第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末測(cè)評(píng)含解析蘇教版選擇性必修第一

1、章末綜合測(cè)評(píng)(五)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(滿分：150分時(shí)間：120分鐘) 一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1如果物體的運(yùn)動(dòng)方程為s2t(t1)，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在2秒末的瞬時(shí)速度是()A米/秒 B米/秒C米/秒 D米/秒Ass(t)2t，s(t)2故物體在2秒末的瞬時(shí)速度s(2)22曲線y(x3x2)ex在x1處的切線方程為()Ay7ex5eBy7ex9eCy3ex5eDy3ex5eAy(3x22x)ex(x3x2)ex，所以y|x17e，又x1時(shí)，y2e，所以所求切線方程為y2e7e(x1)，即y7ex5e，故

2、選A3函數(shù)f(x)2ln xx的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(0，)B(3，1)C(0，1)D(1，)C依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1，故當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，故選C4已知函數(shù)f(x)ax3bx(a，bR)的圖象如圖所示，則a，b的關(guān)系是()A3ab0B3ab0Ca3b0Da3b0B由函數(shù)圖象知，函數(shù)在x1取得極大值，在x1取得極小值，即1，1是f(x)0的兩個(gè)根，又f(x)3ax2b，所以3ab0故選B5若函數(shù)f(x)x22xaln x有兩個(gè)不同的極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa1B1a0Ca1D0a1Df(x)的定義域是(0，)，f(x)x2，若

3、函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極值，則g(x)x22xa在(0，)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故解得0a1，故選D6要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20，要使其體積最大，則其高為()AB10C20DA設(shè)圓錐的高為x(0x20)，則圓錐底面半徑：r，圓錐體積：Vr2·x(400x2)xx3x，Vx2，令V0，解得x，當(dāng)x時(shí)，V0；當(dāng)x時(shí)，V0當(dāng)x，V取最大值，即體積最大時(shí)，圓錐的高為7已知函數(shù)f(x)x29ln x3x在其定義域內(nèi)的子區(qū)間(m1，m1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A B C DD因?yàn)閒(x)x29ln x3x，所以f(x)2x3，令f(x)0，即2x30，解得x或x3(舍)，所以

4、x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，而f(x)在區(qū)間(m1，m1)上不單調(diào)，所以m1m1，解得m，因?yàn)?m1，m1)是函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的子區(qū)間，所以m10，即m1，所以m的范圍為故選D8下列結(jié)論正確的是()A若f(x)在a，b上有極大值，則極大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有極小值，則極小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有極大值，則極小值一定是xa和xb時(shí)取得D若f(x)在a，b上連續(xù)，則f(x)在a，b上存在最大值和最小值D函數(shù)f(x)在a，b上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在a，b上

5、一定存在最大值和最小值二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9下列函數(shù)中，存在極值的是()AyxBy2|x|Cy2x3xDyxln xBD由題意函數(shù)yx，則y10，所以函數(shù)yx在(，0)和(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值，故A錯(cuò)誤；函數(shù)y2|x|根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)y2|x|單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)y2|x|單調(diào)遞增，所以函數(shù)y2|x|在x0處取得極小值，故B正確；函數(shù)y2x3x，則y6x210，所以函數(shù)y2x3x在R上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值，故C錯(cuò)誤；函數(shù)yxln x，則y1l

6、n x，當(dāng)x時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得極小值，故D正確故選BD10如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則()A在x2時(shí)，函數(shù)yf(x)取得極值B在x1時(shí)，函數(shù)yf(x)取得極值Cyf(x)的圖象在x0處切線的斜率小于零D函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2，2)上單調(diào)遞增AD由題圖可知，x2是導(dǎo)函數(shù)f(x)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極值，選項(xiàng)A正確；x1不是導(dǎo)函數(shù)f(x)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)不能取得極值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；yf(x)的圖象在x0處的切線斜率為f(x)0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)x(2，2)時(shí)，f(x)0，此時(shí)函數(shù)yf

7、(x)單調(diào)遞增，選項(xiàng)D正確故選AD11若函數(shù)yf(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱yf(x)具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()Aycos xByln xCyexDyx2AD由題意yf(x)具有T性質(zhì)，則存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閒(x)sin x，存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閒(x)0，不存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閒(x)ex0，不存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閒(x)2x，存在x11，x2，使得f(x1)f(x2)4x1x21

8、故選AD12已知函數(shù)f(x)則()A若f(x)有兩個(gè)極值，則a0或a1B若f(x)有極小值，則aC若f(x)有極大值，則aD使f(x)連續(xù)的a有3個(gè)取值CD作出函數(shù)yx和y4x33x的圖象，如圖所示對(duì)于選項(xiàng)A，若f(x)有兩個(gè)極值，則a0或a，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)a0時(shí)，x0是函數(shù)f(x)的極小值，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由圖易知正確；對(duì)于選項(xiàng)D，使f(x)連續(xù)的a有3個(gè)取值，即1，0，1，所以選項(xiàng)D正確故選CD三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中的橫線上)13過(guò)原點(diǎn)作函數(shù)yex的圖象的切線，則切線方程是_yexyex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，e)，則切線斜率為k

9、e，又由直線斜率公式得切線斜率k，e，即1，即x01，切點(diǎn)為(1，e)，ke，切線方程為yex14已知f(x)sin xln x，則f(1)_1cos 1函數(shù)f(x)sin xln x，f(x)cos x，f(1)cos 1115已知函數(shù)f(x)xln(xa)，若a2時(shí)，則f(0)_；又若f(x)的最小值為0，其中a0，則a的值為_(本題第一空2分，第二空3分)1f(x)的定義域?yàn)?a，)，f(x)1當(dāng)a2時(shí)，f(x)1，f(0)1又由f(x)0，解得x1aa當(dāng)ax1a時(shí)，f(x)0，f(x)在(a，1a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x1a時(shí)，f(x)0，f(x)在(1a，)上單調(diào)遞增因此，f(x)在x1a

10、處取得最小值，由題意知f(1a)1a0，故a116設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，則不等式ex1f(x)f(2x1)的解集為_(1，)設(shè)F(x)，則F(x)，f(x)f(x)，F(xiàn)(x)0，即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增ex1f(x)f(2x1)，即F(x)F(2x1)，x2x1，即x1，不等式ex1f(x)f(2x1)的解為(1，)四、解答題(本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)2xln x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，2)作函數(shù)f(x)圖象的切線，求該切線的方程解(1)函數(shù)f(x)2xln

11、 x，所以f(x)2ln x2(x0)，令f(x)0，得到增區(qū)間，令f(x)0，得到減區(qū)間(2)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，2x0ln x0)，切線斜率為kf(x0)2ln x02，另一方面k，從而有2ln x02，化簡(jiǎn)得x01，從而切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，切線方程為y2x218(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)ax2aln x，其中aR，討論f(x)的單調(diào)性解f(x)2ax(x0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，有x，此時(shí)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增綜上，a0時(shí)，減區(qū)間為(0，)，a0時(shí)，減區(qū)間為，增區(qū)間為

12、19(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時(shí)取得極值(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的x0，3，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍解(1)f(x)6x26ax3b因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x1及x2時(shí)取得極值，則有f(1)0，f(2)0，即解得(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，則f(x)6x218x126(x1)(x2)當(dāng)x0，1)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(2，3時(shí)，f(x)>0所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)58c，當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極小值f(2)48c，又f(0)8c，f(3)

13、98c所以當(dāng)x0，3時(shí)，f(x)的最大值為f(3)98c因?yàn)閷?duì)于任意的x0，3，有f(x)<c2恒成立，所以98c<c2，解得c<1或c>9故c的取值范圍為(，1)(9，)20(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r m，高為h m，體積為V m3假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大解(1)因?yàn)樾?/p>

14、水池側(cè)面的總成本為100·2rh200rh(元)，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0，5)(2)因?yàn)閂(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因?yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0，5)時(shí)，V(r)>0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5，5)時(shí)，V(r)<0，故V(r)在(5，5)上為減函數(shù)由

15、此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在x1處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)b1，求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)f(1)1a，依題意，有1a，即1a，解得a1(2)由(1)得f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，1x20，ln x0，f(x)0，故f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x1時(shí)，1x20，ln x0，f(x)0，故f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，f(x)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減01b，f(x)最大值為f(1)1設(shè)h(b

16、)f(b)fln bb，其中b1則h(b)ln b0，故h(b)在區(qū)間(1，)單調(diào)遞增，當(dāng)b1時(shí)，h(b)0h(b)0f(b)f，故f(x)最小值fbln b22(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)2x3ax2b(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間0，1的最小值為1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說(shuō)明理由解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x若a0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0故f(x)在(，0)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a0，f(x)在(，)單調(diào)遞增；若a0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0故f(x)在，(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)滿足題設(shè)條件的a，b存在()當(dāng)a0時(shí)，由(1)知，f(x)在0，1單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0，1的最小值