全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽內(nèi)容梳理版數(shù)列

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽內(nèi)容梳理數(shù)列1 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（19782021 ）中的數(shù)列問題1.1 挑選題與填空題（ 1）（1991 ）將正奇數(shù)集合1 ，3， 5， 由小到大按第n 組有 2n 1個奇數(shù)進行分組：1 ，3 ， 5， 7 ，9 ， 11， 13，15， 17 ，第一組 其次組 第三組 就 1991 位于第組（ 2）（1992 ）設(shè)數(shù)列a1, a2 ,l, an ,l 滿意a1 =a2 =1,a 3 =2 且對任何自然數(shù)n ，都有anan + 1an + 2 1 1 ，又a nan + 1an + 2a n + 3 =an +an + 1 +an + 2 +an + 3就 a1 +a

2、2 + l+ a100 的值是（ 3）（1994 ）已知數(shù)列an 滿意3an + 1 + a n =4n .1 ，且 a1 =9 ，其前n 項之和為sn ，就滿意不等s式n - n -6 <1125的最小整數(shù)n 是a5b6c7d8（ 4）（ 1995）設(shè)等差數(shù)列an 滿意3a8 =5a13 且 a1 >0 ， sn 為其前項之和，就sn 中最大的是as10bs11cs20d s21（ 5）（1996）等比數(shù)列 a 的首項a= 1536 ,公比 a = -1 ,用 .表示它的前n 項之積； 就 . n . ￥x nn12n最大的是(a) . 9b . 11c . 12d . 13（

3、6）（1997 ）已知數(shù)列xn 滿意x n + 1 =xn -x n-1 n 32， x 1 =a, x2 = b記sn =x1 +x 2 + l+ xn ，就以下結(jié)論正確選項a x100a， s100= 2b abx 100b， s100 2b acx 100b， s100=bad x 100a， s100 b a（ 7）（ 1997 ）設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為972 ，就這樣的數(shù)列共有a2 個b3 個c4 個d5 個（ 8）（ 1999）給定公比為q q 11的等比數(shù)列an ，設(shè)b1 =a1 +a2 +a 3 ， b2 =a4 +a5 +a 6 ,，

4、l，bn =a 3n - 2 +a3 n - 1 +a3n , 就數(shù)列 bn a 是等差數(shù)列b是公比 q 為的等比數(shù)列c是公比為q3 的等比數(shù)列d既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列（ 9）（2000 ）等比數(shù)列a+log 23， a+log 43，a+log 83 的公比是（ 10）（2003）刪去正整數(shù)數(shù)列1， 2， 3， l中的全部完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列這個數(shù)列的第2003 項是a2046b2047c2048d2049（ 11）（ 2004）已知數(shù)列a0 , a1 ,a2, l, an ,l滿意關(guān)系式3 -an +1 6 +an =18 ，且 a 0 =3 ，就n1a.的i = 0i值是；（12

5、）（ 2005）假如自然數(shù)a 的各位數(shù)字之和等于7，那么稱a 為 “吉利數(shù) ”將全部 “吉利數(shù) ”從小到大排成一列a1 ,a2 ,a3 , l，如 a n 2005，就 a 5n （13）（ 2021）設(shè)是d abc的內(nèi)角a,b ,c 所對的邊a,b,c 成等比數(shù)列，就sin a cot csin b cot c+ cosa+ cosb的取值范疇a.0,+ . b.驏.0,.桫5 + 1÷2÷÷.驏 5 -c.15 + 1÷,÷驏 5 -.d.1, + . ÷÷桫.22÷桫.2÷（ 14 ）（ 2021

6、） 設(shè) 數(shù) 列 a 的 前 n 項 和 s滿 足 ： s+ a=n - 1， n =1,2, l， 就 通 項nnnnn n + 1a n =（ 15）（ 2021）已知 an 是公差不為0 的等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，其中a1 =3 ，b1 =1 ， a2 =22 ，3a5 = b3， 且 存 在 常 數(shù)a, b， 使 得 對 每 一 個 正 整 數(shù)n都 有an =l o agbn + b， 就a + b =1.2 在正整數(shù)上定義一個函數(shù)f n 如下：當(dāng) n 為偶數(shù)時，f n = n ，2當(dāng) n 為奇數(shù)時，f n =n + 3 ，（ 1）證明：對任何一個正整數(shù)m ，數(shù)列a0 =m,a1 =f

7、 a0 ,l,an =f an -1 ,l 中總有一項為1 或 3 .（ 2）在全部正整數(shù)中，哪些m 使上述數(shù)列必定顯現(xiàn)“3？”哪些 m 使上述數(shù)列必定顯現(xiàn)“1？”1979 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽其次試1.3 已知實數(shù)列a0 ,a1, a2 ,l,an （其中a 0 1a1 ），滿意ai - 1 +ai + 1 =2ai （ i= 1,2, l,n ）求證：對于任何自然數(shù) n ，p x =驏n 鼢桫0鼢a 0 瓏瓏鼢鼢1 -nx +驏na1x 1 -桫1n - 1x + l驏 n瓏瓏n -+ a瓏n - 1桫鼢n - 11鼢鼢x1 -鼢驏nx + a n桫nn1 -x 是一次多項式1.4 已知數(shù)列

8、 an ，其中a1 =1, a2 = 2 ，1986 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽其次試.ì.5an + 1 -a=3an , an .an + 1為偶數(shù)，n + 2í-.為奇數(shù) .試證：對一切*n 喂￥ , an0 .an + 1an ,anan + 11988 年全國高中競賽試題其次試1.5n 2 個正數(shù)排成 n 行 n 列a11a12a 13a14a21a22a 23a24a 31a32a 33a34a 41a42a 43a44mmmman 1an 2an 3an 4la1nla2nla3nla4nomla nn其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且全部公比相等

9、已知 a 24 =11 ，a42 =，8a=3，求 a+ a+ l+ a43161122nnx n + 1 -x - n - 11990 年全國高中競賽試題第一試11.6 設(shè) n 是自然數(shù)，f n x =- 1x - xx 貢 0,1，令 y =x +x（ 1）求證：fn + 1 x=y .fn x fn - 1 x ,n > 1（ 2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.ì驏驏n 驏n - 1÷. n瓏n -1鼢n - 2in - 1n - 2i2 .÷.y- 瓏鼢y+ l+ - 1y+ l+ -1 .n÷, n為奇數(shù) .瓏 1鼢i.÷.驏.桫鼢桫fn

10、 x = í桫.2÷.驏驏n - 1 n - 1÷.瓏-瓏. nn -÷y1 鼢鼢y n - 2 + li+ - 1n - 1n - 2iy+ l+ -1 2.1÷, n 為偶數(shù) .n -.瓏 1鼢i.÷.桫桫.桫 2÷1992 年全國高中競賽試題第一試1.7 設(shè)正數(shù)列a0 ,a1,a 2, l,an l滿意且 a 0 =a1 =an an - 2 -1 ，求 an 的通項公式an -1an - 2= 2an - 1 ,n . 21.8 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和sn =2an -1 （ n =1993 年全國高中競賽試題

11、第一試1,2, l），數(shù)列 bn 滿意求數(shù)列 bn 的前 n 項和b1 =3 ， bk+ 1 =ak +bk k =1,2,l 1996 年全國高中競賽試題其次試221.9 給定正整數(shù)n 和正數(shù) m ，對于滿意條件a1an 1m 的全部等差數(shù)列an ，試求san 1an 2a2n 1的最大值 .1.10 設(shè) sn123n ， n . 求 f n snn32sn1999 年全國高中競賽試題第一試的最大值 .11.11 設(shè)數(shù)列a n和 bn滿意 a01,b00 ，且2000 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試an 1bn 17an 8an6bn3, n7bn40,1, 2,證明： a nn0,1, 2,是完

12、全平方數(shù) .2000 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽其次試1.12 設(shè)a 為等差數(shù)列，b 為等比數(shù)列，且2b = a ， b22= a， b= a （ a< a ） ， 又nn11223312limn .b1 + b2 + l+ bn =2 + 1 試求an的首項與公差全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試1.13 如圖，有一列曲線p0 , p1, p2 ,l 已知p0 是面積為1 的等邊三角形，pk+ 1 是對pk 進行如下操作得到的：將pk 的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊向形外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉 k =0,1,2, l記 sn 為曲線pn 所圍成圖形的面積（ 1） 求數(shù)列 sn 的通

13、項公式；n（ 2）求 limsn .全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試1.14 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，y 軸正半軸上的點列an 與曲線 y =2x x 3*0上的點列 bn 滿意oa n= ob n=1 ，直線 anbn 在 x 軸上的截距為nan ，點 bn 的橫坐標(biāo)為bn ， n . ￥ *（ 1）證明： a> a> 4 ， n . ￥ ；nn + 1（ 2）證明：存在n0 .*￥ ，使得對" n >n 0 ，都有b2 + b3 + lb1b2+bn+ bn - 1bn +1< n -bn2004 nn7a45a236全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽其次試1.15 數(shù)列a n滿

14、意 a01,an 12,n.證明：（ 1）對于任意 n， an為整數(shù)；（ 2）對于任意 n， anan11為完全平方數(shù).1.16 已知無窮數(shù)列an滿意 a0x, a1y, an 1anan an11 , nan 11,2,.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試（ 1）對于怎樣的實數(shù)x與y ，總存在正整數(shù)n0 ，使當(dāng)nn0 時 a n 恒為常數(shù) .（ 2）求通項an .全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽其次試1.17 設(shè) an =n.k = 1 k n1+ 1 -，求證：當(dāng)正整數(shù)k n 3 2 時，an + 1 <an ；全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試1.18 設(shè) ak >0 ， k =1,2, l,2021證明：當(dāng)且僅當(dāng)

15、2021.a k >k= 11 時，存在數(shù)列xn 滿意以下條件：（ 1） 0 =x 0 < x n< x n + 1, n =1,2, 3,l（ 2） limn .xn 存在；（ 3） x n -x n - 1 =20212007邋ak x n + k -a k+ 1x n + k , n =1,2, 3,lk= 1k= 02全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽其次試1.19 已 知p,q q 10 是 實 數(shù) ， 方 程 x-px + q =0 有 兩 個 實 根a , b ， 數(shù) 列 an 滿 足a1 = p ，2a2 = p-q ， a= pa- qan =3,4,l nn -1n - 2

16、 求數(shù)列an的通項公式（用a , b 表示）； 如 p =1 ， q =1 ，求4an的前 n 項和全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試1.20 證明：方程2x 3 + 5x- 2 = 0 恰有一個實數(shù)根r ，且存在唯獨的嚴(yán)格遞增正整數(shù)數(shù)列a，使得2 = r a1 + r a 2a+ r 3 + l 2.等差數(shù)列與等比數(shù)列20xx 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試等差數(shù)列n5（ 1）定義：數(shù)列an如滿意 an 1and （ d 為常數(shù)），就這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，d 是這個等差數(shù)列的公差；（ 2）通項公式：如設(shè)等差數(shù)列an首項為a1 ，公差為 d ，就通項公式為*a na 1n1 d, n；對于任意的m,n，有 an

17、amnmd .（ 3）前 n 項和公式：如設(shè)等差數(shù)列an前 n 項和為sn ，就na1ansnna1nn1d（ 4）一些重要的性質(zhì)如 m,n, p,q22mnpq* ，且 mnpq ，就 aaaa ；如an是等差數(shù)列，正整數(shù)l .m , p 也成等差數(shù)列，就al ,am ,ap 也成等差數(shù)列；如 a , a, b 成等差數(shù)列，就a 叫做 a 與 b 的等差中項，有定義知aab ；2如 sn是等差數(shù)列an前 n 項和，就sk ,s2ksk,s3 ks2k,也成等差數(shù)列，且公差為kd .等比數(shù)列（ 1）定義：數(shù)列an如滿意an 1anq （ q 為常數(shù)），就這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，q 是這個等比數(shù)列

18、的公比；（ 2）通項公式：如等比數(shù)列an首項為a 1 ，公比為 q ，就通項公式為ana1n 1*；q,n對于任意的m,n* ，有n mana mq.（ 3）前 n 項和公式：如設(shè)等比數(shù)列an前 n 項和為sn ，就na 1, q1當(dāng) q1 時，全部項之和ssna 11qn, q11qa 1.1q（ 4）一些重要的性質(zhì)如 m,n, p,q*，且 mnpq ，就 amanapaq ；如an是等比數(shù)列，正整數(shù)l .m , p 成等差數(shù)列，就al ,am ,ap 也成等比數(shù)列；如 a ,g ,b 成等比數(shù)列，就g 叫做 a 與 b 的等比中項，有定義知gab ；如 s是等比數(shù)列a前 n 項和，就 s

19、 ,ss, ss,也成等比數(shù)列，且公差為qk .nnk2 kk3 k2k2.1 將素數(shù)從小到大排列為p1 , p2 , pn ,，令 snnpi .求證： 對于任意正常數(shù)n ，存在一個完全i 1平方數(shù)an ，使得 snansn 1 .1998 年以色列 匈牙利數(shù)學(xué)競賽題12.2 給定 nn5 個互不相同的實數(shù)a1a2an ，全部的n n21 個和aia j1i , jn,ij中互不相同的數(shù)恰好有2n3 個的充要條件是a1, a2 , an 成等差數(shù)列 .3遞推數(shù)列3.1 （ 1）已知an 16ana n5， a12 ，求通項公式an .n（ 2）已知 a5a 2， a2 ， a12 ，求通項公

20、式a .n 1aa5aa 2127nn 1 nn 1n4a 24a a5a1ann n 1n 153.2 設(shè)數(shù)列an滿意n 14an10an 12， a01 ， a1，求通項公式2an .23.3 已知 a11， a21， a31，且 an 2an 12an2a n 11. 求通項公式an .2614an 12an 12an13.4 已知an滿意 a11， a21 ， an7an an 1222. 求通項公式an .an1an 12an1an3.5 已知 an 1an6an33a 29a6， a170 ，求通項公式an .n1nn3.6 如 a10 ， a23 ，且 an 24a 24an 4

21、an12an21，求通項公式a n .3.7 已知 a12 ， ann1 a 2n1（ n2 ） . 求通項公式a n .n13.8 已知 a3 ， aa2 （ n2 ） . 求通項公式 a .21n 1nn3.9 已知 a3a12a6na3n11n9 ，且 a0 ，求通項公式a .22n 1nnn1n3.10 設(shè) a1 a 2aa a1 a 22aa， a0 ， a2 ，求通項公式a .n 1nn 1nn 1nnn 112n423.11 已知遞歸方程k1k2 ak 2nk1nk ak0 .其中 k 是自變量， a 0 ，a1 為常數(shù) . 求 a k 的表達式 .3.12 已知遞歸方程為pkn

22、pkn akak 20 ，其中 p 為非負常數(shù)，a00 ， a 0 已知， n 為非負常數(shù)，k0,1, 2,，規(guī)定 a 1a 20 . 求通項公式a n .3.13 已知整數(shù) nk0 ，定義數(shù)c n,kc n, 0c n1,kc n ,n 2kcn, kc n , k1證明：c n,kc n, nk ，對全部滿意nk0 的 n ， k 成立 .3.14 數(shù)列u n中，如 u 02,u 15，且 u n 12unn 12u 1 ，求 un .u2【解】第一由遞推公式得0051151165232 322238u0222， u122， u22， u總結(jié)規(guī)律，可得un2f n f n 2.我們假定這個

23、方程當(dāng)n0,1,2, k 時成立，再來看當(dāng)nk1 時如何 .代入得f k f k f k 125f k 1uk 1222222222f k f k 2 f k 12 f k 15222f k 2 f k 12 f k 2 f k 12f k 2f k 12 f k 2 f k 152設(shè) f k1f k2f k1，與此相關(guān)聯(lián)的差分方程是e 2e20 .這個方程的根為e 12,e 21 .這樣我們有f k 2nka2kb1n1由前面的運算確定a 和 b ，最終求得f n 3實際運算說明f k2 f k 12f k2 f k 15202所以我們用數(shù)學(xué)歸納法證明白un2n1 n2n1 n2323, n

24、0,1,2,3.15 求證：存在惟一的正整數(shù)列a1, a2, a3,使得a1,a1,a a1an an 21 （ n=1,2,3,）12n 1n 13an an 211【解】先證惟一性設(shè)數(shù)列an滿意題中全部條件.就2ak 1ak 11ak ak 2 3 ak ak 23 ak ak 2113113 ak ak 23ak ak 211213ak ak 211將上式變形得: ak 13 ak ak 21 ak 13 ak ak 2110并且當(dāng)某ak 11時, ak 1ak , ak 13 ak ak2110 ,就 ak 13 ak ak210 ,所以 ak 23a1kk 1aak，于是1ak 21

25、 .所以式等價于ak 13 ak ak210 , 即a3k 1ak ak 21 .a311a3 21由a1a3a32n324a2a2a2 2, 又a21a22由知 ,該數(shù)列的全部項被a11,a22 所惟一確定 .再證存在性我們只需證明對滿意a1,a2 ,a31的數(shù)列a.12an 2n 1 nn ann中每一項都是正整數(shù)即可事實上 ,先可求得 a11,a22 , a39,a4365 .對于 n5 .假定a1 ,a2 , an1 都是正整數(shù) ,33633a而an 11n1 an 21 31193an 23an 23an 21an 3 an 2an 2an 3an 2 an 319記 l a6333

26、a3a1a ,明顯la31是正整數(shù) ,a3n 2n 3n 2n 2n 3n 383385252且 la n 3a3a3a1an 3a3a3aann 2an 2n 2n 2an 2n 2n 2n 2n 4n2n3所以 ala 3.考慮 an2與an3 的最大公因數(shù) an2 , an33 an 31, a a3n31,an3 1nan 43從而aa3 a93 a63 a31a3n 2n 3n 2n 2n 2n 3就an 是正整數(shù) .綜上 ,原命題成立 .3.16 設(shè)a1a21，且當(dāng) n33,4,5,時，12aa2an 2n 1.n2a24aa2an 1n 2n 1n 2求 an的通項公式 .199

27、3 年中國國家集訓(xùn)隊測驗題4. 數(shù)列一般項性質(zhì)項的數(shù)性項的整除性項的有界性項的最值性4.1 數(shù)列a定義如下： a0,2a3a5a 24 n1 .證明：不行能有自然數(shù)m ，使得 an被 1992 整除 .1n 1nn2m2a 23a94.2 數(shù)列an滿意 a01, a15,a nn 1n 12an 2，證明an 都是整數(shù) .a1a2ba2b4.3 設(shè)非零數(shù)列a1 ,a2 ,滿意 a1 , a2 ,22a1a2都是整數(shù)，且an 2n 1其中 b 是某個給定的整an數(shù).求證：數(shù)列an的每一項都是整數(shù).4.4 自然數(shù)數(shù)列xn,yn滿意關(guān)系式xn2 yn2n2 322nn.求證： yn1 為完全平方數(shù).

28、4.5 設(shè) a00 ，且對 n0,1,2,有an 1k1 ankan12kk1 anan1，其中 k 是給定的自然數(shù).求證：對于n0, an 是整數(shù) .4.6 設(shè) r 是正整數(shù)， 數(shù)列an滿意： a11,an 1nan2r2 n1, nn21,2,求證： 每個an 都是正整數(shù)，并且求全部的n ，使得an 是偶數(shù) .4.7 已知數(shù)列an的通項 an15n215n3216n1, n0,1,2（ 1）求證：對每個非負整數(shù)n,153 | an.（ 2）球全部的n ，使得1991| an ,1991| an1 ,1991| an 2 .4.8 任意選定一個自然數(shù)作a0 .在任意選取a1|a054,a07

29、7 ，如此下去，即當(dāng)選定ak 后，在選定 ak 1ak54,ak77.證明：在所得數(shù)列a0 ,a1, a2 ,中，必有某項的末兩位數(shù)相同.4.9x1, x2, xn 為一數(shù)列，通項xnn，其中 a 為自然數(shù) .試證明：對自然數(shù)n ，數(shù)列的項naxn 總可以表示為其他兩項的乘積.4.10 第哪一項一個正整數(shù)，小唐構(gòu)造全部的偶數(shù)項，小夏構(gòu)成后面的奇數(shù)項.小唐的構(gòu)成方法是：將前一項減去它本身的任意一個數(shù)字.小夏的構(gòu)成方法是：將一項加上它本身的任何一個數(shù)字.假如他們不停地增加新項，求證：有一個整數(shù)會在這個數(shù)列內(nèi)顯現(xiàn)至少100 次.4.11 斐波那契數(shù)列f n定義為f11, f21, fnfn 1f n

30、 2n2 .證明：有唯獨一組正整數(shù)a, b, m,使得 0a m,0b m ，并且對一切正整數(shù)n, fnanbn 都能被 m 整除 .4.12 給定正整數(shù)m2 .試證：（ 1）存在整數(shù)x1 , x2 , x2 m ，使得xi xm ixi 1 xm i11,1im .（ 2）對任何適合條件的整數(shù)組x1 , x2 , x2 m ，可構(gòu)造出滿意yk ym kyk 1 ym k1 , k0,1,2,的整數(shù)序列, y,k, y1, y0, y1, yk ,使得 y1xi ,i1,2,2 m .4.13 是否存在數(shù)a 0a1 ，使得有一個無窮的正整數(shù)數(shù)列.對an，滿意1aaaa , n1, 2,n 1n

31、nn4.14 a1 , a2 , a29 是 29 個不同的整整數(shù)列.對1ij29 及自然數(shù) x ，定義：nix數(shù)列 ai 中x 的數(shù)的個數(shù)nijx數(shù)列 aiaj 中x 的數(shù)的個數(shù) .已 知 對 所 有 的 1i29 及 每 一 個 自 然 數(shù)x, n ixx ,e e2.71828證 明 ： 至 少 存 在 一 對i , j 1ij29 使得nij1988200.5 特點根法求通項公式我們稱二次方程x 2c xc 為具有遞歸關(guān)系ac ac an2, 3,的數(shù)列的特點12n1 n 12 n 2方程；設(shè)x1, x2 是特點方程的兩個根，我們得出了以下重要結(jié)論： 當(dāng) xx時， axnxn ；12n

32、1 12 2 當(dāng) xx 時， anx n ；12n121其中i ,ii1, 2都是由原始條件a1,a2 確定的 . 當(dāng) x1, x2 為虛數(shù)時，設(shè)x1,2rcosi sin，其中 r0,，就na nrc1 cos nc2 sin n其中 c1,c2 是由原始條件a1,a2 確定的 .5.1 求斐波那契（fibonacci 數(shù)列 f1f21, fn 2fn 1fn 的通項公式 .注：（ 1） fn稱為第 n 個斐波那契數(shù)；（ 2）起初使值改為f11,f23 時，所得出的數(shù)列稱為盧卡斯（e.lucas數(shù)列，記作l n.（ 3） fn與 l n有一些性質(zhì)：2n(i) 2fm nfn lnfn l m

33、 ；2(ii) ln5fn41；fn(iii) 2fn 1fn 11 n 1, ,ff22nn 1n fn 1fn1;2(iv) l nl n 1ln 151 n ;lll22n 1nln1n51 n 1 ;v）fn , fn 11, ln , ln 11;(vi) fn ,l n 的奇偶性相同，并且fn , ln | 2 ；(vii) fm nfm fn 1fm 1fn ；(viii) fm , fnf m,n ；2以上各式的證明可利用遞推式（或通項公式） 結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進行.也可利用證明白的性質(zhì)來推證 .5.2 確定 m 2n 2 的最大值 .其中 m, n1,2,1981 , n 2mn

34、m21 .5.3 已 知 數(shù) 列an , a1a21, an 2an 1an n1,2,. 試 證 ： 對 于 任 意 正 整 數(shù) n 有arccot a narccot an 1arccot a n2 ，并指出等號成立的條件.5an 13a n , 如a n為偶數(shù)；an 15.4 已知 a11, a22, a n 2a n 1an , 如anan 1為奇數(shù).（ 1）試證：對一切nn,an0;（ 2）試求an的通項公式 .6 不動點法求通項公式 設(shè) f xaxb a1,a0. 數(shù)列an由初始項 a 0f a 0 及 anfan 1確定， 那么， 當(dāng)且僅當(dāng) x 0 是f x 的不動點時，數(shù)列a

35、nx0是公比為 a 的等比數(shù)列 . 設(shè) f xa xb 有兩個不動點x , x ，且由afa確定數(shù)列a.cxda121）如 xx ，就數(shù)列n12x1是等比數(shù)列；nn 1na nx 22）如 x1x2 ，就數(shù)列1anx1是等差數(shù)列 .kkc 0x kc 2x k 2c 4 x k 4x1x1設(shè)f x kkkk有 兩 個 不 動 點c 1x k 1c 3x k 3c 5x k 5kkkkkx1x1x1, x1 . 如由afa確定數(shù)列a，就數(shù)列l(wèi)n anx11（其中a1 ，為保證12nn 1nanx 2a110 ）是公比為k 的等比數(shù)列 .a11 如數(shù)列xn滿意遞推公式xn 12xpnq24 p0x

36、2p，且 x1a ，有：如其特點方程xx2p2xnq2xx2xq有兩個根,，就xn 1n2 xn可變形為qn 1n.xn 1xn 如數(shù)列xn滿意遞推公式xn 22nxp qn 1，我們可以通過消去xnqn 的方法， 使之轉(zhuǎn)化為二7階線性遞推數(shù)列.8周期數(shù)列周期數(shù)列的性質(zhì)：性質(zhì)：周期數(shù)列是無窮數(shù)列，其值域是有限集；性質(zhì)：如 t 是數(shù)列a n的周期，就對任意kn * ，kt 也 是 a的周期；n性質(zhì)：周期數(shù)列必有最小正周期；性質(zhì)：如t 是周期數(shù)列a n的最小正周期，t是任一周期，就t | t.*性質(zhì)：值域是有限數(shù)集的無窮遞歸數(shù)列必是周期數(shù)列；性質(zhì)：已知數(shù)列a n滿意 an tat nn,tn， sn ,t n分別為an的前n項和與積，如nqlr ， 0rt ,q,rn，就 snqstsr