必修4__三角函數(shù)知識點歸納總結(jié)2

1、【學(xué)問網(wǎng)絡(luò)】三角函數(shù)應(yīng)用弧長公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式誘導(dǎo)應(yīng)用公式運算與化簡證明恒等式任意角的概念應(yīng)用角度制與弧度制任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)應(yīng)用已知三角函數(shù)值求角和角公式應(yīng)用倍角公式應(yīng)用差角公式應(yīng)用一、任意角的概念與弧度制1、將沿 x 軸正向的射線，環(huán)繞原點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角.逆時針旋轉(zhuǎn)為正角 ，順時針旋轉(zhuǎn)為負角 ，不旋轉(zhuǎn)為零角2、同終邊的角可表示為kg360kzx 軸上角：k g180okzy 軸上角：90okg180okz3、第一象限角：0kg36090okg360kz其次象限角：90okg360180okg360kz第三象限角：180ok g360270ok g360k

2、z第四象限角：270ok g360360ok g360kz4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于90o 的角第一象限角：0kg36090okg360kz銳角：090o小于 90o 的角：90o5、如為其次象限角，那么為第幾象限角？22k2k2kk422k0,42k1, 53,42所以在第一、三象限26、弧度制：弧長等于半徑時，所對的圓心角為1弧度的圓心角，記作1rad .7、角度與弧度的轉(zhuǎn)化：130456090o1201351501802358、角度與弧度對應(yīng)表： 角度0弧度01800.01745118057.3057 18360264323469、弧長與面積運算公式弧長： lr ；面積： s1 l

3、r1r2 ，留意：這里的均為弧度制 .22二、任意角的三角函數(shù)y1、正弦： sinr；余弦 cosxy；正切 tanrxpx, yr其中x, y為角終邊上任意點坐標(biāo)，rx2y2 .2、三角函數(shù)值對應(yīng)表：6432度0o30o45o60o90o120o135o150o180o270360o弧度0235323462sin01223132122222010cos13210222123101222tan03313無31330無03、三角函數(shù)在各象限中的符號口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦. （簡記為“全s t c”）sintancos第一象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,其次象限：

4、 .x0, y0sin0,cos0,tan0,第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,4、三角函數(shù)線設(shè)任意角的頂點在原點o ，始邊與 x 軸非負半軸重合， 終邊與單位圓相交與p x, y ，過 p 作 x 軸的垂線，垂足為m ；過點延長線交于點t.a1,0 作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向yytppamoxaomx（）t（）ytymp由四個圖看出：ao x（）mao xpt（）當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段yyomx, mpy ，于是有x xsinympr1，cosxomr1，tanympatat xomoa我們就

5、分別稱有向線段mp , om, at 為正弦線、余弦線、正切線；5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin 2tancos2sin cos1tangcot1sincos212 sincossin2cos12 sincos sincos， sincos， sin. cos，三式之間可以相互表示6、誘導(dǎo)公式n口訣：奇變偶不變 , 符號看象限 所謂奇偶指的是2n中整數(shù) n 的奇偶性， 把看作銳角 nsin n1 2 sin, n為偶數(shù)； cos n12 co s,n為偶數(shù).2n 11 22co s, n為奇數(shù)n 11 2sin, n為奇數(shù). 公式（一）：與2k, kzsin2 ksin； cos2kcos；

6、tan2 ktan. 公式（二）：與sinsin； coscos； tantan. 公式（三）：與sinsin； coscos； tantan. 公式（四）：與sinsin； coscos； tantan. 公式（五）：與2sin2cos； cos2sin；. 公式（六）：與2sin2cos； cos2sin；. 公式（七）：與 323sincos2. 公式（八）：與 323sincos23； cossin；23； cossin；2三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1 、將函數(shù)ysinx 的圖象上全部的點，向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)y sinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上全部點的橫坐標(biāo)伸長

7、（縮短）到原先的 1 倍（縱坐標(biāo)不變） ，得到函數(shù)ysinx的圖象； 再將函數(shù)ysinx的 圖 象 上 所 有 點 的 縱 坐 標(biāo) 伸 長 （ 縮 短 ） 到 原 來 的 a 倍 （ 橫 坐 標(biāo) 不 變 ）， 得 到 函 數(shù)ya sinx的圖象；2、函數(shù)ya sinxa0,0的性質(zhì)：振幅：a ；周期： t21；頻率：ft；相位：x；初相：；23、周期函數(shù)：一般地，對于函數(shù)fx ，假如存在一個非零常數(shù)t ，使得定義域內(nèi)的每一 個 x 值，都滿意fxtfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，t 叫做該函數(shù)的周期.4、 ya sinx對稱軸：令kxk，得 x22對稱中心：xk，得 xk， k,0kz ；

8、ya cosx對稱軸：令xk，得 xk；對稱中心：x周期公式 :kk，得 x22k， 2,0 kz ；函數(shù)ya sinx 及 ya cosx 的周期 t2a 、為常數(shù)，且a0.函數(shù) ya tanx的周期 ta 、為常數(shù)，且a0.5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格性函 數(shù)y質(zhì)sin xycosxytan x圖像定義rr域值x xk,kz2r1,11,1域當(dāng) x2kkz時，2當(dāng) x2kkz時，ymax1 ；最值當(dāng) x2kkz時，ymax1 ；當(dāng) x2k既無最大值也無最小值2ymin1 kz時， ymin1 周期22性奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)性在2 k,2k 22在2k,2 kkz單kz上是增函數(shù)；調(diào)性3在

9、 2k上是增函數(shù)；,2 kkz在k, k22在2 k,2kkz上是增函數(shù)22kz上是減函數(shù)上是減函數(shù)對對稱中心k,0kz對稱中心kk,0kz稱2對稱中心,0kz 2性對稱軸 xkkz 2對稱軸 xkkz無對稱軸6. 五點法作ya sinx 的簡圖 ，設(shè) tx，取0、 3、 2來求相22應(yīng) x 的值以及對應(yīng)的y 值再描點作圖；7. ya sinx的的圖像8. 函數(shù)的變換：（1）函數(shù)的平移變換 yf xyf xaa0將 yf x 圖像沿 x 軸向左（右）平移a 個單位（左加右減） yf xyf xbb0將 yf x 圖像沿 y 軸向上（下）平移b 個單位（上加下減）（2）函數(shù)的伸縮變換： yfxy

10、f wx w0將 yf x 圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原先的1 倍（ ww1縮短，0w1伸長） yfxyaf x a0將 yf x 圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原先的 a 倍（ a1伸長， 0a1縮短）（3）函數(shù)的對稱變換：yf xyf x 將 yf x 圖像繞 y 軸翻折 180°（整體翻折）（對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于x 軸對稱）yf xyf x 將 yf x 圖像繞 x 軸翻折 180°（整體翻折）（對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y 軸對稱） yf xyf x 將 yf x 圖像在 y 軸右側(cè)保留， 并把右側(cè)圖像繞y 軸翻折到左側(cè)（偶函數(shù)局部翻折） yf xyf x 保留 y

11、f x 在 x 軸上方圖像， x 軸下方圖像繞x 軸翻折上去（局部翻動） 四、三角恒等變換1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：1 ） sin2 ） sinsincossincossinsincoscos3 ） cos4 ） coscos coscos cossinsinsinsin5 ）tantantantantantan1tantan1tantan6 ）tantantantantantan1tantan7a sin1b costan=a2tanb2 sin 其中 , 幫助角所在象限由點 a, b 所在的象限打算 ,sinba 2b2,cosaa2b 2, tanb，該法也叫合一變形.a8

12、1 1tan tantan41tan1tantan42. 二倍角公式（1） sin 2a2 sin a cosa（2） cos 2acos2 asin 2 a1 2 sin 2 a2 cos2 a1（ 3）tan 2a2 tan a1tan 2 a3. 降冪公式：cos2 a1cos 2a（ 2）sin2 a1cos 2a（ 1）224. 升冪公式（1） 1cos2 cos22（ 2） 1cos2sin 22（3） 1sinsin2cos22（ 4） 1sin 2cos2（5） sin2 sincos225. 半角公式 （符號的挑選由所在的象限確定）2sin a（1）21cosa，2（ 2）c

13、os a21cosa，2atan（3）21cos a1cos asin a1cos a1cos a sin a6. 萬能公式 :（1） sin2 tan21tan22,（ 2）cos1tan22 ,1tan22（3） tan2 tan22.1tan27. 三角變換：三角變換是運算化簡過程中運用較多的變換，提高三角變換才能，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，敏捷運用三角公式，把握運算、化簡的方法技能；（ 1）角的變換：角之間的和差、倍半、互補、互余等關(guān)系對角變換，仍可作添加、刪除角的恒等變形（ 2）函數(shù)名稱變換：三角變形中經(jīng)常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)；采納公式：a sinbcosa2b2 sin 其中cosaa

14、2b2,sinba2b2 ，比ysin x如：3 cos x123 2 1213 2sin x3123 2cos x12sin x23cos x22sin xcos3cosx sin 32 sinx3（ 3）留意“湊角”運用：，12例如： 已知、 3,4 , sin3 ，sin512413，就 cos.4（ 4）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算、求值、證明中有時候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“ 1”可轉(zhuǎn)化為“sin 2cos2”（ 5）冪的變換：對次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采納降冪處理，有時需要升冪例如：1cos a常用升冪化為有理式；（ 6）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)嫻熟把握三角公式的順

15、用、逆用及變形；（ 7）結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中經(jīng)常對條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，或重新分組，或移項，或變乘為除， 或求差等等； 在形式上有時需要和差與積的互化、分解因式、 配方等；（ 8）消元法：假如所要證明的式子中不含已知條件中的某些變量，可用此法（ 9）思路變換：假如一種思路無法再走下去，試著轉(zhuǎn)變自己的思路，通過分析比較去挑選更合適、簡捷的方法去解題目；（ 10）利用方程思想解三角函數(shù)；如對于以下三個式子：sin acosa， sin acosasin acosa ，已知其中一個式子的值，其余二式均可求出，且必要時可以換元；8. 函數(shù)的最值 （ 幾種常見的函數(shù)及其最值的求法）：22 ya sin xb （或a cos xb 型：利用三角函數(shù)的值域，須留意對字母的爭論 ya sin xb cos x 型：引進幫助角化成yabsinx 再利用有界性 ya sin 2 xb sin xc 型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)留意sin x1的約束 ya sin