《空間向量與立體幾何》教材教學(xué)的建議

1、    空間向量與立體幾何教材教學(xué)的建議    楊玉明g633.6 a 2095-3089（2016）35-0110-01空間向量與立體幾何是高中數(shù)學(xué)選修2-1的第三章內(nèi)容，本章內(nèi)容既是必修四平面向量在空間的推廣與引申，一些結(jié)論和定理在空間仍然成立，也是必修二立體幾何的初步延伸，空間向量為立體幾何在證明線線、線面、面面平行與垂直的證明，以及求解線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角提供了一種運用向量或者坐標(biāo)解決問題的方法和途徑。在新課程標(biāo)準(zhǔn)對本章內(nèi)容明確提出：“通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生在對已由平面向量的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量并運用空間向量研究立體幾何中的

2、問題，進(jìn)一步體會向量方法在解決幾何問題中的作用?！痹诮K高考中本模塊知識是江蘇高考理科學(xué)生選考的一個知識點。在江蘇高考中空間向量與立體幾何的知識是作為附件分40分中的一題，在試題中僅僅是以解答題的形式出現(xiàn)、主要考查是通過建系求線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角等相關(guān)知識。高考大綱中要求如下：本章教材在編寫方面在內(nèi)容的章節(jié)安排上采取了與空間向量對應(yīng)的方式、在例題的處理上也大同小異，在內(nèi)容的安排、例題的選取與方法有一些不盡人意的得分，在對本章的教學(xué)中，教師要合理的運用教材、開發(fā)教材，在教材的使用上要注意以下兩點：一、調(diào)整課時、合并內(nèi)容、適當(dāng)調(diào)整高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)上安排平面向量與立體幾何部分在課

3、時上安排了12課時（其中包括小結(jié)與復(fù)習(xí)1課時），如下表，由于本教材在內(nèi)容上是空間向量的延續(xù)。在課堂教學(xué)中針對江蘇高考的特點以及高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)并且再參考學(xué)生已由的知識的基礎(chǔ)上，我們對教材在內(nèi)容安排上進(jìn)行如下調(diào)整：如下表。其中前面的內(nèi)容由于是在平面向量的基礎(chǔ)上的推廣與延伸，所以課時進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，由于本章的重點與難點是空間向量的運用，重點是解決線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角，所以在在內(nèi)容安排上盡量多安排，安排了4課時比較合適。因此，對課時進(jìn)行了如下調(diào)整：空間向量的特點、空間向量共線、共面的充要條件（1課時）空間向量的特點、空間向量共線、共面的充要條件（1課時）。空間向量的加法、減法及

4、數(shù)乘運算、空間向量的坐標(biāo)運算（1課時），空間向量的數(shù)量積（1課時），空間向量的共線與垂直（1課時），直線的方向向量與平面的法向量（1課時），空間向量的應(yīng)用（4課時）。二、瞄準(zhǔn)高考、活用例題、注意通法高考在本章的考查重點就是運用向量坐標(biāo)的知識，解決立體幾何問題，因此，在本章的教學(xué)重點就是建系，轉(zhuǎn)化成點坐標(biāo)的形式。因此，課堂教學(xué)中要圍繞這一中心。如2015年江蘇高考試題：如圖，在四棱錐p-abcd中，已知pa平面abcd，且四邊形abcd為直角梯形，abc=bad=，pa=ad=2，ab=bc=1.（1）求平面pab與平面pcd所成二面角的余弦值。解：以，為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a-

5、xyz，則各點的坐標(biāo)為b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2）。（1）因為ad平面pab，所以是平面pab的一個法向量，=（0，2，0）。因為=（1，1，-2），=（0，2，-2），.設(shè)平面pcd的法向量為=（x，y，z），則·=0，·=0，即x+y-2z=02y-2z=0，令y=1，解得z=1，x=1，所以=（1，1，1）是平面pcd的一個法向量，從而cos<，>=，所以平面pab與平面pcd所成二面角的余弦值為。試題分析：本題主要考查運用建立空間坐標(biāo)系的思想方法，運行坐標(biāo)的知識解決平面與平面所成的角與異面直線所成的角等相關(guān)知識，

6、這就是本章內(nèi)容所考查的重點所在。因此，在課堂的例題教學(xué)中，要把握住建系、表示點的基本思路。如在空間的角的計算一節(jié)中例1，在教材中例1給予了兩種解法。例1 ：如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，點e1，f1分別在a1b1，c1d1上，且e1b1=a1b1，d1f1=d1c1，求be1與df1所成角的大小。課本中給出了兩種解法，而解法1與解法2運用向量的數(shù)量積等知識，在本章中這種方法顯然是不恰當(dāng)?shù)?，教師不妨運用建系的方法，這樣就更具有針對性。解題過程：不妨設(shè)正方體的棱長為4.以，為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則各點的坐標(biāo)為d（0，0，0），b（4，4，0），e1（4，3，4），f1（0，1，4），所以=（0，-1，4），=（0，1，4），