勾股定理知識點與常見題型總結(jié)

1、學(xué)習必備精品學(xué)問點第 18 章勾股定理復(fù)習一學(xué)問歸納 勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；222表示方法：假如直角三角形的兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為 c ，那么 abc勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)覺并證明白直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法許多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要

2、沒有重疊，沒有間隙，面積不會轉(zhuǎn)變依據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：2方法一： 4sss， 41 ab2bac ，化簡可證正方形 efgh正方形 abcd2dchegfbaacb方法二：baaccbcbcaab四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為s41 abc2222abc大正方形面積為sab 2a 22abb2222所以 abc方法三：s梯形1 ab ab ，s梯形2s ades abe21 ab1 c 2 ，化簡得證222學(xué)習必備精品學(xué)問點aadbcceabbc .勾股定理的適用范疇勾股定理揭

3、示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特點，因而在應(yīng)用勾股定理時，必需明白所考察的對象是直角三角形 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在abc 中，c90，就 ca2b 2 ， bc2a2 ， ac2b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系2可運用勾股定懂得決一些實際問題 .勾股定理的逆定理22假如三角形三邊長a ， b ， c 滿意 abc ，那么這個三角形是直角三角形，其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定ab 與較長邊的平方

4、222三角形的可能外形，在運用這肯定理時，可用兩小邊的平方和222c 作比較，如它們相2等時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形；如a bc ，時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是鈍2b角三角形；如a22c ，時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是銳角三角形；22定理中 a ， b ， c 及 a 2bc 只是一種表現(xiàn)形式，不行認為是唯獨的，如如三角形三邊長a ， b ， c22滿意 acb ，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形

5、222 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即稱 a ， b ， c 為一組勾股數(shù)abc 中， a ， b ， c 為正整數(shù)時，記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)：22n1,2n, n1 （ n2, n 為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2 n 22n1 （ n 為正整數(shù)）m2n2 ,2 mn, m2n 2 （ mn,m ， n 為正整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫忙我們解決直角三角形中的邊長的運算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必需把握直角三

6、角形的前提條件，明白直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行運算，應(yīng)設(shè)法添加幫助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫忙我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判定一個三角形是否是直角三角形，在詳細學(xué)習必備精品學(xué)問點推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不行不加摸索的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或詳細的幾何問題中，是密不行分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成

7、，完成對問題的解決常見圖形：ccc30°abadbbdacbda題型一：直接考查勾股定理例 .在abc 中，c90 已知 ac已知 ab6 ， bc17， ac8 求 ab 的長22215 ，求 bc 的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a bc解：2abac2bc10 bcab2ac 28題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例 .在abc 中，acb90 ， ab5 cm ， bc3 cm ， cdab 于 d ， cd 已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4 ，斜邊長為 15，就這個三角形的面積為已知直角三角形的周長為30 cm ，斜邊長為 13 cm ，就這個三角形的面積為分析：在解直角三角形時

8、，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積有時可依據(jù)勾股定理列方程求解解： acab2bc24 ， cdacbc ab2.4adbc22學(xué)習必備精品學(xué)問點2設(shè)兩直角邊的長分別為3k ， 4k3k 4k 15，k3 ， s542設(shè)兩直角邊分別為a ， b ，就 ab17 ， a 2b 289 ，可得 ab60s1 ab30cm22例 .如圖abc 中，c90，12 ， cd1.5， bd2.5 ，求 ac 的長cd12aeb分析：此題將勾股定理與全等三角形的學(xué)問結(jié)合起來解：作 deab 于 e ，12 ，decd在bde 中c901.522bed90 , bebdde2rt ac

9、drt aed acae在 rt abc 中，c9022abacbc例 4.如圖 rt abc ，2， aec90eb2acac 23, bc4 2ac34 ,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積cab答案： 6題型三：實際問題中應(yīng)用勾股定理例 5.如圖有兩棵樹，一棵高8 cm ，另一棵高2 cm ，兩樹相距8 cm ，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了maedbc學(xué)習必備精品學(xué)問點分析：依據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖ab8m ， cd2 m ， bc8 m ，過點 d 作 deab ，垂足為 e ，22就 ae6 m ， de8 m在 rt ade 中，由勾股定理得答案： 10 madaede10題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三邊長為a ， b ， c ，判定abc 是否為 rt a1.5， b2 ， c2.55 a， b22222241， c23解：ab1.526.25 ， c2.56.25abc 是直角三角形且c902213225222bc， a， bcaabc 不是直角三角形916例 7.三邊長為 a ， b ， c 滿意 ab222解：此三角形是直角三角形10 ， ab18 ， c8的三角形是什么外形？理由：abab2ab64 ，且2c64222abc所以此三角形是直角三角形題型五：勾股定理與勾股定