歷年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總

1、 歷年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總 F.G.online整理 默認(rèn)采用非官方解法2007聯(lián)賽二試 類似九點(diǎn)圓如圖，在銳角ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過(guò)P作PEAC，垂足為E，作PFAB，垂足為F。、分別是BDF、CDE的外心。求證：、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。官方解答 ABDCEFP證明：連BP、CP、E、EF、F。因?yàn)镻DBC，PFAB，那么B、D、P、F四點(diǎn)共圓，且BP為該圓的直徑。又因?yàn)槭荁DF的外心，故在BP上且是BP的中點(diǎn)。同理可證，C、D、P、E四點(diǎn)共圓，且是CP的中點(diǎn)。于是，平行于BC，那么P=PCB。因?yàn)锳F*AB =

2、 AP*AD = AE*AC ，所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓。充分性：設(shè)P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以，B、P、E四點(diǎn)共線，C、P、F四點(diǎn)共線，F(xiàn) =FCB =FEB = FE，故、E、F四點(diǎn)共圓必要性：設(shè)、E、F四點(diǎn)共圓，那么E + EF = 注意到P=PCB=ACB - ACP ，又因?yàn)槭侵苯荂EP的斜邊中點(diǎn)，也就是CEP的外心，所以PE=2ACP。因?yàn)槭侵苯荁FP的斜邊中點(diǎn)，也就是BFP的外心，從而PF= - BF= - ABP 因?yàn)锽、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以AFE =ACB，PFE = - ACB于是，由E + EF = 得：ACB - ACP+ 2ACP+ ( - A

3、BP + - ACB) = ，即ABP =ACP。又因?yàn)锳B<AC，ADBC，故BD<CD。設(shè)是點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，那么在線段DC上且D = BD。連結(jié)A、P。由對(duì)稱性，有AP =ABP，從而AP=ACP，故A、P、C四點(diǎn)共圓。由此可知，PB =CAP = - ACB 。又因?yàn)镻BC=PB ，故PBC + ACB = ，即BPAC又APBC，故P是ABC的垂心2006 聯(lián)賽二試以和為焦點(diǎn)的橢圓與的邊交于(i=0,1)。在的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓弧交的延長(zhǎng)線于；以為圓心，為半徑作圓弧交的延長(zhǎng)線于；以為圓心，為半徑作圓弧交的延長(zhǎng)線于；以為圓心，為半徑作圓弧交的延長(zhǎng)線

4、于。試證：（1） 點(diǎn)與點(diǎn)重合，且圓弧與相內(nèi)切于；（2） 四點(diǎn)，共圓。官方解答證明：1由題設(shè)的四段圓弧有：=+=+=+=+以上四個(gè)式子相加，整理得：+=+又由題設(shè)的橢圓有：+=+于是，=，即點(diǎn)與點(diǎn)重合。又因?yàn)閳A弧與對(duì)應(yīng)的圓心、和點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，所以圓弧與相內(nèi)切于2過(guò)點(diǎn)、分別引相應(yīng)圓弧的公切線和交于點(diǎn)T；再過(guò)點(diǎn)引相應(yīng)圓弧的公切線RS，分別交、于R、S。得到等腰三角形和?；诖?，我們有：-=+= (-)+(-)又-=+，從而有：=-(+)同理可得=-(+)所以， ，四點(diǎn)共圓。2005 聯(lián)賽二試如圖，在ABC中，設(shè)AB>AC，過(guò)A作ABC的外接圓的切線L。又以A為圓心，AC為半

5、徑作圓分別交線段AB于D；交直線L于E、F。證明：直線DE、DF分別通過(guò)ABC的內(nèi)心與一個(gè)旁心。官方解答證明：1先證DE通過(guò)ABC的內(nèi)心。連結(jié)DC、 DE，作BAC的平分線，交DC于G，交DE于I。又AD=AC，那么GAC與GAD全等，即有IAC=IAD=DAC又D、C、E在以A為圓心的圓上，那么DAC=IEC故IAC=IEC，即A、I、C、E四點(diǎn)共圓。于是，ACI=AEI又F、D、E在以A為圓心的圓上，那么AEI =FAD又因?yàn)橄嗲杏蠪AD=ACB，故ACI=ACB所以，I為內(nèi)心。(2) DF通過(guò)ABC的一個(gè)旁心。設(shè)FD 與AI的所在直線交于，連B， BI。那么BI =，而BD=ADF，又A

6、D=AF，那么ADF=AFD=，又因?yàn)橄嗲杏蠥BC=CAE，故BI =BD，即I、D、B、四點(diǎn)共圓。于是，I B=ID=，又因?yàn)锳BC的平分線與其外角平分線互相垂直，故B為其外角平分線。所以，為ABC的BC邊外的旁心。2004聯(lián)賽二試在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，BC25，BD=20，BE7，求AK的長(zhǎng)。解：在直角BCE中，BC=25，BE=7，那么CE=24；同理，在直角BCD中，BC=25，BD=20，那么CD=15。sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC

7、=*+*= 于是，AC=30，那么AD=15。同理，AB=25，那么AE=18。注意到：AB=BC，那么A=C由于CDB=CEB=，C、D、E、B四點(diǎn)共圓，那么C=AED。于是，A =AED，那么DE=AD。連FD，那么DFAE，于是AF=AE=9，那么AG=。由于=+，即AF*AGsinA=AF*AKsinFAK+AG*AKsinGAK其中，sinFAK=sinBCE=，sinGAK =sinCBD=將數(shù)據(jù)代進(jìn)去，計(jì)算得：AK=這里實(shí)際上使用了張角公式，而官方解答注意到GF與BC平行的關(guān)系2003 聯(lián)賽二試簡(jiǎn)證：連AB，注意到：AQP=DAQ+QDA=PBC+ABC=ABP于是，P、A、Q、

8、B四點(diǎn)共圓。那么，PAB=PQB即 PAC+BAC = BDC+DBQ 又因?yàn)?BAC =BDC ，所以PAC =DBQ2002 聯(lián)賽二試如圖，在ABC中，A=，AB>AC，點(diǎn)O是外心。兩條高BE、CF交于H點(diǎn)。點(diǎn)M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM=CN。求 的值。 機(jī)械解法：設(shè)外接圓半徑為R，引理1： = = = 2R (銳角三角形)引理2：=+ 引理1的證明：BH=2RcosB，同理有：AH=2RcosA， CH=2RcosC。引理2的證明：設(shè)滿足=+ ，那么=+*=(+)*(-) = OC- OB = 0 ，所以ABC同理，BAC，所以與H重合。題目的證明：圖中H在三角形內(nèi)部

9、，可以判斷ABC為銳角三角形。A=，AB>AC，那么C>B。于是可設(shè)B=-，C=+，其中0<<。因?yàn)锽M=CN，那么 MH+NH =(BH-BM)+(CN-CH) = BH-CH = 2R(cosB-cosC) = 2Rcos(-)-cos(+) =2Rsin 而OH = (+) = 3R+2R(cos2A+cos2B+cos2C) = 3R+2Rcos+cos(-2)+cos(+2) = 2R(1-cos2) = 4Rsin ，即OH=2Rsin故 = = 2001聯(lián)賽二試如圖，ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于

10、點(diǎn)N。求證：1OBDF ，OCDE2OHMN (1)A、C、D、F四點(diǎn)共圓 BDFBAC又OBC (180°BOC)90°BACOBDF 同理OCDE(2)引理：=+引理的證明：設(shè)滿足=+ ，那么=+*=(+)*(-) = OC- OB = 0 ，所以ABC同理，BAC，所以與H重合。題目2OHMN的證明：因?yàn)?，那么+，所以+*= 0同理有，+*= 0 再結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論有：*= (+)*(-)= *- *=*(-)-*(-)= -*+*=*= 02000聯(lián)賽二試三角證法：記BAE=CAF=，EAF=，那么AM=AFcos(+) ，AN=AFcos = + = AD*AM

11、sin+AD*ANsin(+) = AD* AFcos(+)sin+AD* AFcossin(+) = AD* AFsin(+(+)而 = AB* ACsin(2+)連結(jié)BD，注意到：ADB=ACB ，又題設(shè)BAE=CAF，那么ADB與ACF相似，于是有：= 即：AD* AF = AB* AC ， 所以 = 1999聯(lián)賽二試在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分BAD。在CD上取一點(diǎn)E ，BE與AC相交于F ，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：GAC = EAC 解析證法：如圖建立直角坐標(biāo)系，令A(yù)(0,0)，F(xiàn)(m,o) ，C(n,o)，B(p,kp)，m、n、p、k均為正數(shù)。那么直線AB為y = kx。

12、xyAB(p,kp)D(q,-kq)C(n,o)GEF(m,o)由于AC平分BAD，那么直線AD為y = - kx ?？稍O(shè)D(q, -kq)，q>0于是，直線BC為y=(x - n) ，直線DF為y=(x - m) ，于是交點(diǎn)G為=( - n) =( - m) 1 = = =同理，直線CD為y=(x - n) ，直線BF為y=(x - m) ，于是交點(diǎn)E為=( - m) =( - n) 2直接對(duì)調(diào)m與n的位置得出計(jì)算結(jié)果 = = =故= - ，所以GAC = EAC1998聯(lián)賽二試如圖，O、I分別為ABC外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，I在線段OD上，求證：ABC的外接圓半徑等于BC邊上

13、的旁切圓半徑。 注：ABC的BC邊上的旁切圓是與邊AB、AC的延長(zhǎng)線以及邊BC都相切的圓。純幾何證法：BC邊上的旁切圓半徑：= 2S = a*AD 作INAB，垂足為N，那么b+c a = 2AN 故=要證明=R，即證明： = 連AI并延長(zhǎng)交處接圓于K，連結(jié)KO、KB。那么K、M分別為弧BC及弦BC的中點(diǎn)且OKBC于是OKAD，又KI=KB，那么 = = = 故只要證明： = ，亦即 = 而a = 2BM,故只要證明： = 由于NAI=MBK=，ANI與BMK相似，所以上式成立。故=R1997聯(lián)賽二試證明：充分性。設(shè)S、N、T三點(diǎn)共線。在S、T所作的兩公切線相交于K，那么KS=KT，且K在圓和

14、圓的根軸MN上。設(shè)ST交KO于D，由OS=OT及KS=KT有：。又，那么與相似，即有。又, 所以，即O、D、N、M四點(diǎn)共圓。故，即。 必要性。設(shè)。類似地，設(shè)在S、T所作的兩公切線相交于K，那么KS=KT，且K在圓和圓的根軸MN上。設(shè)ST分別交KO、KM于D、，那么，又，故O、D、M四點(diǎn)共圓，于是 。又，故，即與N重合，因此S、N、T共線。1996聯(lián)賽二試梅氏定理證法：D延長(zhǎng)PA與BC交于點(diǎn)D。PGE截ACD，由梅氏定理有：* = 1由于CE、CG均為圓的切線，那么CE = CG于是，* = 1 (1)同理，PHF截ABD，由梅氏定理有：* = 1由于BH、BF均為圓的切線，那么BH = BF于

15、是，* = 1 (2)由1和2得： = ，亦即 = 3連結(jié)A、A、G、H，那么 GA=GAB =HA， 、A、三點(diǎn)共線。又AG= =AH，所以AG與AH相似。于是有 = (4)由3和4得：=連結(jié)E、F,那么EEF ，F(xiàn)EF ，E平行于F。又因?yàn)?，所以AD平行于E。故PABC。1995聯(lián)賽二試分析：這個(gè)問(wèn)題需要倒過(guò)來(lái)想，從結(jié)論出發(fā)。首先要加強(qiáng)對(duì)MQ平行于NP的理解，連結(jié)MP，將會(huì)發(fā)現(xiàn)證題目標(biāo)轉(zhuǎn)化為： AMQ=CPN，于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證：AMQ與CPN相似，考慮到A=C，也就是求證：AM*CN=AQ*CP。這樣，只要考慮對(duì)稱的左邊的“AM*CN，再將其轉(zhuǎn)化為“公共的量即可。1994 聯(lián)賽二試設(shè)

16、ABC的外接圓O半徑為R，內(nèi)心為I，B=，A <C，A的外角平分線交圓O于E，證明：（1） IO = AE ；（2） 2R < IO + IA + IC < (1+)R .機(jī)械證法：引理：IA = 4Rsinsin，IC = 4Rsinsin，內(nèi)切圓半徑 r = 4Rsinsinsin引理的證明：在ACI中，應(yīng)用正弦定理：= ，其中b=2RsinB， 故IA=4Rsinsin，IC=4Rsinsin，于是，r=AIsin=4Rsinsinsin 題目的證明：1B=，A <C，于是可設(shè)A=-，C=+，其中0<<，那么ABE=，AE = 2Rsin。由引理知：r

17、 = 2Rsinsin = Rcos- 由Euler定理知：IO = R(R-2r) = 2R1-cos= 4Rsin 故IO = AE = 2Rsin2由引理知：IA = 2Rsin ，IC = 2Rsin 故 IO + IA + IC = 2Rsin+ sin+ sin= 2Rsin+cos = 2Rsin(+) 因?yàn)?<<，那么<+<，所以sin<sin(+)<sin故 2Rsin<IO + IA + IC<2Rsin 即 2R < IO + IA + IC < (1+)R 1993 聯(lián)賽二試 官方證明：設(shè)圓半徑為r，OM=x，

18、AM=a，BM=b，CM=c (a>b>c>0)，那么 令 ，那么，即 同理 ， 令 ，那么相切時(shí)，有x=r，從而t=0，G=0,(1)式成立。相交時(shí)，0<x<r ，于是 t<0 ，又C點(diǎn)在圓外，即 ，那么 從而G式中根號(hào)內(nèi)為正數(shù)，且 ac+t>0 于是通過(guò)兩端平方及 t<0 ，可驗(yàn)證：即 G<0 ，2式成立。相離時(shí)， x>r ，于是 t>0 ，同樣可驗(yàn)證 G>0 ，3式成立。1992 聯(lián)賽二試設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A1A3A4，A1A2A4，A1A2A3的垂心，求證

19、：H1，H2，H3，H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置引理：設(shè)O、H分別為ABC的外心、垂心，那么 = + + 引理的證明：設(shè)滿足=+，那么=+*=(+)*(-) = OC- OB = 0 ，所以ABC同理，BAC，所以與H重合。題目的證明：由引理有： = + + ， = + + = - = - = 于是，為平行四邊形，對(duì)角線與互相平分。設(shè)它們的交點(diǎn)為P，那么 P=P ，P=P同理，與互相平分，那么交點(diǎn)為的中點(diǎn)P。同理，與互相平分于點(diǎn)P。即 P=P ，P=P于是和i=1，2，3，4關(guān)于點(diǎn)P是中心對(duì)稱的。因?yàn)?、共圓，所以、四點(diǎn)也共圓，其圓心是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)P的中心對(duì)稱點(diǎn)。 連OP，延長(zhǎng)OP到

20、使P=OP，那么是、四點(diǎn)所決定的圓的圓心。1991 聯(lián)賽二試設(shè)凸四邊形ABCD的面積為1，求證在它的邊上包括頂點(diǎn)或內(nèi)部可以找到四個(gè)點(diǎn)，使得以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四個(gè)三角形的面積均大于。官方證明：考慮四個(gè)三角形，的面積，不妨設(shè)最小，分四種情況討論：(1)> ，這時(shí)，顯然A、B、C、D四點(diǎn)即為所求。(2) < ，設(shè)G為的重心。因 ，故 于是，G、B、C、D四點(diǎn)即為所求。(3) =，那么=，其余兩個(gè)三角形的面積均大于。由于 < = ，所以，過(guò)A作BC的平行線L必與線段CD相交于CD內(nèi)一點(diǎn)E。由于 ，所以 又 ，故E、A、B、C四點(diǎn)即為所求。(4) =，那么=，其余兩個(gè)三角形中

21、還有一個(gè)的面積等于。不妨設(shè)，那么=，且有：AD與BC平行，BC=3AD。在AB上取E，DC上取F，使得： ， 那么 ，于是：故E、F、C、B四點(diǎn)即為所求。1990聯(lián)賽二試四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線與相交于，設(shè)和的外接圓圓心分別為。求證：三直線共點(diǎn)。證明 O為ABC的外心， OA=OB O1為PAB的外心，O1A=O1B OO1AB作PCD的外接圓O3，延長(zhǎng)PO3與所作圓交于點(diǎn)E，并與AB交于點(diǎn)F，連DE，那么Ð1=Ð2=Ð3，ÐEPD=ÐBPF， ÐPFB=ÐEDP=90° PO3AB，即OO1PO3同理，OO3PO1即

22、OO1PO3是平行四邊形 O1O3與PO互相平分，即O1O3過(guò)PO的中點(diǎn)同理，O2O4過(guò)PO中點(diǎn) OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn)說(shuō)明：對(duì)于PO3AB的證明，可以用圓冪定理： 相減即有：從解答可知：為平行四邊形。1990聯(lián)賽二試ABC中，AB=AC。在ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，直線AP與BC交于N。設(shè)NPC =BAC=2BPN，求證：BN = BCABNCQP證明：延長(zhǎng)AN交ABC的外接圓于Q，那么PQC=ABC，又題設(shè)NPC=BAC，于是PQC與ABC相似。因AB=AC，那么PQ=PC。 因?yàn)榛B與弧AC相等，所以PQB=PQC。 過(guò)點(diǎn)P作等腰PQC的角平分線交QC于K，那么PQK與PCK全等，

23、面積也相等。且有QPK=QPC=QPB，于是，QPK與QPB全等，面積也相等。所以，QPC的面積是QPB的兩倍。 = = 故 BN=BC 1989聯(lián)賽二試在ABC中，AB>AC，A的一個(gè)外角的平分線交ABC的外圓于點(diǎn)E，過(guò)E作EFAB，垂足為F。求證：2AF=AB-AC。證明：在FB上取FG=AF，連EG、EC、EB，于是AEG為等腰三角形，EG=EA又Ð3=180°-ÐEGA=180°-ÐEAG=180°-Ð5=Ð4，Ð1=Ð2于是EGB 與EAC全等BG=AC， AB-AC=AG=2AF1988聯(lián)賽二試在ABC中，P、Q、R將其周長(zhǎng)三等分，且P、Q在AB邊上。求證：> 證明：由于P、Q在AB邊上，那么有：。以邊PQ=為底，要使其面積到達(dá)最小值，就是要使PQ邊上的高，即點(diǎn)R到AB邊的距離到達(dá)最小。由于對(duì)稱性的關(guān)系，不妨設(shè)點(diǎn)R在邊BC上。當(dāng)線段PQ向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在BC邊上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)。