十 g (z) (6)22(6)式對 z 偏微分=(3)式得生=-x-y + °g(z)=-x-y-z + 6 fzfz2積分得 g z = - 6z c 7222代(7)入(6)得 V =-匕- z2 -2xy-xz-5x

23、- yz + 6z+c(6)222取x =Q y =0,z=0,V =0貝Uc=0得勢能函數(shù)為x221V = -z2 -2xy-xz_5x yz 6z222又由 x =cos9, y =sinH,z=7日知當(dāng)日=0 時(shí) x = 1,y = 0,z = 0;2 = 2冗時(shí) x =1, y = 0,z =14冗則由保守力與功的關(guān)系可知W = -(V2 -Vi) =Vi -V2,1 212= (-tx - y22二(-2-5)-12121212-2z -2xyxz5xyz 6z)(1,0,0) 一(-3 x - y - z -2xy xz - 5xyz 6z)(iq,i4二)1 11197(14二)

24、2 14星 5 84二 = - -598二2 14二 5 84蹙=98二 2 70二2 222有一劃平面曲線的點(diǎn)，其速度在y軸上的投影于任何時(shí)刻均為常數(shù) c,(1)式求導(dǎo)得 vdv=x，x' = axdt(因 y = c, y' = 0 ,故 x'= a)3試證明在此情形下，加速度的量值可用下式表示a喙(1)證明1：由v2由此得出dv=ax=a v2-c2y2dt vP 2 dv :;22又a = 7-a 一品(2) = (3)得222、a (v -c )22 v 2 =a -()P整理得a=vc；結(jié)論得證證明2:如圖設(shè)v與y軸夾角為,則由y = c,y=o,故有 a

25、二axi由圖示幾何關(guān)系知a2 v = acos：=P：cos 二又 vy =vcos： =c則有cos:代入（1）c：結(jié)論得證33、船得一初速v0,在運(yùn)動(dòng)中受到水的阻力，阻力的大小與船速的平方成正比，而比例系數(shù)為km,其中m為船的質(zhì)量。問經(jīng)歷多長時(shí)間船速減為其初速的一半。（15分）解：由題意知 阻力為f=kmV則船的運(yùn)動(dòng)方程為m5 = _kmv2即dtdV 一kdtVV0t而t=0時(shí)V=V0設(shè)船經(jīng)歷時(shí)間為t時(shí)，V=H 積分上式得（2Ldv = kidt2vo- 0即 一 R1=一kt0 Vo 一從而得t二工kvo質(zhì)點(diǎn)M在力X =Psincot的作用下沿 X軸作直線運(yùn)動(dòng)，在初瞬時(shí)t=0,v=v&

26、#176;, x=x°。 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解： 由 mV = F = X = Ps i ent積分 J mdv= Psinmtdt, 得V00，PPm(vv0) = -(1 c ost)即 x=v=v0+(1 -coswt) 積分x tpx0 dx = 00v0工m P P(1 -cost) dt 但 x = x0+(V0 + )t -2 sin 6 tm m 已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求其軌跡方程，并自起始位置計(jì)算弧長求出點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.(1) x=4t-2t 2 , y=3t - 1.5t 2(2) x=5cos5t 2 , y=5sin5t 2(3) x=4cos2t, y=3s

27、in2t解(1)由 x=4t-2t 2 , y=3t - 1.5t2 .(1)兩式相除得x = y=j =y 3 -1.5t6 -3t 3(2-t) 3所以軌跡方程為y = 3x是一直線方程4x = 4 -4t =4(1 -t), y = 3 -3t =3(1 -t)(2)寸 x=4.y；3(3)所以速度為 v = . x2y2 = .16(1 1t)29(1 1t)2 =5(1 -t)全加速度為 a = . x2 y2 - . 16 9 = 5而切線加速度為a丁 = dv = 3 ,法線加速度an = Va2-a2 =。 dt由此說明質(zhì)點(diǎn)作勻減速直線運(yùn)動(dòng)。(2)由 x=5cos5t2 , y

28、=5sin5t 2 (1)得軌跡方程為x2+y2=25是一圓的方程，其半徑R=522由(1)式得 x = -50tsin5t2, y =50tcos5t2(2)所以速度為 v =；/x2 - y2 = J2500t 2(sin25t2 cos2 5t2) -50t切線加速度為a/羽=50說明質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng) dt22法線加速度為an =-=空”=500t2n ：5全加速度為 a = Jx2y2 = l2500 250000t4 =50- 1 100t4(3)由 x=4cos2t, y=3sin2t (1)22得軌跡方程為 二十工=1為一橢圓方程169由(1)式得 x = -8sin2t,y

29、：6cos2t.x - T6cos2t,y - -12sin 2t(3)所以速度為v= x2 y2 = 64sin2 2t 36cos22t =2,16sin2 2t 9cos2 2t全加速度為a = x2-y2 =(1 16cos2t)2一(1 12sin2t)2 = 4、16cos22t 9sin2 2t.(4)如圖6 -1所示，半徑為R的車輪在直線軌道上滾動(dòng)而不滑動(dòng)，已知輪心C的速度是常量u ,求輪緣上一點(diǎn)M的軌跡，速度和加速度及軌跡的曲率半徑.圖6-1解 將城與地面的接觸時(shí)的位置作為直角坐標(biāo)系的 原點(diǎn)O ,并建立直角坐標(biāo)系如圖所示，經(jīng)過時(shí)間t, M點(diǎn)的坐標(biāo)為：x = ut - Rsin

30、 (|)y = R - Rcos (|)因輪純滾動(dòng)，線段O D與弧長D M相等,DM ut9 =R R整理后得運(yùn)動(dòng)方程為x = ut - Rsin里Ry = R - cos更 R從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t后，得軌跡方程為：x y2R-y =R arccos " yR.即M點(diǎn)的軌跡為旋輪線（或擺線），速度在X , y軸上的投影、大小utvx = x = u - u cos Rut v = y = usin yR及方向余弦分別為v =,；v2 +vj =2usinut2R Vx utcos： = = sin 2R.*=sin 一 2cos=cosU2R二 cos一2M點(diǎn)的加速度在x , y

31、軸上的投影、大小及方向余弦分別為utax = vx = x sin - R R2.uutay = vy = y = 一cos一 RR22a ax - ayax. ut=sin = sinR=cos ut = cosR即各點(diǎn)加速度指向輪心又 a =/a2 +a2R,an*,而由此可求得：P = 4Rsi畔證明題證明：質(zhì)量為m的質(zhì)量從圓的最高點(diǎn)。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間相同。證明：考慮質(zhì)點(diǎn)在任意一條與過圓心的鉛垂線夾角為的弦上的運(yùn)動(dòng)，則在任意位置的受力如圖所示。沿弦的方向用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方 程得 質(zhì)點(diǎn)加速度a=gcos日，即質(zhì)點(diǎn)作勻加速運(yùn)動(dòng)。考慮到初始條件，不難求得其運(yùn)動(dòng)方程

32、為1.21.2-s = - at = 一gt cos-22又弦長（從圓頂點(diǎn)滑到圓周上的路程）為s = 2r cos 二質(zhì)量為m的質(zhì)量從圓的最高點(diǎn)。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間t 隹 廬巨 "，與g無關(guān),故質(zhì)量為m的質(zhì) .agcosug量從圓的最高點(diǎn) O由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間相同。證畢。重為P的小球位于半徑為r的光滑球面頂點(diǎn)，小球從靜止開始下滑，求小球脫離球面的位置。解：小球運(yùn)動(dòng)過程中受力為重力和支持力，只有重力作功，機(jī)械能守恒。設(shè)球面頂點(diǎn)處為零勢能面由機(jī)械能守恒定律有0 = 1 P v2 -P(r -r cose)2 g故 v2 =2gr(1

33、 -cosu)(1)2小球在法向方向運(yùn)動(dòng)微分方程為 P2=Pcos一 N g r小球脫離球面時(shí)N=0,所以有v2 =grcosu(1)代入(2)式有 gr cos6 =2gr(1 -cos6)整理有 cos - 2 - , - - arccos2 = 4801 1 .3 3又由幾何關(guān)系知cose =Lh = 2(h為自球面頂點(diǎn)起下降高度)得r 3h 二 r3討論：由以上結(jié)論知小球脫離球面位置與小球(質(zhì)量)無關(guān)，當(dāng)球 面不光滑時(shí)與小球(質(zhì)量)有關(guān)。可得到運(yùn)動(dòng)軌道方程是r=acose,此為圓的極坐標(biāo)方程，所以質(zhì)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌道為以a為半徑的圓。第二章質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m,炮身及

34、炮車質(zhì)量和等于M 炮車可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度 « ,炮彈對 炮身的相對速度為V,試求炮彈離炮身時(shí)對地面的速度 v及炮車反沖 的速度U。解：由于在水平方向(x方向)無外力作用，火藥爆炸力為內(nèi)力，故水平方向動(dòng)量守恒即 mvx MU =0(1)又由相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系知 Vcosot +U =Vx,Vsin豆=Vy(2)M .、vx =V cosa八、 /曰 M +m(2)代入(1)得vy =Vsince (3) m -U = -V cosaM + mM、M + m2V2cos2 ：V2(1 -2、cos -)所以V =白2 + Vy = JM I1 V2 cos2 a +

35、V2 sin2 U x y'M +mjm(2M m) 2=V 1 -2 cos 1(4)(M m)2如設(shè)V與水平面夾角為8,則n e=vL= Vs a =Mmn a.Vx MMxo -M m討論：由(4)式知炮車反沖時(shí)v-V ,由(5)式知日標(biāo)口重G的物體A帶動(dòng)單位長度的質(zhì)量為q的軟鏈，以速度心向上拋出, 如圖示。假定軟鏈有足夠的長度，求重物所能達(dá)到的最大高度。解：取OZ軸鉛直向上，O點(diǎn)位于地面。將在空中運(yùn)動(dòng)的鏈條的物體A視為主體。則并入主體的質(zhì)量元(原先靜止于地面)的絕對速度u = 0于是密歇爾斯基方程為d -mz = F 1dt因 m = G + qz,F = (G + qz g(

36、_ k )Z = zk ,代入(1)式得二【G qz z1=G qg g dt用(G +qg dz乘上式兩端得 G +qz)zd «G +qzz】= -g(G + qzf dz已知初始條件為z=0時(shí)，z=% 所以積分上式得1(G +qz f z2 =(G +qz ) +1 G2V02 + G3 當(dāng) z = 0 時(shí)，上升高度 z 正好就是最大值h即h=G 3：H痘 q 小 2Gg23q2 3q-1)某質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程用矢量式可表達(dá)為r=x(t)i +y(t)j +zk ,式中：r為質(zhì)點(diǎn)的矢徑,i,j,k分別為x,y,z的單位矢。試求：(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、動(dòng)量及對坐標(biāo)原點(diǎn)O的動(dòng)量

37、矩。(2)質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)A (a,b,c )的動(dòng)量矩。(3)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力及力的功率。解：(1)動(dòng)能 T = mv2 =1 m(x2 + y2 + z2) 22動(dòng)量 p = mv = m(xi yj zk)動(dòng)量矩 LO 二 m (yz - zy)i (zx - xz) j (xy - yx)k1(4)動(dòng)量矩LA =m' (yb)z(zc)y i (zc)x(x 一 a)z j 用(x 一a)y 一(y 一 b)xk(5)F = ma = mr" = m(xi + yj + zk)功率 P=F .v=F «r =mr «r = m(x x y y z z)一人在

38、水平臺(tái)上走動(dòng)，此臺(tái)可通過其中心的鉛直軸而旋轉(zhuǎn)，人走的軌跡是以平臺(tái)中心為圓心，r為半徑的圓周，假定人重為p,平臺(tái)重也為p,其半徑也為r,試 求當(dāng)人在平臺(tái)上走完一周時(shí)平臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度。解：以作平臺(tái)為質(zhì)點(diǎn)系，受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。假 設(shè)平臺(tái)與轉(zhuǎn)軸接觸面光滑無摩擦，故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)，t = aS = 0在某時(shí)刻人相對于平臺(tái)的速度為u,平臺(tái)的角Gi=r(u+M)方向沿轉(zhuǎn) g速度為則人的絕對速度為v = u+(or人的動(dòng)量矩為:軸方向。平臺(tái)動(dòng)量矩為：G2 =，=-£r2o方向也沿轉(zhuǎn)軸方向2g由動(dòng)量矩守恒定律得：G1 +G2 =_pr(u +cor) +-p

39、r26 =0 二切=一-u又“哼,u琮即d12 dsdt - 3r dtg2g3rd8 = -ds積分得：/d =r-Zds 3r00 3r故上 332、一均質(zhì)木板放在光滑的水平面上，板的一端站著一個(gè)人。在某一時(shí)刻，人以不變的速度u向x軸正向運(yùn)動(dòng)。設(shè)板的質(zhì)量為 m,人的質(zhì)量為m。試求t秒鐘后，人的絕對速度V與位移以及板的絕對速度Vi與位移。解：以人和板為研究對象。系統(tǒng)受力：人的重力 巳板的重力 W光滑的水平面對板的正壓力Fn。以上受力均在豎直方向，所以水平方向受力為零，則動(dòng)量守在初始時(shí)刻t=0 ,人和板都靜止，動(dòng)量Pax=0,任意時(shí)刻t ,設(shè)板的絕對速度V1沿x軸正向，則由點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)可知，人

40、的絕對速度為V=Vi + U。由動(dòng)量守恒定律得：mwi+m(v i+u)=0解此方程得 w=-u負(fù)號(hào)表示板的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正向相反。 m2 mi由此得人的絕對速度為 v=vi+u=u- m2 u= m1 u正號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方 m2 m1m1 m2向與x軸正向相同因u與V都是常量，故人和板的位移分別為Ax = vt= m1 ut0Xi=Vit = - m2 utm m2mi m2設(shè)矢量在笛卡兒坐標(biāo)系中的投影為(x,y,z)，證明div= 3, rotF = 0并求使F = grad ®的函數(shù)*解：(1) divF = V，F(xiàn)=|i + j + k (xi +yj +zk)=x +型+

41、Cz = 3 I ex y zz ,ex ty czr 二 xi yj zk, r 二(3 ) 由r ro=Ct可知?jiǎng)莺瘮?shù)中 必存在，由grad :i j k二xcycz方巾一 =x?x(1)2故J = y 積分(1)式得®=±+f(y,z)為i 42/一 二z z2代（4）入（2）得fydy積分得f=L + g-（5） 2y2 -22代（5）入（4）得* = x+y+ g（z）（6）22代（6）入（3）得史=0 = z積分得g（z）=i + c.（7） ；z ；z2222代（7）入（6）得4 = x +y +z +c222質(zhì)量為mi及m2的兩自由質(zhì)點(diǎn)互相以引力吸引，引力與

42、其質(zhì)量成正比, 與距離的平方成反比，比例常數(shù)為k,開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)皆處于靜止?fàn)顟B(tài),mi其間距離為a,試求兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為j 時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。解法1:用機(jī)械能守恒定律求解令質(zhì)量為舊自由質(zhì)點(diǎn)的速度為Vi ,質(zhì)量為m2的自由質(zhì)點(diǎn)速度為V2 ,則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故V1V2方向相反，取Vi方向?yàn)檎较蛉鐖D示由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，故動(dòng)量守恒有 mW - m2V2 = 0(i)兩質(zhì)點(diǎn)間的相互吸引力為萬有引力是保守力由保守力性質(zhì)得勢能為v = hF.d=-kmim2dr=-kmim2式中r是兩 r2r質(zhì)點(diǎn)間的距離。由機(jī)械能守恒定律- km&=1mivi2 1m2V2 -她迎2 a 22a21 一 2 1

43、 一 2kmm2m1vlm2 v2 = (2)2 2aII解 (1) (2) 式得 v1 m m2 - v2 = m1 -:a(m1 m2): a(m1 m2)解法2:用動(dòng)能定理求解令質(zhì)量為m,自由質(zhì)點(diǎn)的速度為v1 ,質(zhì)量為m2的自由質(zhì)點(diǎn)速度為v2 ,則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故v1v2方向相反，取v1方向?yàn)檎较蛉鐖D示 由 dTjW 得 dgm- 2m2r22) = F dr =一乎 dr積分上式得 Im1v12 1m2v2 = km1m2(1)22a由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，故動(dòng)量守恒有m1v1 - m2v2 = 0解(1) (2) 式得 v1 = m2 J2k-v2 =mj2k:;a(m1 m2)

44、; a(m1 m2)解法3:用兩體問題方法求解由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用可視為兩體問題 由兩體問題運(yùn)動(dòng)方程M空一得.2(1)d r12dv12m1m2 dv12km1m2-=-L - = = F =22dt dtm1 m2 dtr12T7 dv12dv12 dr12dv12乂 二二 v12 dtdr12dtdr121k(1) 工v12dv12 = 一-2" dr12m m2r12a積分 rv”-di 得(2)由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)，原來質(zhì)心靜止，故由miVi m2V2vc =0傳 m1V1 + m2V2 =0(3)mi m2又根據(jù)速度合成方法知V12=V1.V2.解 (2)

45、(3) (4) 式得 v1 =-m2 1 2k V2 =m1 1 2k 二 1 a(m1 m2), a(mi m2)V1為負(fù)值表明與V2方向相反如圖示，一長為l的均質(zhì)鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為 P,某人持鏈條一端以勻速V將其提高，試證：當(dāng)他的手離開水平面的高22、度為x時(shí)(x 7 ),鏈條對手的作用力大小為F = x + Pg < g)解法1:用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解取鏈條整體為研究對象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力P = Plg,拉力F和水平面對靜止的那部分鏈條的支 持力F = -P(l -xg。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得mac = F +PlgP(l xg式中a。為質(zhì)心的力口速度。上式

46、在x軸上的投影式為 mXC = F - P|g+ P(l - x)gx x，Pl -x 02由于鏈條的質(zhì)心坐標(biāo)為xc2 =x：l2l2貝 U 有 xc = v - , xc =22代入投影式得 m v F -：-'lg ：l-xg,mv-=F - ：,xg2 f 2、所以 F = Pxg +m = x + Pg l < g )解法2:用動(dòng)量定理求解取鏈條整體為研究對象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力P=Plg,拉力f和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力 F = _p(i _xg鏈條整體的總動(dòng)量在豎直方向分量為 Px = Pxv + P(l x) o = Pxv整體所受的外力有重力P

47、= Plg ,拉力F和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力F = ： l . xg上式在x軸上的投影式為Fx = F - Pxg由動(dòng)量定理: Fx W -x 二 (：xv) - ：-'dxv - Pv2 = Fx = F - ?xgdtdt 出dtF 二？xg Pv2解法3:用變質(zhì)量問題方法求解如圖示，取已上升部分為主體，其質(zhì)量為m=Px,速度為v,不斷增加部分為變體，dm=Pdx其速度u=0,主體和變體所受合外力為F合二F - ：xg由密歇爾斯基方程d(mv)-udm=F合得 dtdtddx(Pxv) = 5合=F - Pxg即 P v = Pv = F合=F - Pxg故 F = :?

48、xg V圓環(huán)質(zhì)量為M放在光滑水平面上，有一質(zhì)量為 m的小蟲在圓環(huán)上爬行，如圖示，求證：小蟲在圓環(huán)上相對地爬行一周時(shí)，圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角度不超過180 o設(shè)初始時(shí)系統(tǒng)靜止另正解：以小蟲+圓環(huán)為質(zhì)點(diǎn)系，圓環(huán)圓心為參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系受力為重力，方向 均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)，t=0,G0=0在某時(shí)刻小蟲相對于圓環(huán)的速度為 u,圓環(huán)的角速度為切，則小蟲的絕對速度為v = u+cor小蟲的動(dòng)量矩為：Gi=mr(u+or)方向沿轉(zhuǎn)軸方向。圓環(huán)動(dòng)量矩為：G2 = Io=Mr% 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動(dòng)量矩守恒定律得:2-T-UG1 +G2 = mr(u+sr) + Mr 0 =

49、0 有® =-(1 )rm又s哼,u哼即du出1 ds7?jm1d9 = M ds 積分得:(1 M)rm1Mds(1 )rm日=(1 M )m假設(shè)小蟲和圓環(huán)質(zhì)量相等M=m 故=-二=-180°假設(shè) M=2mt 口 =3般 M >m 故0 180。=7200光滑球A與另一靜止的光滑球B發(fā)生斜碰，如兩球均為完全彈性體,且兩球質(zhì)量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。證明：設(shè)兩球質(zhì)量為M ,光滑球A碰前速度矢量為Vi,光滑球B碰前速度矢量為0,A和B碰撞后的速度白速度矢量為vT,v；由于兩球碰撞過程中動(dòng)量守恒有 MVi = Mv!' + Mv2.又兩球?yàn)橥耆?/p>

50、彈性體動(dòng)能守恒有1 MV? = 1 MV? + 1 MV?.222(1)式代入(2)式有“0)2 =V?2+V22整理上式得2V?v2=0,由于Vi¥0,V2¥0所以欲使兩矢量的乘積為零，只有兩矢量互相垂直即立0結(jié)論得證有三個(gè)完全彈性的小球，質(zhì)量分別為m、m2、及m,靜止于一直線上， 今于第一球上加上vi的速度，其方向沿此直線，設(shè)m、m及vi為已知， 求第二球的速度為何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：設(shè)第一、第二球碰撞后第一球的速度為 V；,第二球的速度為v2則由速度公式得vi =vi -1 em2 v1-V2m； m2d mi Vi -V2v2 = v21 emi m2mi Vi -V2 八 c miVi2miVi叫V2 = 0, e = 1 型 V2 = V2 + (1 + e) = 0 + 2 父=mi m2mi m2 mi m2又設(shè)第三、第二球碰撞后第三球的速度為 v3已知v3=0,e = 1則由速度公式得V3 i ema二上班二一4一m2 m3m2 m3 mi m? m? m3欲使第三球的速度最大，須有也=0dm2生:4midm2(m1 m2)(m2 m3) - m2 (m2 m3 m1 m2)22(mi m2) (m2 m3)2mim3 - m2v1 = 4m122 : 0mim2m2m3所以