非線性方程求解PPT課件

1、2.1 化工實(shí)際問題的提出 這是一個(gè)典型的非線性方程。我們?cè)诠苈吩O(shè)計(jì)中經(jīng)常碰到。當(dāng)我們已知雷諾數(shù)Re，如何根據(jù)公式（2-1）求出摩擦系數(shù)，這是我們?cè)诠苈吩O(shè)計(jì)中必須首先解決的問題。對(duì)于方程（2-1）而言，無法用解析的方法求出摩擦系數(shù)，只能用數(shù)值求解的方法。如用在下面即將介紹的松弛迭代法，假設(shè)： 則利用松弛迭代公式可得： 經(jīng)11次迭代可得摩擦系數(shù)為0.07593。 同樣，在n個(gè)組分的等溫閃蒸計(jì)算中，通過物料和相平衡計(jì)算，我們可得到如下非線性方程： 5.0,0,5000, 1.02,105.0 xRedxii , 2 , 1,50007 .181 . 0lg274. 1 (5 . 05 . 0)()

2、1(kxxxkkk0)1(1niiiikkz2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第1頁/共25頁2.1 化工實(shí)際問題的提出 在方程（2-3 ）中只有是未知數(shù)，ki為相平衡常數(shù)，zi為進(jìn)料組分的摩爾濃度，均為已知數(shù)。和上面的情況一樣，方程（2-3 ）也無法直接解析求解，必須利用數(shù)值的方法，借助于計(jì)算機(jī)方可精確的計(jì)算。對(duì)于這個(gè)問題的求解，可利用我們下面介紹的牛頓迭代法進(jìn)行計(jì)算，也可利用其他迭代公式進(jìn)行計(jì)算，如采用牛頓迭代公式，則可以得到如下的具體迭代公式： （2-4） 飽和蒸氣壓是我們經(jīng)常要用到的數(shù)據(jù)，雖然我們可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量來獲取飽和蒸氣壓的數(shù)據(jù)，但我們通常利用前人

3、已經(jīng)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)或回歸的公式來獲取，這可以減輕我們大量的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)工作。公式（2-5）是一種常用的飽和蒸氣壓計(jì)算公式： 其中p為飽和蒸氣壓，單位為mmHg，T為溫度，單位為K，A、B、C、D為已知系數(shù)。要想得到某一溫度下的飽和蒸氣壓，直接利用公式（2-5）是無法得到的。因?yàn)楣剑?-5）兩邊都有未知變量，并且無法用解析的方法求解，必須用數(shù)值計(jì)算的方法求解。通過上面的一些例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果沒有適當(dāng)?shù)氖侄魏娃k法來求解非線性方程，那么化學(xué)化工中的許多研究、設(shè)計(jì)等工作將無法展開，這勢(shì)必影響化學(xué)化工的發(fā)展，下面我們將介紹一些實(shí)用的非線性方程求解方法，并提供計(jì)算機(jī)程序。 miniiiminiiinn

4、akkzakkzaa111)()1()1(2lnlnTDpTCTBAp2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第2頁/共25頁2.2 實(shí)根的對(duì)分法 使用對(duì)分法的條件 對(duì)分法求根算法 對(duì)分法VB程序清單 2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第3頁/共25頁使用對(duì)分法的條件 對(duì)分法或稱二分法是求方程近似解的一種簡(jiǎn)單直觀的方法。設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在a,b上至少有一零點(diǎn)，這是微積分中的介值定理，也是使用對(duì)分法的前提條件。計(jì)算中通過對(duì)分區(qū)間，逐步縮小區(qū)間范圍的步驟搜索零點(diǎn)的位置。 如果我們所要求解的方程從

5、物理意義上來講確實(shí)存在實(shí)根，但又不滿足f(a)f(b)0，這時(shí)，我們必須通過改變a和b的值來滿足二分法的應(yīng)用條件。 2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第4頁/共25頁對(duì)分法求根算法 計(jì)算f(x)=0的一般計(jì)算步驟如下： 1、輸入求根區(qū)間a,b和誤差控制量，定義函數(shù)f(x)。 2、判斷: 如果f(a)f(b)0則轉(zhuǎn)下，否則，重新輸入a和b的值。 3、計(jì)算中點(diǎn) x=(a+b)/2以及f(x)的值 分情況處理（1）|f(x)|：停止計(jì)算x*=x，轉(zhuǎn)向步驟4（2）f(a)f(x)0：修正區(qū)間a,xa,b，重復(fù)3（3）f(x)f(b)0：修正區(qū)間x,ba,b，重復(fù)3 4、

6、輸出近似根x*。 右圖給出對(duì)分法的示意圖。 x3=(x0+x2)/2 x2= (x0+x1)/2 x0 x3 x1 x1 2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第5頁/共25頁對(duì)分法VB程序清單 Private Sub Command1_Click()Dim x1, x2, x, y1, y2, y, eer80 x1 = InputBox(x1)x2 = InputBox(x2)y1 = f(x1)y2 = f(x2)If y1 * y2 0 Then GoTo 100Else Print please repeat input x1 and x2 GoTo 80

7、End If100 x = (x1 + x2) / 2y = f(x)If Abs(y) = 0.001 Then Print the function root is ; x Print y=; yElse If y1 * y 0 Then x2 = x y2 = y GoTo 100 Else x1 = x y1 = y GoTo 100 End IfEnd IfEnd SubPublic Function f(x)Dim yy = x 3 + x 2 - 1f = yEnd Function 2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第6頁/共25頁對(duì)分法求解實(shí)例

8、用對(duì)分法求 在區(qū)間1,2之間的根。解： (1) f(1)= -2.8，f(2)=0.3，由介值定理可得有根區(qū)間a,b=1,2。 (2) 計(jì)算x2=(1+2)/2=1.5，f(1.5)= -0.45，有根區(qū)間a,b=1.5,2。 ( 3 ) 計(jì) 算 x3= ( 1 . 5 + 2 ) / 2 = 1 . 7 5 ， f ( 1 . 7 5 ) = 0 . 0 7 8 1 2 5 ， 有 根 區(qū) 間a,b=1.5,1.75。 一直做到|f(xn)|(計(jì)算前給定的精度)或|a-b|時(shí)停止。詳細(xì)計(jì)算結(jié)果見表2-1。 對(duì)分法的算法簡(jiǎn)單，然而，若f(x)在a,b上有幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，如不作特殊處理只能算出其中一

9、個(gè)零點(diǎn)；另一方面，即使f(x)在a,b上有零點(diǎn)，也未必有f(a)f(b)0。這就限制了對(duì)分法的使用范圍。對(duì)分法只能計(jì)算方程f(x)=0的實(shí)根。 對(duì)于多個(gè)零點(diǎn)的方程，我們可以通過將給定的區(qū)間a,b進(jìn)行細(xì)分，然后在細(xì)分后的區(qū)間內(nèi)用二分法分別求解，從而得到多個(gè)零點(diǎn)。例如求方程在0-30內(nèi)的所有根。需要對(duì)二分法進(jìn)行以下處理：即先給定一個(gè)a，本例中為0，然后不斷增加，直到找到一個(gè)b，使f(a)f(b)0，調(diào)用二分法，計(jì)算在a，b范圍內(nèi)的根，然后將b作為a，重復(fù)上面的工作，直到計(jì)算范圍超出30為止。 .3152197723x-.x.-xf(x)K x f(x) 求解區(qū)間 |xk-xk-1| 0 1 -2.

10、8 1 2 0.3 1,2 2 1.5 0.45 1.5,2 0.5 3 1.75 0.078125 1.5,1.75 0.25 4 1.625 -0.141797 1.625,1.75 0.125 5 1.6875 -0.0215332 1.6875,1.75 0.0625 6 1.71875 0.03078 1.6875,1.71875 0.03125 7 1.70312 0.00525589 1.6875,1.70312 0.015625 2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4VB調(diào)用第7頁/共25頁2.3直接迭代法 對(duì)給定的方程f(x)=0，將它轉(zhuǎn)換成等價(jià)形

11、式： 。給定初值x0，由此來構(gòu)造迭代序列 ，k=1,2,，如果迭代收斂，即 有 ,則就是方程f(x)=0的根。在計(jì)算中當(dāng) 小于給定的精度控制量時(shí)，取 為方程的根。 例如，代數(shù)方程x3-2x-10=0的三種等價(jià)形式及其迭代格式如下： 對(duì)于方程 構(gòu)造的多種迭代格式 ，怎樣判斷構(gòu)造的迭代格式是否收斂？收斂是否與迭代的初值有關(guān)？根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，我們可以直接利用以下收斂條件： 1、 當(dāng) 有 2、 在a,b上可導(dǎo)，并且存在正數(shù)L1，使任意的 ，有 則在a,b上有唯一的點(diǎn) 滿足 ， 稱 為 的不動(dòng)點(diǎn)。而且迭代格式對(duì)任意初值均收斂于的不動(dòng)點(diǎn)，并有下面誤差估計(jì)式： (2-6) 要構(gòu)造滿足收斂條件的等價(jià)形式一般比較

12、困難。事實(shí)上，如果 為f(x)的零點(diǎn)，若能構(gòu)造等價(jià)形式 ，而 ，由 的邊疆性，一定存在的鄰域 ，其上有 ，這時(shí)若初值 迭代也就收斂了。由此構(gòu)造收斂迭代格式有兩個(gè)要素，其一，等價(jià)形式 應(yīng)滿足； 其二，初值必須取自 的充分小鄰域，其大小決定于函數(shù)f(x)，及做出的等價(jià)形式 。)(xx)(1kkxxbxxkkkk)(limlim1)(bbkkxx11kxb31102kkxx21031kkxx21102kkkxxx0)(xf)(1kkxx,baxa)(xb)(x, baxLx | )(|)(*xx*x*x)(x|1|01*xxLLxxkk*x)(xx1| )(|*x*x2.12.82.72.52.32

13、.2總目錄總目錄2.92.62.4)(x,*xx1| )(| Lx,*0 xxx)(xx1| )(|*x*x)(xx第8頁/共25頁2.3直接迭代法例：求代數(shù)方程x3-2x-5=0，在x0=2附近的零點(diǎn)。 解：1）x3=2x+5 構(gòu)造的迭代序列收斂。取x0=2，則 準(zhǔn)確的解是x=2.09455148150。2）將迭代格式寫為 迭代格式不能保證收斂,但并不一定不收斂。VB程序界面： 3152kkxx|5.2,5.1,1)(| ,)52(131)(32xxxx當(dāng)0945502094543209449420942172092352080082654321. , x. , x.x. , x. , x.

14、x25)(,253231xxxxkk5 . 2 , 5 . 1 , 1|23| )(|22xxx當(dāng)2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第9頁/共25頁2.4松弛迭代法 有些非線性方程或方程組當(dāng)用上一節(jié)中的直接迭代法求解時(shí),迭代過程是發(fā)散的。這時(shí)可引入松弛因子,利用松弛迭代法。通過選擇合適的松弛因子,就可以使迭代過程收斂。松弛法的迭代公式如下: （2-7） 由上式可知，當(dāng)松弛因子等于1時(shí)，松弛迭代變?yōu)橹苯拥．?dāng)松弛因子大于1時(shí)松弛法使迭代步長(zhǎng)加大,可加速迭代，但有可能使原來收斂的迭代變成發(fā)散。當(dāng)01時(shí), 松弛法使迭代步長(zhǎng)減小,這適合于迭代發(fā)散或振蕩收斂的情況,可使

15、振蕩收斂過程加速。當(dāng)k0時(shí),迭代過程為單調(diào)收斂過程。當(dāng)-1k0時(shí),迭代過程為振蕩收斂過程,但當(dāng)k=1時(shí),收斂將發(fā)散,故在編程計(jì)算時(shí)應(yīng)注意當(dāng)k=1時(shí)則取k=0進(jìn)行計(jì)算。 k11韋格斯坦法求解方程x3-2x2+5x-4=0根的QB程序見課本2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第13頁/共25頁2.6牛頓迭代法 牛頓法的理論推導(dǎo)牛頓法的幾何意義 2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第14頁/共25頁 對(duì)方程f(x)=0可構(gòu)造多種迭代格式 ，牛頓迭代法是借助于對(duì)函數(shù)f(x)=0的泰勒展開而得到的一種迭代格式。 將f(x)=0在初始值x0做泰勒

16、展開得： 取展開式的線性部分作為的近似值，則有： 設(shè) 則 令 類似地，再將f(x)=0在x1作泰勒展開并取其線性部分得到： 一直做下去得到牛頓法的迭代格式： 牛頓迭代格式對(duì)應(yīng)于f(x)=0的等價(jià)方程為： 若b是f(x)的單根時(shí)， ，則有 ，只要初值x0充分接近b，牛頓迭代都收斂。牛頓迭代是二階迭代方法?？梢宰C明，b為f(x)的a重根時(shí)，迭代也收斂，但這是一階迭代，收斂因子為 ，若這時(shí)取下面迭代格式，它仍是二階方法： 牛頓法的理論推導(dǎo) )(1kkxx)(! 2)()()()(00 000 xxxfxxxfxfxf0)()(000 xxxfxf0)(0 xf)()(000 xfxfxx)()(00

17、01xfxfxx)()(1112xfxfxx, 2 , 1,)()(1kxfxfxxkkkk2 0)()()()()()()(xfxfxfxxfxfxxx0)(, 0)(bfbf0| )(|ba11 , 2 , 1,)()(1kxfxfaxxkkkk2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第15頁/共25頁 以 為斜率作過(x0，f(x0)點(diǎn)的直線，即作f(x)在x0的切線方程：令y=0，則在x1處的切線與x軸的交點(diǎn)x1，即：再作f(x)在x1處的切線，得交點(diǎn)x2，逐步逼近方程的根b。如圖2-4所示。 在區(qū)域x0,x0+h的局部“以直代曲”是處理非線性問題的常用手法。

18、在泰勒展開中，截取函數(shù)展開的線性部分替代 f(x)。 yxx2x1x0牛頓法的幾何意義 )(0 xf)( )(000 xxxfxfy)()(0001xfxfxx圖2-4牛頓切線法示意圖 2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第16頁/共25頁牛頓法的幾何意義例：用牛頓迭代法求方程 f(x)=x3-7.7x2+19.2x-15.3，在x0=1附近的零點(diǎn)。 解： 計(jì)算結(jié)果列于表2-4中。 2.194.1533.152.197.72231kkkkkkxxxxxxxk xk f(x) 0 1.00 -2.8 1 1.41176 -0.727071 2 1.62424 -0.

19、145493 3 1.6923 0.0131682 4 1.6991 -0.0001515 5 1.7 0 比較表2-1和表2-4的數(shù)值，可以看到牛頓迭代法的收斂速度明顯快于對(duì)分法。牛頓迭代法也有局限性。在牛頓迭代法中，選取適當(dāng)?shù)跏贾祒0是求解的前提，當(dāng)?shù)某跏贾祒0在某根的附近時(shí)迭代才能收斂到這個(gè)根，有時(shí)會(huì)發(fā)生從一個(gè)根附近跳向另一個(gè)根附近的情況，尤其在導(dǎo)數(shù)數(shù)值很小時(shí)，如圖2-5所示。x2yx1xx0 x2 x0 x3 x1如果f(x)=0沒有實(shí)根，初始值x0是實(shí)數(shù)，則迭代序列不收斂。圖2-6給出迭代函數(shù)f(x)=2+x2，初始值x0=2的發(fā)散的迭代序列。 圖2-5圖2-62.12.82

20、.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第17頁/共25頁2.7 割線法 在牛頓迭代格式中： ，用差商代導(dǎo)數(shù) ，并給定初始值x0和x1 ，那么迭代格式可寫成如下形式： 上式稱為割線法。 用割線法迭代求根，每次只需計(jì)算一次函數(shù)值，而用牛頓迭代法每次要計(jì)算一次函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)值。但割線收斂速度稍慢于牛頓迭代法，割線法為1.618階迭代方法。 做過兩點(diǎn)(x0,f(x0)和(x1,f(x1)的一條直線（弦），該直線與x軸交點(diǎn)就是生成的迭代點(diǎn)x2，再做過(x1,f(x1)和(x2,f(x2)的一條直線，x3是該直線與x軸的交點(diǎn)，繼續(xù)做下去得到方程的根f(a)=0，如圖2.4所示。例2.5：用

21、割線法求方程 的根，取x0=1.5，x1=4.0。解： , 2 , 1,)( )(1kxfxfxxkkkk111)()(,kkkkkkxxxfxfxxf)( kxf, 2 , 1,)()()(111kxfxfxxxfxxkkkkkkk3 .152 .197 . 7)(23xxxxf)()()(111kkkkkkkxfxfxxxfxxk xk f (x) 0 1.5 -0.45 1 4 2.3 2 1.90909 0.248835 3 1.65543 -0.0805692 4 1.71748 0.0287456 5 1.70116 0.00195902 6 1.69997 -0.00005392

22、46 7 1.7 9.459 10-8 計(jì)算結(jié)果列于表 VB程序2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第18頁/共25頁2.8非線性方程組的牛頓方法 為了敘述的簡(jiǎn)單，我們以解二階非線性方程組為例演示解題的方法和步驟，類似地可以得到解更高階非線性方程組的方法和步驟。 設(shè)二階方程組 其中x,y為自變量。為了方便起見，將方程組寫成向量形式： 將 在（x0,y0）附近進(jìn)行二元泰勒展開，并取其線性部分，得到下面方程組： 令 則有 0),(0),(21yxfyxfyxuyxfyxfuF其中,),(),()(21),(),(21yxfyxf，0),()(),()(),(0),()

23、(),()(),(0020002002001000100010yyxfyyxyxfxxyxfyyxfyyxyxfxxyxf,0000yyyxxx),(),(),(),(),(),(0020020002000100100010yxfyyxfyxyxfxyxfyyxfyxyxfx2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第19頁/共25頁2.8非線性方程組的牛頓方法如果再將原方程組在u1處進(jìn)行二元泰勒展開，并取其線性部分，得到下面方程組： 解出 得出 繼續(xù)做下去，每一次迭代都是一個(gè)方程組 ,0| ),(|00),(22110000yxyfxfyfxfyxJyx，解出0000

24、0001yyxxyxuu),()(),()(),(),()(),()(),(1121112111211111111111yxfyyyyxfxxxyxfyxfyyyyxfxxxyxf,1111yyyxxx11112yyxxukkkkkkkkkkkkkkyyyxxxyxfyxfyxyxJ1121,),(),(),(|)| |,max(|,11kkkkkkkkyxyyyxxx直到2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4即 為止。 第20頁/共25頁2.8非線性方程組的牛頓方法例2.6：求解下面非線性方程組 取初始值 解： 解方程得 繼續(xù)做下去，直到 時(shí)停止。 01),(04

25、),(2221yeyxfyxyxfx7 . 110u122| ),(|2211xeyxyfxfyfxfyxJ171828. 24 . 32| ),(|00yxJ01828. 071828. 211. 04 . 3201828. 011. 0),(),()(00000020010yxyxyxfyxfuF029849. 0004256. 0000yxu729849. 1004256. 1029849. 0004256. 07 . 110001uyxu510|)| |,max(|kkyx2.12.82.72.52.32.2總目錄總目錄2.92.62.4第21頁/共25頁2.9 化工生產(chǎn)中非線性方程組

26、求解應(yīng)用實(shí)例 在化工生產(chǎn)中,為了求解反應(yīng)前后各物料的濃度,常常要聯(lián)立求解一些非線性方程組,這些方程組難以用常規(guī)的解析方法求解,一般只能利用數(shù)值求解的方法加以求解。下面是在合成氨生產(chǎn)中利用非線性方程組求解方法求解烴類蒸氣轉(zhuǎn)化反應(yīng)前后各物料濃度的實(shí)例。 例 2.7 在合成氨生產(chǎn)中,烴類蒸氣發(fā)生以下轉(zhuǎn)化反應(yīng): 已知進(jìn)料甲烷為1mol,水蒸汽為5mol,反應(yīng)后總壓P=1atm,反應(yīng)平衡常數(shù)為: 試求反應(yīng)平衡時(shí)各組分的濃度。 解:設(shè)反應(yīng)平衡時(shí)有x摩爾甲烷轉(zhuǎn)化成CO,同時(shí)生成的CO中又有y摩爾轉(zhuǎn)化成CO2,則反應(yīng)平衡時(shí)各組分的摩爾數(shù)及分壓如下: 22)(22)(243HCOOHCOHCOOHCHgg7.29618.02422242231OHC