（人教B版必修5）第二章數(shù)列章末回顧學(xué)案（含答案）

1、本章回顧兩種數(shù)列的基本公式及性質(zhì)等差數(shù)列an等比數(shù)列an定義an1and (d為常數(shù)) 等價(jià)形式an1an12anq (q0)(q為常數(shù))等價(jià)形式an1·an1a (an0)通項(xiàng)公式ana1(n1)d變形：anam(nm)dana1·qn1變形：anam·qnm中項(xiàng)a，A，b成等差數(shù)列A(A稱為a，b的等差中項(xiàng))a，G，b成等比數(shù)列G± (ab>0)(G稱為a，b的等比中項(xiàng))前n項(xiàng)和公式Snna1dq1時(shí)，Snna1q1時(shí)，Sn基本性質(zhì)若mnpq，則amanapaq若mnpq，則am·anap·aq若mn2p，則aman2ap若

2、mn2p，則am·anaan是常數(shù)列d0an是常數(shù)列q1an遞增d>0an遞增或an遞減d<0an遞減或Sm、S2mSm、S3mS2m成等差數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m成等比數(shù)列(q1或m為奇數(shù))若項(xiàng)的下標(biāo)成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項(xiàng)成等差數(shù)列若項(xiàng)的下標(biāo)成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列若an，bn成等差數(shù)列，則anbn，anbn成等差數(shù)列an，bn成等比數(shù)列，則，an·bn成等比數(shù)列1 / 6一、取倒數(shù)法和取對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)例1已知數(shù)列an滿足an1，a12.求an.解對(duì)an1兩邊取倒數(shù)得：，n1.令bn，則bn1bnn1.bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn

3、1)123n1n.an.例2在數(shù)列an中，an13a，a13.求an.解由已知，an>0，對(duì)an13a兩邊取常用對(duì)數(shù)得：lg an12lg anlg 3.令bnlg an.則bn12bnlg 3.bn1lg 32(bnlg 3)bnlg 3是等比數(shù)列，首項(xiàng)是b1lg 3lg 3lg 32lg 3.bnlg 32n1·(b1lg 3)2nlg 3.bn(2n1)lg 3lg 32n1lg an.an32n1.二、運(yùn)用恒等變形求數(shù)列前n項(xiàng)和例3已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的nN*滿足2Sn3an3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是b

4、n，前n項(xiàng)和為Tn，求證：對(duì)于任意的正數(shù)n，總有Tn<1.(1)解由已知得 (n2)故2(SnSn1)2an3an3an1，即an3an1 (n2)故數(shù)列an為等比數(shù)列，且q3.又當(dāng)n1時(shí)，2a13a13，a13.an3n.(2)證明bn.Tnb1b2bn1<1.例4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)(n，Sn)都在函數(shù)f(x)2x24的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnan·log2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意，Sn2n24，n2時(shí)，anSnSn12n22n12n1，當(dāng)n1時(shí)，a1S12344，也適合上式，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a

5、n2n1，nN*.(2)bnanlog2an(n1)·2n1，Tn2·223·234·24n·2n(n1)·2n1，2Tn2·233·244·25n·2n1(n1)·2n2.得，Tn232324252n1(n1)·2n223(n1)·2n22323(2n11)(n1)·2n2(n1)·2n223·2n1(n1)·2n22n2n·2n2.三、運(yùn)用方程(組)的思想解數(shù)列問題例5等差數(shù)列an中，a410，且a3，a6，a1

6、0成等比數(shù)列，求數(shù)列an前20項(xiàng)的和S20.解設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a3a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d.由a3，a6，a10成等比數(shù)列得a3a10a，即(10d)(106d)(102d)2，整理得10d210d0，解得d0或d1.當(dāng)d0時(shí)，S2020a4200.當(dāng)d1時(shí)，a1a43d103×17.S2020a1d20×7190330.例6已知數(shù)列an和bn滿足a1m，an1ann，bnan.(1)當(dāng)m1時(shí)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，數(shù)列an一定不是等差數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列(1)證明當(dāng)m1時(shí)，a11，a21，a3(1)222

7、.假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，由a1a32a2，得232(1)，即210，3<0，方程無(wú)實(shí)根故對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，數(shù)列an一定不是等差數(shù)列(2)解當(dāng)時(shí)，an1ann，bnan.bn1an1anbn.又b1mm，當(dāng)m時(shí)，數(shù)列bn是以m為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；當(dāng)m時(shí)，數(shù)列bn不是等比數(shù)列四、運(yùn)用函數(shù)的思想解數(shù)列問題例7設(shè)bn(1r)qn1，r219.21，q，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值解1.記cn，則cn1.作出函數(shù)y1的圖象易知：c20<c19<<c1<1，c21>c22>>1.最高點(diǎn)為(21，c21)，最低點(diǎn)(20，c20)最大項(xiàng)為c21，c212.2

8、5，最小項(xiàng)為c20，c204.五、構(gòu)建數(shù)列模型解實(shí)際應(yīng)用題例8甲、乙兩大超市同時(shí)開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬(wàn)元，由于經(jīng)營(yíng)方式不同，甲超市前n年的總銷售額為(n2n2)萬(wàn)元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多an1萬(wàn)元(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達(dá)式；(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)，判斷哪一超市有可能被收購(gòu)？如果有這種情況，將會(huì)出現(xiàn)在第幾年？解(1)設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an，bn.則有：a1a，n2時(shí)：an(n2n2)(n1)2(n1)2(n1)a.anbnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)aaa2an1a

9、，(nN*)(2)易知bn<3a，所以乙將被甲超市收購(gòu)，由bn<an得：a<(n1)a.n4n1>7，n7.即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購(gòu)例9某油料庫(kù)已儲(chǔ)油料a t，計(jì)劃正式運(yùn)營(yíng)后的第一年進(jìn)油量為已儲(chǔ)油量的25%，以后每年的進(jìn)油量為上一年底儲(chǔ)油量的25%，且每年運(yùn)出b t，設(shè)an為正式運(yùn)營(yíng)第n年底的儲(chǔ)油量(1)求an的表達(dá)式并加以證明；(2)為應(yīng)對(duì)突發(fā)事件，該油庫(kù)年底儲(chǔ)油量不得少于a t，如果ba t，該油庫(kù)能否長(zhǎng)期按計(jì)劃運(yùn)營(yíng)？如果可以請(qǐng)加以證明，如果不行請(qǐng)說(shuō)明理由(取lg 20.30，lg 30.48)解(1)依題意油庫(kù)原有儲(chǔ)油量為a

10、t，則a1(125%)abab，an(125%)an1ban1b (n2，nN*)，令anx(an1x)，則anan1，于是b，即x4b，an4b(an14b)，數(shù)列an4b是公比為，首項(xiàng)為a5b的等比數(shù)列an4b(a14b)n1n1na5b·n1，anna4b5bn1na4b.(2)若ba t時(shí)，該油庫(kù)第n年年底儲(chǔ)油量不少于a t，即na×4×aa，即n3，nlog 34.8，可見該油庫(kù)只能在5年內(nèi)運(yùn)營(yíng)，因此不能長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)1等差數(shù)列性質(zhì)多，三點(diǎn)共線可求和例1在等差數(shù)列an中，S1020，S50200，求S2 010的值解由SnAn2Bn，知AnB，所以點(diǎn)在直線yAxB上，于是點(diǎn)，三點(diǎn)共線，成立把S1020，S50200代入上式，解得：S2 010205 020.2數(shù)列圖象莫輕視，大題小作顯神奇例2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1>0，S12>0，S13<0，指出S1，S2，S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由？解an是等差數(shù)列，Snn2n，S12>0，S13<0.a13S13S12<0，a1>0，a13<0，d<0.點(diǎn)(n，Sn)分布在開口方向