二階倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、二階倒立擺的控制指導(dǎo)老師：屈楨深問(wèn)題描述小車質(zhì)量，擺桿1質(zhì)量，擺桿長(zhǎng)度；擺桿2質(zhì)量，擺桿長(zhǎng)度。要求：設(shè)計(jì)NN控制器，滿足指標(biāo)要求：正弦信號(hào)幅值裕度10%, 相角裕度15度。同時(shí)系統(tǒng)具備抗噪聲和干擾性，控制輸入合理步 驟：1階倒立擺-2階倒立擺。一階倒立擺建模小車由電機(jī)通過(guò)同步帶驅(qū)動(dòng)在滑桿上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平 衡。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動(dòng)卡反饋小車和擺桿位置（線位 移和角位移）。小車在軌道上可以自由滑動(dòng)。單級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型N和P分別為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分 量。分析小車水平方向所受的合力，可得到方程為：Mx F bx N由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:l

2、sind2m xdt22N mx ml cos ml sin把這個(gè)等式代入式中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:2M m x bx ml cos ml sin F為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向的合力進(jìn) 行分析，得到下面的方程：Pd2 lmg ml cosdt2P mgml sinml 2 cos力矩平衡方程如下：Plsin Nlcos I方程中力矩的方向，cos cos ,sin sin ，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去 P和N,得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：I ml2 mgl sinmlxcos假設(shè) 與1 （單位是弧度）相比很小，即1,則可進(jìn)行近似處理:cos1,sindt用U代表被控

3、對(duì)象的輸入力，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:I ml 2 2q (M m)(I ml ) ml mgl mixM m x bx ml u對(duì)方程(7)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到:I ml2 (s)s2 mgl (s) mlX(s)s2M m X(s)s2 bX(s)s ml (s)s2 U (s)為:推導(dǎo)時(shí)假設(shè)初始條件為0則擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)(s)mis2X(s) (I ml2)s2 mgl擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：(s)mlA(s) I ml2 s2 mgl擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù):ml 2(s) F(s)sq24 b(I ml ) 3 (M m)mgl 2 bmg

4、l ssssqqq以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:0100&0(Iml2)bm2gl20xI(Mm)Mml2I (M m)Mml2x&00010mlbmgl(Mm)0&I(Mm)Mml2I (M m)Mml20I ml2l(M m) Mml20mlI(M m) Mml2x10 0 02 0u 0 0 10 0&以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式:01000&x00001&&&00010 u&003g0&34l4lxx10 00&0yu00 100&2系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析對(duì)

5、于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):X AX Buy CX Du系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組B , AB ,., An 1 B 是線性無(wú)關(guān)的，或nXn維矩陣b abAn 1b的秩為n。系統(tǒng)的輸出可控條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣CB CAB CA 2 B CA n 1B D 的秩等于輸出向量y的維數(shù)。應(yīng)用以上原理對(duì)輸入為加速度輸出為擺桿與豎直方向的角度的夾角時(shí)的系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析即可。二階倒立擺建模在忽略了空氣流動(dòng)，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車、勻質(zhì)桿的系統(tǒng)，如圖所示。圖1直線兩級(jí)倒立擺物理模型下面利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程拉格朗日方程為：L q,& T q,& V q,&

6、dt qiT TmTm2Tm3Tm1Tm1Tm2m2丄MX?21Tm1畀d x l1 sin 1dt2d hsin 1dtmj1)&&cosTm1Tm1同樣可以求出'1Tm2m221m2Tm1d(x 2h sin& 2l1 &Tm2】mi31 .2 2mh 162m1)&2 m1l1X&&1 cos 1m1l12 睪31dtCOS 111J2l2sin 2l2&COS1m221m.21 1 mi2 32d (2h cos t l2 cos 2)dt2h &sin 1 l2&sin 2Im；&622T

7、m2 Tm2 Tm2m2 X 2 & 2l1 &COS 1 l2&cos 22-m2 4li24l； & 4hl2&&2cos 2123因此，可以得到系統(tǒng)的總動(dòng)能為:T Tm1 2丄MX221m22Tm 1 Tm22 .2 m1l13&COS丄口喪 m1l1&&cos 2X& 2& 2l1 &cos 1 l22m2 4l1 & 3l2&2 4l1l2&&2cos 2 1系統(tǒng)的總勢(shì)能為:V Vm1 Vm2 Vm3ggh cos 1 m?g 2l 1 cos 1 丨2 c

8、os 2從而拉格朗日算子:LTVm1l1&&cos 12 .2立:m2 X& 2)& 2l1 &cos 1 l2 &cos 2 22m2 4l1 &3l2&心&曲 21m?g 2hcos 1 Leos 2由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)1, 2上均無(wú)外力作用，有以下等式成dt飛1)sin 22m|X&:os 1對(duì)1, 2求解代數(shù)方程，得到以下兩式&& (3( 2gmisin 1 4gm>sin 1 4mtgsin 1 3mgcos( 2 6m>l1 cos( 12)sin( 12) & 4m&

9、gt;l2 sin( 12) &4m>X&:os 1 4m3Xfcos 1 3m>X8Dos( 12)cos 2) /2(2l1( 4m 12m2 12m3 9mt cos ( 12)(4m2(m13(m2mOjlfy 3gsin 2 6l1 && sin( 12)3Xfcos 2)|m2l-|2l2cos( 12)(6m2l2&si n( 12)3(mh 2(m2 mh)(gsi n 1 Xcos 1) /(m2(m1 3(m29叫)11覆4mfl12lf cos2( 12)表示成以下形式：辱 f1(X, L 2,&&&am

10、p;，X辱 f2(X, " 2，&&，&，X取平衡位置時(shí)各變量的初值為零，A (X 1, 2,&& &,X) (0,0,0,0,0,0,0) 0將（23）式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令K11f1xKl23( 2gmi 4gm2 4gmh)2( 4mi| 3m2 12m3)l1K13 9mbg 2( 4m13m2 12mh)liK14f1xK15K16K17Jix&3( 2mim2 4mh)2( 4mi| 3m2)l1帶入式，得到線性化之后的公式辱 K12 1£3 2K17X&將式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)

11、數(shù)展開，并線性化，令K21K222g(mi1 2mh)4m2l23m2) 12K234g(mi 3m2)3(4m2l2169(0 3m(2)l2)K27J2帶入（22）式，得到即:K24K2642(mi 2m2)(mi 3m2)163) (mi 3m2)l24m2l2K27X&Kl2K13 2k17s&K27X&現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸 入，因此還需加上一個(gè)方程取狀態(tài)變量如下:X2X3X4XXx1x12&&1&2由(33), (41), (42)式得到狀態(tài)空間方程如下:&000100X0&000010X

12、20&000001X30u&000000X41&0K12K13000XK17&0K22K23000XsK27其中直線兩級(jí)倒立擺系統(tǒng)參數(shù)為:M小車質(zhì)量mi =； m2 =；1為擺桿1與垂直向上方向的夾角為擺桿2與垂直向上方向的夾角；i1=1m i2 =； F為作用在系統(tǒng)上的外力由以上方程，將以下參數(shù)代入即可M 0.8m1 0.3m2 0.2g 9.811 112 0.5神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模本文采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用 量為4-5-3結(jié)構(gòu)的三層前饋網(wǎng)。輸入變xiX2X3X2X3(0-1)de tdtNn ty°ut t網(wǎng)絡(luò)隱含層的局部誘導(dǎo)域和輸出分別為1Vj n1 ji

13、n O0(0-2)Oi1Vj n j 1,2,3,., Q其中，w為隱含神經(jīng)元的突觸權(quán)值，W0表示神經(jīng)元的偏置，Q 為隱含神經(jīng)元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，隱含神經(jīng)元的激活函數(shù)取雙曲正切函數(shù)x tanh xX eX eX e(0-3)X e網(wǎng)絡(luò)輸出層的誘導(dǎo)局部域和輸出分別為Q2 2VknWkjj 0n O1n(0-4)22Ok n f vk nk1,2,3(0-5)kp O； nki O； n(0-6)kd O3 n考慮到輸出參數(shù)不能為負(fù)值，所以激活函數(shù)采用非負(fù)函數(shù)(0-7)1exf x 1 tanh x -ex ex控制率為(0-8)de t Mctkp e t k e tkd dt采用BP學(xué)習(xí)算法，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的

14、突觸權(quán)值進(jìn)行迭代修正，并附加一個(gè)使搜索快速收斂的全局極小的動(dòng)量項(xiàng)。定義系統(tǒng)的代價(jià)函數(shù) 為。(0-9)t -e222-Wkjtt7WkjtO1 ndw： t dt dw； t(0-10)dt其中，yita是學(xué)習(xí)率,則，局部梯度可計(jì)算如下alpha是動(dòng)量因子，根據(jù)微分鏈?zhǔn)揭?guī)t(0-11)Mc t2Ok tXk t(0-13)2tyoutt u t Ok t2 2yout t u tOkt Vk t由于輸出對(duì)控制量的偏導(dǎo)未知，所以用符號(hào)函數(shù)近似表示， 由此帶來(lái)的計(jì)算不精確的影響盡量由調(diào)整學(xué)習(xí)率來(lái)補(bǔ)償。由控制 方程不難得到de tMetX' kp e tki e t dt kd(0-12)dt

15、將所有公式整合，不難得到神經(jīng)元 k的局部梯度為e t sgnyout tMH(0-14)由此可得，網(wǎng)絡(luò)輸出層神經(jīng)元的突觸權(quán)值調(diào)整的修正公式為wj tk t O1 twj'dt(0-15)同理，可得隱含層神經(jīng)元的突觸權(quán)值學(xué)習(xí)算法。W；' t J t Oi0 tw；i " t dt(0-16)其中，神經(jīng)元j的局域梯度為31 1 2 2j t ' Vj t k t Wk t(0-17)至此，本文采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理已介紹完成，考慮到本次仿 真過(guò)程采用的變時(shí)間步長(zhǎng)仿真方式類似于連續(xù)仿真，故在上文公 式中將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中所有離散部分連續(xù)化?，F(xiàn)將網(wǎng)絡(luò)工作過(guò)程歸納 如下。 初始化確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，確定輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù) M和隱含層節(jié)點(diǎn) 數(shù)Q并給出各層突觸權(quán)值的初值，選擇學(xué)習(xí)率