拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全

1、拋物線及其性質(zhì)1.拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.2.拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形*導(dǎo)參數(shù)P幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程2-y 2px(p o)2- ，一、y2PMp 0)2-x 2py(p 0)2x 2py(p 0)焦點(diǎn)位置X正X負(fù)丫正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)喙0)(京)嗚)。1)準(zhǔn)線方程x R2p x 2py 2py -2范圍x 0, y Rx 0, y Ry 0,x Ry 0,x R對(duì)稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)離心率e 1通徑2p焦半徑A(xi,y。AF x1 2AFx1 2AF y1 2A

2、F 1焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB|(x1 x2) p(x1 x2) p(y v) p(y y2) p焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB的補(bǔ)充A(xi,yi)B(x2, v2以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切若AB的傾斜角為 ，1ABi _2£_ sin2若AB的傾斜角為，則AB2P2 cos2p2x x2V1y2p411 AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p3 .拋物線y2 2 Px(p 0)的幾何性質(zhì)：(1)范圍：因?yàn)镻>0,由方程可知x>0,所以拋物線在 y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大,說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向.頂點(diǎn)

3、(0, 0),離心率：e 1,焦點(diǎn)F(衛(wèi),0)，準(zhǔn)線x 上，焦準(zhǔn)距p. 22(4)焦點(diǎn)弦：拋物線 y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)弦 AB, A(xi,yi), B(X2,y2),則 | AB| Xi X2 p .弦長(zhǎng)|AB|=x 1+X2+P，當(dāng)Xi=X2時(shí)，通徑最短為 2p。4 .焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦AB, A(xi，yi), B(X2,y2),焦點(diǎn)F(-,0)22 若AB是拋物線y2 2pX：p 0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且A(X,yi), B%, y2),則：為為,42yy2p。(2)(4)若AB是拋物線y2 2pX：p 0)的焦點(diǎn)弦，且直線 AB的傾斜角為“，則1AB11已知直線A

4、B是過拋物線y2 2px(p 0)焦點(diǎn)F , AF BFAF BFAF ?BF焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為 2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑.2 P ( a W 0)。2sinAB 2AF ?BF p11(5)兩個(gè)相切：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線, 以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5 .弦長(zhǎng)公式：A(xi, yi) , B( X2, y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則ABJ(XX2)2(y訴& k2|xiX2 |(1J | yiy? |6,直線與拋物線的位置關(guān)系直線/。=既+ ",拋物線匚/三2產(chǎn)工，ry|y 二 2p消y得：

5、二八2因-(1)當(dāng)k=0時(shí)，直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；(2)當(dāng) kw0 時(shí)，A>0,直線l與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)；A=0,直線l與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)；A< 0,直線l與拋物線相離，無公共點(diǎn)。(3)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定) 7.關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線l ： y kx b 拋物線b寸二2科,(p 0)聯(lián)立方程法：y kx b y2 2pxk2x2 2(kb p)x b2 0設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(xyj , B(x2, y2),則有 0 ,以及x1 X2, X1X2 ,還可進(jìn)一步求出22yiyk'bkx

6、2bk(x1X2)2b,yiy2(kxb)(kx2b) kX1X2kb(xX2) b在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱，面積等問題時(shí)，常用此法，比如a.相交弦AB的弦長(zhǎng) fAB| V1 k2|x1 x2| V1 k2J(x1 x2)2 4x1x2 t1 k2 Taab.中點(diǎn) M(x0,y0),X0y2-12 (yi y2)2 4y1y2 k1 k2 aXiX2yiy2，y。22點(diǎn)差法:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xi, yi),B(x2,y2),代入拋物線方程，得2yi 2 pxi將兩式相減，可得2y22 pX2(yi y2)(yi y) 2p(x1 X2)yiy2 2pXiX2yiy2a.在涉及斜率問題時(shí)，kAB

7、2pyiy2b.在涉及中點(diǎn)軌跡問題時(shí)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M (x0, y0),yiy2XiX22p 2p pyi y22 y0 y0即 kAB R , y0同理，對(duì)于拋物線X2 2py(p 0),若直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M (X0, y°)是弦AB的中點(diǎn)，則有kAB0 x0 2p 2p p(注意能用這個(gè)公式的條件：D直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2)直線的斜率存在, 且不等于零)【經(jīng)典例題】(1)拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1,這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在

8、圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好的1,既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章【例1】P為拋物線y2 2px上任一點(diǎn),F為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與丫軸( )A相交B.相切C.相離【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為.作PHL l于H,交y軸于2Q那么PFPH且QHOFp ,.作MNLy軸于N則MN是梯形PQOF勺2中位線,MNOFPQ1 ” , 一 PF .故以 2PF為直徑的圓與y軸相切,選B.D.位置由P確定(1) AB x1 x2 p(2)AF1BF【證明】(1)如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 l ,作AA1 l A,BB l于B1,則 AF |AA| xBFBB1 x2 R.兩式相加即得：2AB x1 x2

9、 p(2)當(dāng)AB! x軸時(shí)，有AF BFp,1 _1AF BF2成立;p當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為:x Ip.代入拋物線方程:【評(píng)注】相似的問題對(duì)于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則 分別是相離或相交的.(2)焦點(diǎn)弦一一?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的.A Oy ,B x2, y?兩點(diǎn) , 求證:【例2】過拋物線y2 2px p 0的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于k2 x2 Px.化簡(jiǎn)得:k2 22匕k2 04方程(1)之二根為X1 , X2X1X21AF1BF1AABB1X1X2X1X2X1 _P 2X2PX1X

10、22p4X1X2 pX1X222PPPX1X2424P x2 X1X2P故不論弦AB與X軸是否垂直，恒有AFBF2成立.P（3）切線一一拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān) 基本功.理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的【例3】證明：過拋物線 y2 2Px上一點(diǎn)M (x。,y0）的切線方程是：y0y=p （x+x。）【證明】對(duì)方程y2 2Px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2y y2 p, y2.切線的斜率y-2Q y。x m 衛(wèi).由點(diǎn)斜式方程： y y0 衛(wèi)x x0y。y。2 P%,代入（）1 即得：y 0y=P （x+x。）（4）定點(diǎn)與定值一一拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不

11、易發(fā)現(xiàn), 到的收獲.例如：1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線A 4,0B. 2,0顯然.本題是例2.拋物線y22y°ypx pxo y。卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會(huì)有意想不y2 8x上，且動(dòng)圓恒與直線 x 2 0相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)C. 0,2D. 0, 21的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選 B.2 pX的通徑長(zhǎng)為2p；3.設(shè)拋物線y2 2Px過焦點(diǎn)的弦兩端分別為 A x1,y1，B X2,y2 ,那么：y必以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線y2 2Px的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是 AB,證明：以為直徑的圓必過一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么 AB=AB=

12、2r而A1B1與AB的距離為p,可知該圓 必過拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點(diǎn) .以下我們對(duì)AB的一般情形給于證 明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為Ax1,y1 ,B x2,y2 ,那么：丫佻p2 |CA CR必打2 p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交 x軸于C,那么CF p.2一AFB中 CF CA CB .故 A1FB1 90這就說明：以 A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn) 通法特法妙法（1）解析法一一為對(duì)稱問題解困排難vC解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對(duì)稱問題A.3B.4C.3 - 2D.4 2【例5】（10.四川文科卷.10題

13、）已知拋物線 y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A、B,則 |AB|等于（）設(shè)AB的中點(diǎn)為M（X。y。）,則 x0x222.代入1 x+y=0 : yo=.故有 M2從而m y x 1.直線AB的方程為:1.方程（1）成為：x2 x 2 0 .解得:x 2,1 ,從而 y 1,2 ,故得：A (-2-1 )，B (1, 2)AB 3女，選C.【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點(diǎn) A、B關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，設(shè)直線 AB的方程為:y x m.設(shè)方程（1）之兩根為Xi , X2,則x1X21 .（2）幾何法一一

14、為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計(jì)算，這 又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)題望而生畏.針對(duì)這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法【例6】（11.全國(guó)1卷.11題）拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為l ,經(jīng)過F且斜F(1,0)為聒的直線與拋物線在 x軸上方的部分相交于點(diǎn) A , AKU ,垂足為K ,則4AKF的面積()A. 4B. 3x/3C. 473D. 8【解析】如圖直線 AF的斜率為73時(shí)/AFX=60° . AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線l交x軸于M則FM p 2,一J3 2 L且/ KFM=60

15、, KF 4,Sakf 4473.選 C.4【評(píng)注】(1)平面幾何知識(shí)：邊長(zhǎng)為 a的正三角形的面積用公式SY3a2計(jì)算.4(2)本題如果用解析法， 需先列方程組求點(diǎn) A的坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形的邊長(zhǎng)和面積 .雖不是很 難，但決沒有如上的幾何法簡(jiǎn)單.(3)定義法一一追本求真的簡(jiǎn)單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難 .但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡(jiǎn)單【例7】(07.湖北卷.7題)雙曲線22Ci :x7 yY 1(a 0, b 0)的左準(zhǔn)線為l ,左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為Fi和F2;拋物線C2的線為a bl ,焦點(diǎn)為F2；Ci與C2的一個(gè)交點(diǎn)為 M,則注目MFi團(tuán)等干MF2A.1B. 1C.

16、-D. 122【分析】 這道題如果用解析法去做，計(jì)算會(huì)特別繁雜，而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上，那么就從 最原始的定義方面去尋找出路吧 .如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作 MH l于H ,令MF1 A, MF2 。二.點(diǎn)M在拋物線上，. MF1 MF1I r1MHMF2 r2,故；e,MH| MF2| r2這就是說：|MFL|的實(shí)質(zhì)是離心率e.IMF2I其次，叵旦|與離心率e有什么關(guān)系？注意到:IMFJF1F2 2c e 2a e ri 2d 1 de 1 - e 1.MF1r1r1rle|F1F2|MF1|/這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于LJ-2JUe 1

17、e 1.，選a.|MF1| |MF2|(4)三角法一一本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”一一達(dá)到解題目的因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡(jiǎn)化計(jì)算【例8】(09.重慶文科.21題)如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過物線y2 8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)。(I )求拋物線的焦點(diǎn) F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；(n )若a為銳角，作線段 AB的垂直平分線 m交x軸于點(diǎn)P,證明|FPHFP|cos2a為定值，并求此定值?！窘馕觥?I)焦點(diǎn)F (2, 0),準(zhǔn)

18、線l；x 2 .(n)直線 AB ： y tan x 228y16tan 0x 代入(1),整理得：y2 tan設(shè)方程(2)之二根為y% y2,則V1V2ViV28tan16設(shè)AB中點(diǎn)為M x0,y0，則V。x。y12 cotV2y。4 tan 24cot4cot22AB的垂直平分線方程是:4cotcot4cot2令 y=。，貝U x 4cot26,，2_有 P 4cot 6,故FPOPOF.2_ _.24cot6 2 4 cot21 4cos22于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc 1 cos2 4csc22sin28,故為定值.(5)消去法一一合理減負(fù)的常用方法 .避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題 不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而例9是否存在同時(shí)滿足下列兩條件的直線I： (1) l與拋物線y2 8x有兩個(gè)不同的交點(diǎn) a和8B; (2)線段AB被直線11 : x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線 l的方程.【解析】假定在拋物線2y2 8x上存