淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用.doc

1、淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用徐春華(數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,2003（8)班，02212143號)摘 要導(dǎo)數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，高中階段引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線的切線問題，學(xué)好其他學(xué)科并發(fā)展學(xué)生的思維能力因而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及解題過程中，可以利用導(dǎo)數(shù)思想解決諸如函數(shù)(解析式、值域、最(極)值、單調(diào)區(qū)間等）問題、切線問題、不等式問題、數(shù)列問題以及實際應(yīng)用等問題關(guān)鍵詞導(dǎo)數(shù) 新課程 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中處于一種特殊的地位，是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶,是高中數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點,是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相關(guān)問題的重要工具本課題期望通過對

2、導(dǎo)數(shù)在新課程中的地位以及在中學(xué)數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的探討，拓展學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力一、 導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新課程中的地位普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)指出:高中數(shù)學(xué)課程是由必修課程和選修課程兩部分構(gòu)成的必修課程是整個高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，選修課程是在完成必修課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，希望進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生根據(jù)自己的興趣和需求選修選修課程由系列1、系列2、系列3、系列4等組成在系列1和系列2中都選擇了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用顯然，導(dǎo)數(shù)的重要性不言而喻（一）有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性態(tài)在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)時，為了理解函數(shù)的性態(tài),學(xué)生主要學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性等我們知道，

3、函數(shù)的這些性質(zhì)都可以通過函數(shù)的圖像表示出來，因而,如果能準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像,函數(shù)的性質(zhì)就一目了然，函數(shù)的性態(tài)也容易掌握了如果所涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù)，用描點法就可以作出函數(shù)的圖像但是，如果所涉及的函數(shù)是非基本初等函數(shù)，比如,等函數(shù)，僅用描點法就很難較為準(zhǔn)確地作出圖像但是，掌握了導(dǎo)數(shù)的知識之后，學(xué)生就可以利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、最值點；利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凹凸區(qū)間、拐點;利用極限的思想找出其水平漸近線和垂直漸近線，然后再結(jié)合描點法，就能較為準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像這樣就有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，同時也拓寬了學(xué)生的知識面（二）有利于學(xué)生更好地掌握函數(shù)思想數(shù)學(xué)上的

4、許多問題，用初等數(shù)學(xué)方法是不能解決的，或者難以解決，而通過數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)思想，然后用導(dǎo)數(shù)來研究其性質(zhì),充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性的作用，可以輕松簡捷地獲得問題的解決，這也正體現(xiàn)和顯示了新課程的優(yōu)越性其實我們不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是建立在中學(xué)數(shù)學(xué)知識和導(dǎo)數(shù)之間的一座橋梁，不管是在證明不等式,解決數(shù)列求和的有關(guān)問題，以及解決一些實際應(yīng)用問題,我們都可以構(gòu)造函數(shù)模型，并且利用導(dǎo)數(shù),來解決相關(guān)問題(三）有利于學(xué)生弄清曲線的切線問題學(xué)生由于受“圓上某點的切線”的定義的影響，誤認(rèn)為曲線在某點處的切線，就是與曲線有一個公共點的直線如果學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義后，學(xué)生就知道在點的切線斜率，正是割

5、線斜率在時的極限，即由導(dǎo)數(shù)的定義，所以曲線在點的切線方程是這就是說：函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)是曲線在點處的切線斜率1從而，學(xué)生就掌握了切線的一般定義：設(shè)有曲線及上的一點,在點外另取曲線上一點，作割線，當(dāng)點沿曲線趨向點時,如果割線繞點旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置,那么直線就稱為曲線在點處的切線(四)有利于學(xué)生學(xué)好其他學(xué)科高中的物理、化學(xué)等課程都與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念,它在物理、化學(xué)、生物、天文、工程以及地質(zhì)學(xué)等中都有著廣泛的應(yīng)用微積分所討論的基本對象是函數(shù),而且以函數(shù)的極限為基礎(chǔ)作為微積分的一個重要的分支微分學(xué)，主要涉及變量的“變化率”問題,對于，導(dǎo)數(shù)可以解釋為關(guān)于的變化率在學(xué)習(xí)并且掌握了

6、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用以后,學(xué)生就可以很容易地根據(jù)做變速直線運(yùn)動物體的運(yùn)動方程：,算出物體的瞬時速度：、瞬時加速度：；對化學(xué)中的反應(yīng)速度、冷卻速度等也都可以通過微積分的方法來解決了（五）有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力在以前的課程標(biāo)準(zhǔn)中，無論是導(dǎo)數(shù)的概念還是應(yīng)用,更多的是作為一種規(guī)則來教、來學(xué)這樣造成的后果是：不僅使學(xué)生感受不到學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)有什么好處，反而加重了他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)而普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)就對這一部分內(nèi)容的教育價值、定位和處理做了一定的變化：即在高中階段,應(yīng)通過大量的實例，讓學(xué)生理解從“平均變化到瞬時變化”、從“有限到無限”的思想,認(rèn)識和理解這種特殊的極限，通過它了解這種認(rèn)識世界的思維方式，提高學(xué)生

7、的思維能力2再者，還可以讓學(xué)生體會研究導(dǎo)數(shù)所用的思想方法:先研究函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，再過渡到一個區(qū)間上；在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題時，利用函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)來研究曲線在某一點處的性質(zhì)這種從局部到整體,再由整體到局部的思想方法是很值得學(xué)生學(xué)習(xí)的2總之,通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù),使學(xué)生學(xué)會以動態(tài)的、變化的、無限的變量數(shù)學(xué)觀點來研究問題,而不僅僅是停留在靜態(tài)的、不變的、有限的常量數(shù)學(xué)觀點上在學(xué)習(xí)過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準(zhǔn)確、動與靜、直與曲的對立與統(tǒng)一，發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力二、 導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容之一，它給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力，特別是導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用性,為解決函

8、數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、實際等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出了一道亮麗的風(fēng)景線，也使它成為新教材高考試題的熱點和命題新的增長點這幾年的高考命題趨勢表明：導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問題和解決問題的重要工具將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容結(jié)合，不僅能加強(qiáng)能力的考查力度，而且也使試題具有更廣泛的實踐意義下面舉例探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式用解析式表示函數(shù)關(guān)系，便于研究函數(shù)的性質(zhì)，而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式，函數(shù)的一些基本性質(zhì)就會顯得更加的明了例1 設(shè)函數(shù)的圖像與軸交點為點,且曲線在點處的切線方程為,若函數(shù)在處取得極值，試確定函數(shù)的解析式解 因為函數(shù)的

9、圖像與軸交點為點，所以點的坐標(biāo)為,又曲線在點處的切線方程為，點坐標(biāo)適合方程，從而，又切線斜率，故在處的導(dǎo)數(shù)，而，,從而,又函數(shù)在處取得極值，所以解得,，所以所求函數(shù)解析式為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點，也是難點，方法因題而異,不易掌握但是,如果采用導(dǎo)數(shù)來求解，則較為容易，且一般問題都可行例2 求函數(shù)的值域分析 先確定函數(shù)的定義域,然后根據(jù)定義域判斷的正負(fù),進(jìn)而求出函數(shù)的值域解 顯然,定義域為,由于,又，可見當(dāng)時,所以在上是增函數(shù)而,所以函數(shù)的值域是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最（極）值求函數(shù)的最（極)值是高中數(shù)學(xué)的重點,也是難點，是高考經(jīng)常要考查的內(nèi)容之一，它涉及到了函數(shù)知識的很多方

10、面，用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也容易掌握，從而進(jìn)一步明確了函數(shù)的性態(tài)一般地,函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，則在上的最值求法：(1） 求函數(shù)在上的極值點；（2) 計算在極值點和端點的函數(shù)值;(3) 比較在極值點和端點的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值例3 求函數(shù)在上的最大值和最小值分析 先求出的極值點，然后比較極值點與區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值解 由于，則當(dāng)或時，所以,為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時,所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間又因為，,所以，當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時,取得最大值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個

11、性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需考慮的正負(fù)即可,當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減此方法簡單快捷而且適用面廣例4 求的單調(diào)區(qū)間分析 應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)區(qū)間解 顯然,定義域為，又,由，得或；又由，得或，所以的增區(qū)間為和，減區(qū)間為和（二)利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題求過某一點的切線方程此種題型分為點在曲線上和點在曲線外兩種情況，的幾何意義就是曲線在點處切線的斜率，過點的切線方程為，但應(yīng)注意點在曲線上，否則易錯例5 求曲線在原點處的切線方程分析 此類題型為點不在曲線上求切線方程,應(yīng)先設(shè)出切點坐標(biāo)，表示出切線方程,把已知點代入方

12、程，求出切點坐標(biāo)后，再求切線方程解 顯然點不在曲線上,由于，則設(shè)切點坐標(biāo)為，所以,則過點的切線方程為因為點在切線上,所以,即，所以，故切線方程為，即求兩曲線切線方程例6 已知拋物線和，如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線，求公切線的方程分析 本題也可用常規(guī)方法求解，但運(yùn)算量大，過程煩瑣,而利用導(dǎo)數(shù)知識無疑為解決這類問題提供了新的，簡捷的方法，即先分別求出兩曲線的切線，利用它們是同一直線來建立關(guān)系求解解 由，得，所以曲線在點的切線方程是，即 (1)由,得，所以曲線在點的切線方程是，即 (2）若是過與的公切線，則(1）（2）表示的是同一直線,所以消去,得，由題意知，所以,則，即點與重合，此時曲線

13、和有且僅有一條公切線，且公切線方程為(三)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問題，其綜合性強(qiáng)、思維量大，因此歷來是高考的難點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系,直接或間接等價變形后,結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題例7 求證：不等式在上成立分析 通過作差，構(gòu)造函數(shù)，和,再通過對和求導(dǎo)來判斷證明 構(gòu)造函數(shù)，則得知在上單調(diào)遞增,又因為，所以，即成立又構(gòu)造函數(shù)，則得知在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即成立綜上所述，原命題成立（四）利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個重要部分，而數(shù)列求和是中學(xué)階

14、段數(shù)列部分的重要內(nèi)容之一,有許多初等解決方法事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù)列求和的有關(guān)問題例8 求和：（其中，)解 注意到是的導(dǎo)數(shù),即,可先求數(shù)列的前和，然后等式兩邊同時對求導(dǎo),有例9 求和:解 因為上式兩邊對求導(dǎo),有,再令，可以得到（五）利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題利用導(dǎo)數(shù)，不僅可以解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列問題,而且還可以解決一些實際應(yīng)用問題學(xué)習(xí)的最終目的，是要求學(xué)生具有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力近幾年,高考越來越注重對實際問題的考查，比如最優(yōu)化問題、最低成本問題等，而利用導(dǎo)數(shù)解決這些問題非常方便例10 甲乙兩

15、個村子在一條河的同側(cè)，甲村位于河岸的岸邊處，乙村位于離河岸的處，乙村到河岸的垂足與相距兩村要在岸邊合建一個供水站，從供水站到甲村、乙村的水管費用分別為、，問供水站建在何處才能使水管費用最省？(圖1)圖1分析 本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式技巧與方法主要有：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式,適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，隨后用導(dǎo)數(shù)的知識來解決問題解 如圖1，設(shè)點距點，則，總的水管費用為()又，令，則在上，只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，知處取得最小值，此時所以供水站建在距甲村處才能使水管費用最省三、

16、結(jié)束語導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是微積分學(xué)的重要組成部分，是解決許多問題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值：既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想總之，開設(shè)導(dǎo)數(shù)不僅促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識了數(shù)學(xué)的價值，而且發(fā)展了學(xué)生的辯證思維能力，也為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)因此，在高中階段為學(xué)生開設(shè)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用具有深刻的意義參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊）第三版北京：高等教育出版社,2001912祁麗娟談在高中數(shù)學(xué)課程中開設(shè)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的必要性甘肅教育,2006（4)483李秋鳳導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用中國科技信息，2006(3)1331534陳斌彈好用導(dǎo)數(shù)證不等式的前奏數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版），20

17、06(4)13155鄧亞軒利用導(dǎo)數(shù)巧求和數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）,2006（4）24A Simple Comment on the Application of Derivative in the Senior School Mathematics CurriculumXu ChunhuaAbstractDerivative is the link between Higher mathematics and Elementary mathematics。 In the senior school stage, to introduce derivative is advantageous to

18、student to understand the function condition well, to grasp the function thought, to clarify the problem of the curve's tangent, to learn other subjects and to develop student's thinking ability。 Thus, in the process of mathematics teaching and problems solving， we may use the derivative thought to solve some problems，