線性代數(shù)總結(jié)

1、第二章 矩陣及其運算矩陣是線性代數(shù)主要研究對象，是求解線性方程組的一個有力工具，它在自然科學(xué)、工 程技術(shù)及經(jīng)濟問題等各個領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。本章的教學(xué)基本要求：理解矩陣概念并掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律;理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣存在的條件，了解求逆矩陣的伴隨矩陣法；熟練掌握利用逆 矩陣求解矩陣方程的方法；了解單位矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質(zhì)；了解分塊矩陣及 其運算。本章的重點及難點：矩陣的各種運算及其運算規(guī)律，尤其矩陣的乘法；逆矩陣存在的條 件，利用伴隨矩陣法會求逆矩陣，主要是二階和特殊的三階矩陣的逆矩陣；用逆矩陣求解矩 陣方程。§1矩陣的概念、內(nèi)容提要1.

2、矩陣定義 由m n個數(shù)排成的 m行n列的矩形數(shù)表aiia21©mlai2a229am2aina2na mn稱為一個 mx n矩陣，其中aij表示位于數(shù)表中第i行第j列的數(shù)（i=1,2,，m ； j=1,2,n ）。aij又稱為矩陣的元素。規(guī)定，1 x 1矩陣（a） =a。矩陣也可表示為（aj）或（aj）mn。如果不需要表示出矩陣的元素，通常用大寫英文字母 表示矩陣，如：A, B ,.，或Am n， Bm n ,元素都是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣；有復(fù)數(shù)元素的矩陣稱為復(fù)矩陣。若兩個矩陣的行數(shù)、列數(shù)分別相等，則稱它們是同型矩陣。矩陣A= aH, B= 6是同型矩陣。若它們的對應(yīng)元素相等，即ij

3、 mij mxnaj -bji =1,2 m; j =1,2 n那么稱矩陣 A與矩陣B相等，記作： A = B。2. 特殊矩陣零矩陣 所有元素都為零的矩陣稱為零矩陣。如一個m n的零矩陣為0000mms0、0>m< nA=a21*p0行矩陣僅有一行的矩陣稱為行矩陣（也稱為行向量），如A= aii ai2 aln也記為A= aii, ai2,ain列矩陣僅有一列的矩陣稱為列矩陣（也稱為列向量），如記為0用。在不會引起混淆的情形下，也可記為0。48®1 方陣 行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣，例如A=aiia2iai2am 'a22a2naalanian2ann ,稱為n

4、 ：<n方陣，常稱為n階方陣或n階矩陣，簡記為A=(aj n。在n階方陣中，過aii , a22，八,ann兀素的直線，稱為方陣的主對角線，主對角線上的兀素稱為主對角兀。對角矩陣主對角元以外的元素全為零的方陣稱為對角矩陣。如. f-2A =+.°<九n丿矩陣A中未寫出來的元素為0。E或I。有時為了表明矩單位矩陣主對角元全為 1的對角矩陣稱為單位矩陣。簡記為陣的階數(shù)，將階數(shù)寫在下標處，如1En =+.I 5表示n階單位矩陣。數(shù)量矩陣主對角元全相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣。如c三角矩陣主對角線下（上）方的元素全為零的方陣稱為上（下）三角矩陣。如，aa aa11 a12a1na2

5、2a2n+ .aIann j為n階上三角矩陣；缶'a21 a22aa+an1 an2ann為n階下三角矩陣。二、例題分析矩陣理論在自然科學(xué)、工程技術(shù)及經(jīng)濟領(lǐng)域中，都有廣泛的應(yīng)用。下面舉幾個例子，說明矩陣概念的實際背景。例1在國民經(jīng)濟的數(shù)學(xué)問題中，常常用到矩陣。例如，假設(shè)要將某種物資從m個產(chǎn)地Ci， C2， .， Cm運往n個銷地Bi， B2， .， Bn。如果用 Pij表示由產(chǎn)地 Ci （ i =12，m ）運 到銷地Bj（ j =1,2,，n ）的數(shù)量，那么這個問題的調(diào)運方案就可用一個矩陣表示：P11p12RnP21P22aP2na<_pm1Pm2Pmn丿例2在解析幾何中矩陣是

6、研究坐標變換的有力工具。例如，平面直角坐標系的旋轉(zhuǎn)變 換為x =x' cos日一y'sin 日y =x'si +y'cos其中d為x軸與x'軸的交角。顯然，新舊坐標之間的關(guān)系可以通過公式中系數(shù)所構(gòu)成的矩薩&s日-si n町陣|（sin日cos日丿完全確定，它稱為上述坐標變換的矩陣。例3 n個變量Xi,X2,，Xn與m個變量丫1,丫2； ，Ym之間的關(guān)系1 =印1花 +ai2X2+ainXny2 =a21Xj +a22x2 f +a2nXn表示一個從變量ym =amiXi - am2X2 亠'亠a mnXnX1,X2,Xn到變量yi,y2,

7、ym的線性變換,其中aj為常數(shù)。線性變換(2.2)的系數(shù)aij構(gòu)成矩陣 A = (aij)m n三、小結(jié)矩陣的實質(zhì)：矩陣 (aij)mn是由m行n列元素組成的一個數(shù)表。矩陣與行列式在形式上有些類似，但在意義上完全不同。一個n階行列式是由n行n列元素表示的一個算式，計算結(jié)果是一個數(shù)；而m n矩陣是由m行n列元素表示的一個數(shù)表，這里可以有 m = n的情況。§2矩陣的運算、內(nèi)容提要1 .矩陣的加法設(shè)A= (aij ) m n與B=(bij)m n是兩個同型矩陣，那么矩陣A與B的和記作A+B，規(guī)定為ai1a2i-b11'b2iai2a22bi2b22aina2nbin'b2

8、nfm1bm1am2bm2amnIbmn m n矩陣的加法滿足下面的運算規(guī)律(1) 交換律：A B 二 B A(2) 結(jié)合律：A (B C(A B) C。A的負矩陣為，即 -A =(-aj)2. 矩陣的減法A - B = A (-B)。3. 數(shù)乘矩陣法數(shù)入與矩陣A =&耳人 的乘積記作或A九,規(guī)定為ka1Za12a1n“21總2a他2n-J-a m1他m2/-amnA = A 二o數(shù)乘運算有下面的運算規(guī)律:(1)(2)(3)(i) A =”A);()A 二 A A ； (A+B) = A+ B。4. 矩陣與矩陣的乘法設(shè)A= aij, B= bij，那么規(guī)定 A與B的乘積是一個m n矩陣

9、C = cij。ij m 冷ij sMij mXns其中Cij二 aj-ai2b2jaisbsj='aikbkj , (i = 1,2,，m; j = 1,2,，n)。k4并把此乘積記作 C =AB。矩陣乘法滿足下列運算規(guī)律(假設(shè)下列運算都是可行的)(1) 結(jié)合律：(AB)C 二A(BC)；(2) 左分配律： A(B C) =AB - AC ；右分配律：(B C)A=BA CA ；(3) (AB) *A)B =A(，B)；(R)(4) 設(shè)A是m s矩陣，B是s n矩陣，則EmA 二 A , AEs 二 A , AEsB 二 ABn階方陣的幕：設(shè)A是n階方陣，規(guī)定A° =E ,

10、 AA 二 A2,AkA 二 Ak 1 Ak 入 二 Akl , (Ak二 Akl。其中，k, I 為正整數(shù)。5. 矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 AT。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)律(假設(shè)運算都是可行的)：(1) (At)t =A ；(2) (A B)T =AT BT ;(3) ( A) = ' At ;(4) (AB)T =BTAT。推廣到s個矩陣乘積為：(aa2As)T =aTaT斗AT。6. 方陣的行列式由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變)叫做A的行列式，記作|A。由方陣A確定的行列式|A滿足下列運算規(guī)律(設(shè)A、B為n階方陣，

11、'為數(shù))：(1) AT =|A ；（2）A -n A ;（3）AB =|A 仲。7. 共軛矩陣當(dāng)A=（aj）為復(fù)矩陣時，用 aj表示aj的共軛復(fù)數(shù)，記 A（aij）。 A稱為A的共軛矩陣。共軛矩陣滿足下列運算規(guī)律（設(shè)A，B為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù)，且運算都是可行的）(1)(2)、A='A(3)AB = AB8. 常用結(jié)論atat（1）n階方陣A滿足，（2）n階方陣A滿足，n階矩陣A為對稱矩陣的充分必要條件疋n階矩陣A為反對稱矩陣的充分必要條件是二A，則稱A為對稱矩陣;=-A，則稱旦A為反對稱矩陣。aij - aji。aij - -aji。當(dāng) i=j 時，aii =0,（3）若AB =

12、BA，則稱 A與B可交換。（4）設(shè)對角矩陣nZ-n J、例題分析矩陣的加法、減法和數(shù)乘法（即矩陣的線性運算）與數(shù)的線性運算沒有質(zhì)的改變，只有量的不同。例4設(shè)，Z30，Z-2 1、A=I , B =I ,且 2A-3X = B，求矩陣 X。k-2 1 丿<22 丿解 在2A H3X = B兩端同加上（t2A）得,3X »2A B。兩端同時除以（-3）得,212廣30、1廣21、' 81、A B -二1 1 =33333.-21丿3<22丿-20J矩陣與矩陣的乘法與數(shù)的乘法卻有著質(zhì)的不同。例5 設(shè)某地區(qū)有甲、乙兩個工廠，每個工廠都生產(chǎn)“ i、n、川” 3種產(chǎn)品。個工廠

13、的年產(chǎn)量（單位：個）如表1所示，每種產(chǎn)品的單價（元/個）和單位利潤已知每:/ 個）如表2所示。求各工廠的總收入與總利潤。0In出項目 產(chǎn)品.單價單位利潤甲a11a12a13Ibnb12乙a21a22a23nb21b22出b31b32解 表1、表2可以分別用下列矩陣表示：/zb11b12表1表2A =B =b22b32 jb21lb3ia11a12 a13a21a22a23容易理解各工廠的總收入與總利潤構(gòu)成的矩陣就是b12a11a12a13-fb21b22021a22a23丿blb31u32 JC = AB =anbn +&12匕21 +&13匕31&11匕12 +&am

14、p;12匕22 *813匕32 !f21b11 *a22b21 *a23b31a21b1*" a22b2*" a23b32 丿也可以列表如下:求(1) 2AB -3A2 ; ( 2) ABt ; (3)-2A。解：(1) 2AB _3A2 二 A(2B _3A)423 -123丿丄0106 15-1 -1-48-12(2)(3)廣10-8202611-38。-3238106Z1 0-n' 1-10Iz-2-1-2a2 14-235卜12113C3 25<302丿'<89209-32-1154o10ABt-2A =(一2)3 A=80。求Ak.解法

15、設(shè)A-A3-A223'3k(k-1)k-210、1%10'2扎10丸110丸10n 2A2k0e0<00丿1:首先觀察仗3A23'由此推測(k -2)。用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)k =2時,顯然成立.假設(shè)k時成立，貝U k 1時,Ak1 =Akk(k -1)心A2k'kJ由數(shù)學(xué)歸納法原理知解法2:Akk(k 1) k(k 1)k kj扎2(k 1) 'kk(k -1) 2 /u2.k 1k-仏1 0 '? 0 0" 0 1 0xA =0 k 1=0丸0+0 0 10幾1e 0 v000將A分解為兩個簡單矩陣之和,即二 E B。E和任何矩陣

16、可交換，于是有=(E B)k單位矩陣AkB2B3= (*)k k(E)kJB k1)(-E)kB2*一1)(2)(*/七33!k(k1)(k'2) k, 3k+扎 B十+kB3!kk 4九 E +k& B2!k /2 B"-( E)Bk0 010人0'00ek(k -1) k2!1 000 1=00 001 00 00 1=00 00 0Bn =0, k -3。所以,k kA Ekk 1 k(k -1) k _2 2B+人 B2!k'kJ0k'kJk(k -1) 22k-kJk_2k(k -1)i2k 二k (1)(2)證(1)(2)設(shè)A,A2

17、是對稱矩陣； AB - BA是反對稱矩陣。A, B都是n階反對稱矩陣，因此 AT - -A, BT - -B。(a2 T =(at 2 =(Af =a2。因此，AB - BA T 二 AB T - BA T 二 Bt At =(_B)(-A) -(-A)(-B) =-(AB - BA)。B都是n階反對稱矩陣，證明A是對稱矩陣。-At Bt=BA _AB故AB - BA是反對稱矩陣。討論方陣是否是對稱矩陣、反對稱矩陣，也可以從其元素討論：若aij =aji，貝U n階矩陣A為對稱矩陣；若 aij = -aji （當(dāng)i=j時，a =0 ），則n階矩 陣A為反對稱矩陣。顯然若能用其轉(zhuǎn)置矩陣是否與本身

18、相等或差一負號相等來考察矩陣是不是對稱矩陣或 反對稱矩陣，要方便得多。例9 設(shè)A, B都是n階對稱矩陣，證明 AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB二BA.證 由已知：AT = ABT = B充分性:AB = BA -AB=Bt At= ab =(ab)即AB是對稱矩陣必要性:(AB)= AB = bt A = AB = BA = AB .三、小結(jié)1 只有兩個同型矩陣方能進行矩陣加法、減法運算。2 只有當(dāng)左矩陣 A的列數(shù)等于右矩陣 B的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘得矩陣AB。3 .矩陣乘法運算與數(shù)的乘法運算有如下的區(qū)別：(1) 在數(shù)量運算中，若 ab = 0 ,則必有a=0或b=0或a=0且，b=0。

19、但在矩陣乘法 運算中，當(dāng) AB =0時，則未必有 A = 0或B =0。(2) 矩陣乘法不滿足交換律。一般地，AB豐BA, (AB)k = AkBk。4 .雖然，對于 n階方陣A、B，一般地 AB豐BA，但總有 AB = BA = A|B。§3逆陣一、內(nèi)容提要 可逆矩陣：對于n階方陣A，如果有一個 n階方陣B，使得AB = BA = E則稱A為可逆矩陣，(簡稱A可逆)，并稱B是A的逆矩陣，記為 A-,即A- = B。伴隨矩陣：設(shè)n階方陣A=(ajj), Aij為行列式|A|中元素a, (i,j=1,2,，n)的代數(shù)余子 式，貝U n階矩陣AniAn2'AilA12A?nAin

20、稱為A的伴隨矩陣，記為A*。A為非奇異矩陣，否則稱 尸0。A為奇異矩陣。若n階矩陣A的行列式不為零，則稱 定理1 若A是可逆矩陣，則 A 定理2 若A = 0，則矩陣A可逆，di*A4 A ,|A|其中A*是A的伴隨矩陣。A是可逆矩陣的充分必要條件就是A = 0，即可逆矩陣就是非奇異矩陣。推論 n階方陣A, B,若AB = E (或BA = E )，則A可逆，且 A“ =B。 可逆矩陣有如下運算規(guī)律：(1) (A)A =A ；(2) (A)T =(AT);(3) (kA) A ;k(4) |A|-；|A|(5) (AB)=BA二，其中A, B是同階可逆矩陣。（5）式可推廣到有限 k個可逆矩陣乘

21、積的情況:(AAAk)規(guī)定：A± =（A）k（ k為正整數(shù)）。二、例題分析定理1、2不僅給出了 n階矩陣A可逆的充分必要條件是A=0，而且給出了求逆矩陣1的一種方法 A二丄A*，稱這種求逆矩陣方法為伴隨矩陣法。|A|令 b、例10 設(shè) A=。問當(dāng)a, b,c,d滿足什么條件時，矩陣A可逆？可逆時求出 A。lc d丿解 矩陣A可逆矩陣的充分必要條件是|AHO。因此，當(dāng) - a bA =ad be 式 0，c d即 ad -be = 0時，矩陣A可逆。此時，矩陣 A各元素的代數(shù)余子式分別為A- =（-）1 卅d =d，A2 =（一1）142 c = y，A21 =（一1）2卅b =b，A

22、22 =（1）2七 a = a。A的伴隨矩陣因此，A的逆矩陣* dA =LcA4-ba丿丄 A*='d|A| ad be ic推論說明，要判斷矩陣A可逆，不必象定義那樣檢驗AB = E且BA = E，只要檢驗其中一個即可。例11設(shè)n階方陣A，B滿足條件 A，B=AB。證明：A-E可逆，并求出（A-E），。證由A AB可得AB-B -A E 二E因此即(A _E)B _(A _E) =E(A-E)(B -E) =E注意：由于矩陣的乘法不滿足交換律，因此，在提取公因子時，一定要注意其左、右位由推論可知 A_E可逆，且(A_E)二二B _E 。置；若提出公因子后，沒有其它式子，則一定要用單位

23、矩陣填充。如AB _B右提取公因子 B，得AB_B =(A E ) B 。例12設(shè)n階方陣A滿足A2 3A _2E =0，證明(1) A可逆，并求A的逆矩陣;(2) A 2E可逆，并求 A - 2E的逆矩陣。A(A 3E) =2E，即所以A可逆，且(2)因為證(1 )由A2 3A - 2E =0，有 A 3E A :2A2 3A 2E 二(A 2E)(A E) 4E因此(A 2E)(A E) 4E =0 ；(A 2E) A4E =E所以A 2E可逆，且(A 2E)= (A E)4利用逆矩陣，可解矩陣方程。已知方陣A，B可逆，則(1) AX二C，可解出矩陣 X = AC ；(2) XB =C，可

24、解出矩陣 X -CB ；(3) AXB 二C，可解出矩陣 X50例13求解矩陣方程01010100X00e010100010000101J.0100解因為，矩陣均可逆。10-40-23-10所以,巾1 0 1 0 0 |<0 0 1 丿01<0-402100010 10b31-10人00 11°6314 設(shè) PAP ,其中J1-4I1/_10，求 A11.3 2丿010-43、1廣 100、=10020-1001e01八1-20丿e10'2-10、=13-4,102PAP =上，有A=P_'：P。曰是,A11 =P上PP上PP.P J= P； PP上PP

25、PP上P，= P11P 因此15(1)P =3 ,P41I-14-1J胡10 1匚10 "<012丿32111)4、2732 '-1一4、n0、AA 133*2731<11丿<0211丿111-683-684 丿C 33JO上11A11。設(shè)n階矩陣A =0，則 A = 0 ；(2)證明：I n 4 AA的伴隨矩陣為 A ,3 11(1)用反證法證明假設(shè)AaV-0，則有 A (A )-E .由此得因此,A 二 AA (A)v 二 AE(A )=0 ,A =0 。這與 A -0矛盾。故當(dāng)A =0時，有A =0.（2） 由于AA = AE，得 A|A=An。若A工

26、0, 則A = An二若A =0,由 知=0。此時命題也成立。故有 A=An 。三、小結(jié)（1）矩陣有加法、減法、數(shù)乘法及乘法，但由于矩陣乘法不滿足交換律，因此沒有除法。相應(yīng)地有逆矩陣的概念。（2）對于n階矩陣A總有AA=AA= AE，不管A是否可逆。這在一些理論推導(dǎo)時 很有用。（3）伴隨矩陣法通常在求二階矩陣或較特殊的三階矩陣的逆矩陣中有實際意義。但對 于階數(shù)較高的矩陣，由于伴隨矩陣法計算量大，容易出錯，用后面將學(xué)到的初等變換法求逆 矩陣更方便。§4矩陣的分塊一、內(nèi)容提要1. 分塊矩陣用一些貫穿于矩陣的縱線和橫線，分矩陣A為若干塊，每小塊叫做矩陣A的子塊（子矩陣），以子塊為元素的形式

27、矩陣叫做分塊矩陣。有時常把A按列分塊：A 二若把A按行分塊，則A 二2. 分塊矩陣的運算1 ）分塊矩陣的加法設(shè)A, B為同型矩陣，用相同分法把 A與B分塊為a21 a22©mi ； am2am2a2namnaia2namn其中iT其中aiiai2iaiia2iA1A* -A12A1s、01aB12B1s 'A =A21-A22aA2Sa，B =B21aaB22-B2S3VAr1A* -Ar2Ars丿lBr1Br2Brs其中每一個 Aj與Bj是同型子塊矩陣，則A11+ B11AI2+ B12As 2sA + B =A21+ B21iA22+ B22A2s * B2s(A”+ B

28、r1Ar2+ Br2 Ars + Brs j2）數(shù)乘分塊矩陣'kAnkA21kA12kA22%kA2s，k是任意常數(shù)。3 ）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置<kArikAr2kArsAt =A1A2AmA：2即轉(zhuǎn)置分塊矩陣時，在分塊矩陣中除了作行、列位置互換外，還要對每一個子矩陣做轉(zhuǎn)置。4 ）分塊矩陣的乘法設(shè)A為m I矩陣，B為I n矩陣。將A， B分塊成A11AA12As ”中11a B12BjA =A213A22A2s3， B =B213D B22B2tlAr1AAr 2Ars JlBs1Bs2Bst丿其中Ai,Ai2, A的列數(shù)分別等于By 忌，,Bsj的行數(shù)（i =1,2, ,r ；j &

29、quot;,2,t )。則有'Cii其中sCij 八Aik Bkjk=iC = ABC21C12C22r1 Cr2(i =12,r ；C1tC2taCrtj =1,2,t )。5）分塊對角陣的逆矩陣若n階分塊矩陣具有下面形狀A(yù)A =rlAs丿其中主對角線上的每一個子塊Ai ( i =1,2,s )是方陣，對角線外的子塊都為零子塊，稱A為分塊對角矩陣，或準對角矩陣。分塊對角矩陣有如下性質(zhì)：(1)(2)I A | = | A11 | A2 | 'A?AnI As | ；(3)其中An 二若 Ai( iAsn= 1,2，,s )都可逆，則二、例題分析16用分塊法計算A可逆，且'

30、;1000Z100100, B =01A =12104100ba1丿，其中ABO將A，B分塊:E2A1 + B1 蘭0010YeIE2丿B1丿勺 2j4Q 0丿幺E2A10E2E201 +B1 J，n(5=1丿317分塊因此,(1*3-3-3 :一3，求A8Ai2'氣2A4-3 4II二 Al4A8= Ai8 A28=10!=52A4 及 AJ。16'520)520、中0)<052 丿352丿354A4I _'22 0 'A 4 '220論20、分0、I )0 22丿，A2 一<2322 人2322丿<2624丿2-3丿 1050 2O

31、2 2002'541'"-3-4、12'20、1。-251-43丿，41-22丿3254/2500 、0'425-32500<0A24廠001/201 00-1/212丿624O24Ai4三、小結(jié)分塊矩陣在簡化矩陣運算和處理一些理論問題中常用到。尤其，分塊對角陣的運算性質(zhì) 在后續(xù)課中應(yīng)用很廣，要熟練掌握。習(xí)題二（A組）2計算下列乘法:(1)3-10 c，C 二02、0i020，求 A B，B -C，2A -3C。-1 1(2)求An設(shè)A， B都是稱矩陣。n階對稱矩陣,證明n階反對稱矩陣，證明1 ，且矩陣bX滿足方程3A -2X =B ,-112 2132(3) (1, -1, 2) 1A - B , kA IB (k, l 為