剛性構(gòu)件組成的單自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

1、第二章 剛性構(gòu)件組成的單自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)§2.1 引言本章和第三章首先研究忽略構(gòu)件彈性變形的理想機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。即在研究時(shí)，近似認(rèn)為組成這類理想機(jī)械系統(tǒng)的構(gòu)件都是剛體，并忽略運(yùn)動(dòng)副中間隙的影響，運(yùn)動(dòng)副中的摩擦在通常情況也是被忽略的。作出上述簡化的目的是為了能夠忽略一些次要因素，以突出問題的主要方面。當(dāng)機(jī)械中各構(gòu)件的剛度較大且運(yùn)轉(zhuǎn)速度不是很高時(shí)，作出這些簡化是合理的，所得到的結(jié)果有很好的實(shí)用價(jià)值。本章將研究單自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。目前單自由度機(jī)械應(yīng)用最為廣泛，然而由于各種自動(dòng)機(jī)和機(jī)器人的出現(xiàn)，剛性構(gòu)件組成的多自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究也變得越來越重要，所以在下一章還要進(jìn)

2、一步研究二自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題?？紤]構(gòu)件彈性變形時(shí)的動(dòng)力學(xué)問題將在后續(xù)章節(jié)中研究。本章主要介紹用等效力學(xué)模型進(jìn)行研究的方法，該方法適用于單自由度系統(tǒng)的研究，目前在工程上被廣泛應(yīng)用。在研究時(shí)，首先把實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)簡化成等效的單構(gòu)件力學(xué)模型，并根據(jù)該模型列出運(yùn)動(dòng)方程式，然后對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程式進(jìn)行求解和討論。§2.2 驅(qū)動(dòng)力和工作阻力除重力、摩擦力之外，作用在機(jī)械上的力主要還有工作阻力和驅(qū)動(dòng)力，它們隨著機(jī)械工作情況及使用的原動(dòng)機(jī)的不同而多種多樣。為了研究在力作用下機(jī)械的運(yùn)動(dòng)，可將作用力按機(jī)械特性進(jìn)行分類。所謂機(jī)械特性是指力(或力矩)和運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)(位移、速度、時(shí)間等)之間的關(guān)系。本書中，所有

3、的外力都假設(shè)為是預(yù)先已知的，即假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)和工作機(jī)的機(jī)械特性是預(yù)先給定的。在工作機(jī)械中，按機(jī)械特性來分，常見的工作阻力有以下幾種：1)工作阻力是常數(shù)。如起重機(jī)的有效工作負(fù)荷為起吊重量(為常數(shù))，機(jī)床的制動(dòng)力矩，通常也可簡化為常數(shù)。2)工作阻力隨位移而變化。如往復(fù)式壓縮機(jī)中活塞上作用的阻力，曲柄壓力機(jī)滑塊上受到的阻力等。3)工作阻力隨速度而變化。如鼓風(fēng)機(jī)、離心泵的工作阻力。4)工作阻力隨時(shí)間而變化。如揉面機(jī)的工作阻力。在發(fā)動(dòng)機(jī)中，按其機(jī)械特性進(jìn)行分類，常見的驅(qū)動(dòng)力有以下幾種：1)驅(qū)動(dòng)力是常數(shù)。例如用重錘作為驅(qū)動(dòng)力，在某些近似計(jì)算中，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速變化很小時(shí)，有時(shí)也可近似地認(rèn)為其驅(qū)動(dòng)力為常數(shù)。2)驅(qū)動(dòng)力

4、是位移的函數(shù)。例如用彈簧作為驅(qū)動(dòng)件時(shí)，彈簧力與變形(位移)成比例。3)驅(qū)動(dòng)力是速度的函數(shù)。例如一般的三相異步電動(dòng)機(jī)，機(jī)械特性曲線如圖2-1所示。由于三相異步電動(dòng)機(jī)是目前應(yīng)用最為廣泛的一種發(fā)動(dòng)機(jī)，故對(duì)它的機(jī)械特性作一介紹。圖2-1給出了三相異步電動(dòng)機(jī)的機(jī)械特性，其中A點(diǎn)具有最大輸出力矩；B點(diǎn)為額定工作點(diǎn)，C點(diǎn)具有最大角速度，稱為同步角速度，A點(diǎn)為安全工作點(diǎn)，為保證電動(dòng)機(jī)正常工作，不應(yīng)使電動(dòng)機(jī)工作點(diǎn)越過此點(diǎn)，常取該點(diǎn)的輸出力矩為0.8。電動(dòng)機(jī)在AC段中工作時(shí)將是穩(wěn)定的，因?yàn)殡S著外載荷的增加，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速將下降，這時(shí)它的輸出力矩將增加，并與外載荷達(dá)到新的平衡。相反，當(dāng)電動(dòng)機(jī)工作在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)是不穩(wěn)定的

5、。圖2-1三相異步電動(dòng)機(jī)的機(jī)械特性電動(dòng)機(jī)銘牌通常給出以下參數(shù)：額定功率(單位為kW)，額定轉(zhuǎn)速(單位為rmin)，同步轉(zhuǎn)速(單位為rmin)，過載系數(shù)。根據(jù)以上參數(shù)可以分別求出A、B、C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角速度(單位為rads)和力矩M(單位為N.m)為： (2-1)式(2-1)可用來計(jì)算特性曲線上A、B、C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)。將三相異步電動(dòng)機(jī)的輸出力矩與角速度之間的函數(shù)關(guān)系用精確的解析表達(dá)式來表示是較為復(fù)雜和不方便的。為了簡化，可以用不復(fù)雜的代數(shù)式近似表示這類機(jī)械特性，這在大多數(shù)情況下是可行的，也是有必要的。對(duì)于三相異步電動(dòng)機(jī)的機(jī)械特性，由于通常所關(guān)心的只是其中的曲線段ABC，故在實(shí)用中常用兩次曲線近似

6、代替真實(shí)特性曲線段ABC。即將曲線段ABC近似表示為以下的二次函數(shù)：M=a+b+c2 (2-2)將特性曲線上已知的三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入上式，就可求出其中的三個(gè)待定系數(shù)a，b和c，從而得到該電動(dòng)機(jī)機(jī)械特性的近似表達(dá)式(2-2)。這樣獲得的機(jī)械特性的近似表達(dá)式，其中三點(diǎn)與所給特性曲線的三點(diǎn)是相重合的，而在其它各點(diǎn)兩曲線是分離的。在動(dòng)力學(xué)的近似計(jì)算中，這種誤差是允許的。在精度要求不高的場合，也可以用過B、C兩點(diǎn)的直線近似代替額定點(diǎn)附近的曲線。由以上分析可知，機(jī)械特性大多可表示為驅(qū)動(dòng)力或工作阻力與某一運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)(如電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子角速度)的函數(shù)關(guān)系，在實(shí)際情況中這些力可能遵循著更為復(fù)雜的規(guī)律，更詳細(xì)的討

7、論可參考電力拖動(dòng)課程的有關(guān)內(nèi)容。§2.3 單自由度機(jī)械的等效力學(xué)模型即使是對(duì)于單自由度機(jī)械系統(tǒng)，如果直接應(yīng)用牛頓定律或達(dá)朗貝爾原理進(jìn)行研究也是很復(fù)雜的。例如圖2-2所示用于沖壓矽鋼片的高速?zèng)_槽機(jī)的六桿機(jī)構(gòu)，共由5個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件組成，電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩通過齒輪傳動(dòng)，將力矩M1作用到曲柄AB上，而工作阻力則作用在滑塊F上。在研究其運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，若列出各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行研究，則必須聯(lián)立求解眾多的動(dòng)力學(xué)微分方程式(對(duì)平面機(jī)構(gòu)而言，一般每個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件有3個(gè)運(yùn)動(dòng)方程)，顯然這是十分麻煩的。圖2-2 高速?zèng)_槽機(jī)的六桿機(jī)構(gòu)由于單自由度機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)只決定于一個(gè)坐標(biāo)(即參數(shù))，所以只要求出其中一個(gè)構(gòu)件(如主動(dòng)

8、構(gòu)件)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)就確定了。因此，對(duì)于單自由度機(jī)構(gòu)可以利用等效力學(xué)模型進(jìn)行研究。在等效力學(xué)模型中，將被研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為與其等效的一個(gè)等效構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)問題，這樣可以使問題的研究得到簡化。為了使所得到的等效構(gòu)件和機(jī)構(gòu)中的對(duì)應(yīng)構(gòu)件的真實(shí)運(yùn)動(dòng)相一致，需要將作用在機(jī)構(gòu)上的所有外力與力偶用一定的方法等效地轉(zhuǎn)化到等效構(gòu)件上，同時(shí)把所有構(gòu)件的質(zhì)量等效地轉(zhuǎn)化到同一構(gòu)件上。這些力和質(zhì)量的等效轉(zhuǎn)化是依據(jù)功能原理進(jìn)行的。根據(jù)功能原理，機(jī)械在任一路途中，系統(tǒng)動(dòng)能的改變等于作用于其上所有力所做的功。因此，假如在同一時(shí)間間隔內(nèi)，等效構(gòu)件具有的動(dòng)能改變和原機(jī)構(gòu)的動(dòng)能改變相同，且作用在等效構(gòu)件上的等效

9、力所做的功等于作用在原機(jī)構(gòu)上所有力做的功，則等效構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)將與原機(jī)構(gòu)中對(duì)應(yīng)構(gòu)件的真實(shí)運(yùn)動(dòng)相同。而對(duì)于等效構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)，則可以根據(jù)等效構(gòu)件的等效質(zhì)量和等效力，應(yīng)用動(dòng)能定理來確定。即可以通過轉(zhuǎn)化前后等效構(gòu)件與原系統(tǒng)動(dòng)能相等和等效力與外力做的功相等的原則，將原有復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)等效地轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)等效構(gòu)件的等效力學(xué)模型。為了簡化，通?？扇∽鞫ㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)或直線平動(dòng)的構(gòu)件作為等效構(gòu)件，實(shí)用中大多以主動(dòng)構(gòu)件為等效構(gòu)件，決定等效構(gòu)件位置的轉(zhuǎn)角或位移可作為機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)。如果取作直線平動(dòng)的構(gòu)件為等效構(gòu)件，則等效后作用在等效構(gòu)件上的力稱為等效力，記為Fe ，等效構(gòu)件具有的質(zhì)量稱為等效質(zhì)量，記為me 。如果取作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的

10、構(gòu)件為等效構(gòu)件，則等效后作用在等效構(gòu)件上的力矩稱為等效力矩，記為Me，等效構(gòu)件具有的關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稱為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，記為Je 。例如對(duì)于圖2-2所示的六桿機(jī)構(gòu)，可將各構(gòu)件的質(zhì)量與它們所受到的力轉(zhuǎn)化到曲柄AB上，使原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為圖2-3a所示的簡單系統(tǒng)。也可以將各構(gòu)件與它們所受的力轉(zhuǎn)化到滑塊F上，使原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為圖2-3b所示的系統(tǒng)。a) b)圖2-3 單自由度系統(tǒng)的等效力學(xué)模型2.3.1等效力和等效力矩如前所述，作用在機(jī)構(gòu)上的力的轉(zhuǎn)化是根據(jù)功能原理進(jìn)行的，即等效力或等效力矩可根據(jù)等效力或等效力矩所做的功與作用在機(jī)構(gòu)上的所有外力與外力偶所做的功之和相等的原則來確定。實(shí)用中為了方便，可以用它們對(duì)

11、應(yīng)的功率相等進(jìn)行計(jì)算。設(shè)Fk(k=1，2，m)和Mj(j=1，2，n)分別為作用于機(jī)械上的外力與外力偶，根據(jù)等效力矩Me或等效力Fe的功率與原始機(jī)械的總功率P相等得： (2-3)式中 等效構(gòu)件的角速度； v等效構(gòu)件的速度； vk外力Fk作用點(diǎn)的速度； j外力偶Mj作用構(gòu)件的角速度。根據(jù)式(2-3)可求出Me和Fe的表達(dá)式為： (2-4)式中，F(xiàn)k與vk的夾角。圖2-4 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)可以用式(2-4)轉(zhuǎn)化所有的力和力偶，也可以只轉(zhuǎn)化其中的一個(gè)或幾個(gè)。被轉(zhuǎn)化的力可能是常數(shù)，也可能與各種參數(shù)有關(guān)。由式(2-4)可知，Me和Fe不僅與被轉(zhuǎn)化的力有關(guān)，也與機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)速比有關(guān)。對(duì)于單自由度機(jī)構(gòu)，傳動(dòng)速比可

12、能是固定的，也可能與機(jī)構(gòu)的位置有關(guān)，但無論如何傳動(dòng)速比不會(huì)與機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。例2-1 如圖2-4所示曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，若將作用于滑塊C的工作阻力FC轉(zhuǎn)化到曲柄AB上，試計(jì)算其等效力矩Me。圖中s2為連桿的質(zhì)心。解：按式(2-4)有當(dāng)滑塊向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式中vC應(yīng)取負(fù)值。因傳動(dòng)速比vC/1在不同的位置上具有不同的數(shù)值，所以即使工作阻力FC為常數(shù)，其等效力矩Me也是隨著曲柄的運(yùn)動(dòng)而變化的。2.3.2等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量的轉(zhuǎn)化是根據(jù)動(dòng)能相等的原則進(jìn)行的，即應(yīng)使等效構(gòu)件具有的動(dòng)能與機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的動(dòng)能之和相等。根據(jù)上述原則，即可計(jì)算出等效構(gòu)件應(yīng)具有的等效質(zhì)量me或等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je。在平面機(jī)構(gòu)中，每一

13、構(gòu)件可能作平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或一般平面運(yùn)動(dòng)。在構(gòu)件作一般平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)能E可按下式計(jì)算： (2-5)式中：m構(gòu)件質(zhì)量； J構(gòu)件相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； vs構(gòu)件質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度的大小； 構(gòu)件運(yùn)動(dòng)的角速度。整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能等于所有構(gòu)件的動(dòng)能之和： (2-6)根據(jù)轉(zhuǎn)化前后系統(tǒng)動(dòng)能相等的原則，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je或等效質(zhì)量me，應(yīng)滿足： (2-7)從式(2-7)中即可求出Je和me的表達(dá)式為： (2-8)式中：等效構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度; v等效構(gòu)件的平動(dòng)速度。式(2-8)中兩個(gè)等式在結(jié)構(gòu)上完全一樣，因此以下只討論其中第一個(gè)等式。首先，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的值總是正的，其值與傳動(dòng)速比的平方有關(guān)。僅僅在部分情況下，即當(dāng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)

14、速比不變時(shí)，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才為定值，而一般情況下這是一個(gè)隨機(jī)構(gòu)位置而變化的量。然而，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與機(jī)械的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，因?yàn)閱巫杂蓹C(jī)構(gòu)的傳動(dòng)速比僅與其位置有關(guān)。因此，它同樣可以在機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律未知的條件下計(jì)算出來。此外，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通常為等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角(即廣義坐標(biāo))的周期函數(shù)。例2-2 在圖2-4所示曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄AB相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J01，連桿BC的質(zhì)心位于s2，其質(zhì)量和相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m2和J2，滑塊C的質(zhì)量為m3。求將構(gòu)件1、2、3轉(zhuǎn)化到曲柄AB上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：各構(gòu)件動(dòng)能可分別表示為：根據(jù)轉(zhuǎn)化前后系統(tǒng)的動(dòng)能相等得：由此解得：從上面的表達(dá)式可以看出，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣

15、量決定于機(jī)構(gòu)的位置，即等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨的變化而變化，其中傳動(dòng)速比可以根據(jù)機(jī)構(gòu)的速度分析來確定。2.3.3等效構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方程將系統(tǒng)所受到的力和各構(gòu)件的質(zhì)量轉(zhuǎn)化至等效構(gòu)件后，就可以由對(duì)等效構(gòu)件的研究代替對(duì)原有系統(tǒng)的研究。為敘述簡單起見，以下總是假設(shè)等效構(gòu)件為作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的構(gòu)件，并且用符號(hào)、分別表示其轉(zhuǎn)角、角速度和角加速度。如果等效構(gòu)件為直線平動(dòng)構(gòu)件，其分析方法是類似的，不再重復(fù)加以說明。由于等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和等效力矩是分別根據(jù)動(dòng)能相等和功率相等的原則計(jì)算出來的，所以可以用動(dòng)能定理建立等效構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)動(dòng)能定理有：E=W (2-9)式中：E等效構(gòu)件的動(dòng)能，W等效力矩所做的功，式(2-9)是動(dòng)能定理的積

16、分形式，其相應(yīng)的微分形式為： (2-10)式中：P等效力矩的瞬時(shí)功率，P=Me若等效構(gòu)件由轉(zhuǎn)角1運(yùn)動(dòng)到2時(shí)，其對(duì)應(yīng)的角速度由l變?yōu)?，則積分形式的動(dòng)能定理公式(2-9)成為： (2-11)式中：Je1、Je2分別為等效構(gòu)件在位置1、2時(shí)，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的取值，即Je1=Je(1)、Je2=Je(2)如果利用動(dòng)能定理的微分形式，則可得到等效構(gòu)件運(yùn)動(dòng)方程的另一表達(dá)形式。由式(2-12)可得：將上式左邊展開，并在等式兩邊約去得： (2-12)式(2-12)為等效構(gòu)件運(yùn)動(dòng)方程的基本形式。因?yàn)榈仁接疫厼榈刃Я?，故該方程也稱為力矩形式的運(yùn)動(dòng)方程。等效構(gòu)件力矩形式的運(yùn)動(dòng)方程中不僅涉及到Me和Je并且與有關(guān)，

17、故在建立該方程時(shí)，不僅要計(jì)算出Me和Je，還必須預(yù)先計(jì)算出。等效構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方程式也可以利用第三章中的拉格朗日方程式推導(dǎo)出來，但是不能用動(dòng)量或動(dòng)量矩定理推導(dǎo)出來，因?yàn)樵诘刃ЯW(xué)模型中，僅保證其動(dòng)能與原系統(tǒng)的動(dòng)能相等，而并不保證它們之間的動(dòng)量或動(dòng)量矩之間的關(guān)系。等效構(gòu)件為移動(dòng)構(gòu)件時(shí)，可得到與式(2-11)和式(2-12)類似的結(jié)果： (2-13)和 (2-14)2.3.4等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法對(duì)于連桿機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)等具有非定傳動(dòng)比的機(jī)構(gòu)，由于其傳動(dòng)速比通常是轉(zhuǎn)角的復(fù)雜函數(shù)，不易用解析法求出。因此，要獲得等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je的函數(shù)表達(dá)式有時(shí)是很困難的。特別是當(dāng)利用力矩形式的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行研究時(shí)

18、，不僅要計(jì)算出等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je，還必須求出它的導(dǎo)數(shù)。為了解決上述困難，在求解運(yùn)動(dòng)方程之前，可以預(yù)先用數(shù)值方法求出Je和關(guān)于的變化規(guī)律。這樣可以使問題大為簡化，特別是應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)求解運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，這種數(shù)值方法就顯得尤為方便。首先引入符號(hào)和，并將式(2-8)改寫為： (2-15)式(2-15)關(guān)于求導(dǎo)得：由于故得記，可將式(2-15)改寫為： (2-16)由式(2-15)和式(2-16)可知，計(jì)算Je和的關(guān)鍵是求出傳動(dòng)速比和，及其導(dǎo)數(shù)和。根據(jù)傳動(dòng)速比的定義可得： (2-17)在式(2-17)中對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： (2-18)若在等式(2-17)和(2-18)中分別有=1，=0，則該兩式成為： (2-1

19、9)即機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)在數(shù)值上分別等于當(dāng)?shù)刃?gòu)件的運(yùn)動(dòng)為=1，=0時(shí)機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的實(shí)際速度(或角速度)和加速度(或角加速度)。由以上分析可得計(jì)算Je和的方法為假設(shè)等效構(gòu)件作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，即令=1，=0，并在所假設(shè)的條件下對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，求出各構(gòu)件對(duì)應(yīng)的角速度和角加速度以及各構(gòu)件質(zhì)心的速度和加速度，所得到的數(shù)值即為相應(yīng)的傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)，利用這些數(shù)據(jù)即可應(yīng)用式(2-15)和式(2-16)計(jì)算Je和。應(yīng)用此方法，通過數(shù)值計(jì)算，可以求得等效構(gòu)件在任意位置時(shí)對(duì)應(yīng)的Je和。例2-3 在圖2-4所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，若已知l1=0.2m，l2=0.5m，ls2=0.2m，e=0.05m，J01=3，J2

20、=0.15，m2=5kg，m3=10kg。試用數(shù)值方法計(jì)算曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je及其導(dǎo)數(shù)隨的變化規(guī)律。解 取曲柄AB為等效構(gòu)件、為廣義坐標(biāo)。假想等效構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)為1=1；1=0，并在此假設(shè)條件下作該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析。首先寫出該機(jī)構(gòu)的封閉向量方程： (2-20)由式(2-20)第二式可得： (2-21)式中：曲柄與連桿的長度之比，=l1/l2將式(2-21)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意到假設(shè)條件(即)，就可求出連桿BC對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)速比為： (2-22)當(dāng)轉(zhuǎn)角由式(2-21)求出后，就可用式(2-22)計(jì)算出傳動(dòng)速比。對(duì)式(2-22)再求導(dǎo)，即得連桿AB對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)速比的導(dǎo)數(shù)為：將式(2-22)代入上式得：

21、 (2-23)求出和后，即可由式(2-20)的第一式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得出滑塊C對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)為： (2-24)連桿BC質(zhì)心s2對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)，可由s2與B點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系得： (2-25)式中：分別為此時(shí)質(zhì)s2對(duì)于B點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度。將式(2-25)寫成坐標(biāo)形式為： (2-26)當(dāng)和已計(jì)算出后，式(2-26)即可用來計(jì)算質(zhì)心s2對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)。求出了有關(guān)的傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)后，就可方便地計(jì)算出等效轉(zhuǎn)動(dòng)貫量Je及其導(dǎo)數(shù)。根據(jù)式(2-15)和式(2-16)，Je和由下式確定： (2-27)根據(jù)式(2-21)式(2-26)，即可計(jì)算出等效構(gòu)件在任意位置時(shí)(即廣義坐標(biāo)為任意值時(shí)

22、)有關(guān)的傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)的數(shù)值，進(jìn)一步可由式(2-27)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的Je和。若使廣義坐標(biāo)以一定的步長變化，就可以得到這些傳動(dòng)速比及其導(dǎo)數(shù)、等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其導(dǎo)數(shù)隨廣義坐標(biāo)變化的數(shù)值關(guān)系。根據(jù)題中給出的原始數(shù)據(jù)，取計(jì)算步長，應(yīng)用式(2-22)式(2-27)計(jì)算出的有關(guān)數(shù)據(jù)列于表2-1中。表2-1中數(shù)據(jù)即給出了被研究的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的Je和隨曲柄轉(zhuǎn)角變化的數(shù)值關(guān)系。表2-1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析0-0.40200.01620.00800.1200-0.23250.00000.0201-0.28123.101-0.13410-0.39410.0742-0.03230.1182-0.2285-0.020

23、8-0.0287-0.27573.1070.199200.37610.1317-0.07120.1128-0.2152-0.0410-0.0753-0.25623.1670.47830-0.34820.1888-0.10700.1039-0.1935-0.0600-0.1174-0.22413.2670.65140-0.31030.2450-0.13830.0919-0.1645-0.0771-0.1529-0.18153.3860.68950-0.26280.2986-0.16410.0771-0.1297-0.0919-0.1803-0.13153.5000.59360-0.20640.3

24、466-0.18340.0600-0.0912-0.1039-0.1986-0.07793.5870.39370-0.14230.3852-0.19580.0410-0.0510-0.1128-0.2076-0.02503.6340.14180-0.07270.4105-0.20120.0208-0.0116-0.1182-0.20760.02313.637-0.106900.00000.4193-0.20000.00000.0252-0.1200-0.20000.06293.600-0.3021000.07270.4105-0.1927-0.02080.0578-0.1182-0.18630

25、.09253.536-0.4231100.14230.3852-0.1801-0.04100.0858-0.1128-0.16830.11183.457-0.4681200.20640.3466-0.1630-0.06000.1088-0.1039-0.14780.12213.376-0.4541300.26280.2986-0.1424-0.07710.1274-0.0919-0.12610.12563.300-0.4041400.31030.2450-0.1188-0.09190.1419-0.0771-0.10420.12493.236-0.3351500.34820.1888-0.09

26、30-0.10390.1529-0.0600-0.08260.12233.184-0.2621600.37610.1317-0.0656-0.11280.1606-0.0410-0.06150.11973.144-0.1911700.39410.0742-0.0371-0.11820.1655-0.0208-0.04080.11823.117-0.1241800.40200.0162-0.0080-0.12000.16750.0000-0.02010.11883.101-0.0591900.3997-0.04300.0212-0.11820.16690.02080.00090.12193.09

27、60.0082000.3869-0.10430.0501-0.11280.16380.04100.02260.12763.1040.0812100.3631-0.16820.0782-0.10390.15810.06000.04550.13553.1250.1662200.3280-0.23410.1051-0.09190.14980.07710.07000.14473.1630.2662300.2814-0.30010.1303-0.07710.13850.09190.09600.15343.2190.3792400.2235-0.36220.1532-0.06000.12340.10390

28、.12330.15853.2950.4932500.1555-0.41430.1731-0.04100.10360.11280.15090.15633.3900.5862600.0799-0.44940.1891-0.02080.07800.11820.17720.14293.4960.6192700.0000-0.46190.20000.00000.04620.12000.20000.11553.6000.554280-0.0799-0.44940.20490.02080.00860.11820.21670.07353.6820.371290-0.1555-0.41430.20270.041

29、0-0.03320.11280.22500.01953.7240.086300-0.2235-0.36220.19320.0600-0.07660.10390.2231-0.04153.710-0.247310-0.2814-0.30010.17610.0771-0.11860.09190.2104-0.10373.639-0.549320-0.3280-0.23410.15200.0919-0.15660.07710.1871-0.16173.524-0.749330-0.3631-0.16820.12180.1039-0.18830.06000.1545-0.21093.387-0.800

30、340-0.3869-0.10430.08670.1128-0.21210.04100.1142-0.24833.254-0.693350-0.3997-0.04300.04830.1182-0.22700.02080.0686-0.27203.153-0.453§2.4 運(yùn)動(dòng)方程的求解方法在已知機(jī)構(gòu)受力及其初始運(yùn)動(dòng)的條件下，就可以通過求解其運(yùn)動(dòng)方程得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但是，作用于機(jī)構(gòu)的力是多種多樣的，等效力矩大多是關(guān)于、和t的函數(shù)，同時(shí)，對(duì)于非定傳動(dòng)比的機(jī)構(gòu)，其等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其導(dǎo)數(shù)亦大多是關(guān)于的函數(shù)，在很多場合不易求出它們的函數(shù)表達(dá)式，只能用數(shù)值表格或圖線的形式表示它們的變化規(guī)律。

31、所以，運(yùn)動(dòng)方程僅僅在部分情況下，才能用解析方法進(jìn)行求解，而在大多數(shù)情況下只能用數(shù)值解法求解。以下將分幾種不同情況討論運(yùn)動(dòng)方程的求解方法。2.4.1等效力矩是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角的函數(shù)若機(jī)械所受到的主動(dòng)力僅是機(jī)械位置的函數(shù)，則其等效力矩便僅為等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角的函數(shù)，即這時(shí)由積分形式的動(dòng)能定理式(2-11)得 (2-28)式中，對(duì)應(yīng)于初始位置的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度； 對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)角時(shí)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度。由式(2-28)即可解出角速度和轉(zhuǎn)角的函數(shù)關(guān)系為： (2-29)式中，為等效力矩所做的功，。當(dāng)是以圖線或表格形式給出，或者是不易于積分的函數(shù)形式時(shí)，則積分不便于用解析法計(jì)算。這時(shí)，可應(yīng)用相應(yīng)的圖解積分或數(shù)值積分

32、法(如梯形法，辛卜普生法等)計(jì)算。當(dāng)?shù)刃?gòu)件的初始角速度為已知時(shí)，就可以用式(2-29)求出用轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示的角速度。如要進(jìn)一步求出用時(shí)間函數(shù)表示的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可應(yīng)用下式： (2-30)積分得： (2-31)由于和的函數(shù)關(guān)系已求出，所以可以用式(2-31)確定轉(zhuǎn)角與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)式(2-31)中積分不易用解析法計(jì)算時(shí)，同樣可以用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算。例2-4 在例2-3中的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，若已知其等效力矩與的函數(shù)關(guān)系如表2-2所示，并已知其初始運(yùn)動(dòng)為t0=0時(shí)，=0°，=62rads。試計(jì)算曲柄的轉(zhuǎn)角和角速度的函數(shù)關(guān)系。解：因等效力矩與的函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，所以應(yīng)采用數(shù)值積分

33、法計(jì)算。如果選用梯形法計(jì)算，可將所研究的區(qū)間分成很多小區(qū)間，使得在每個(gè)小區(qū)間上可以沒有明顯誤差地用直線規(guī)律代替函數(shù)。設(shè)每個(gè)小區(qū)間長，各分點(diǎn)為令、，則可得以下遞推關(guān)系 (2-32)用式(2-32)所示遞推公式可對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)區(qū)間進(jìn)行研究，依次計(jì)算出W0、W1、W2，。計(jì)算出Wi后，即可應(yīng)用式(2-29)計(jì)算出當(dāng)轉(zhuǎn)角為時(shí)的角速度的值。計(jì)算結(jié)果如表2-2所示。若要進(jìn)一步計(jì)算出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間ti，則同樣可由梯形法得到以下遞推關(guān)系 (2-33)在求出后，即可用式(2-33)計(jì)算ti。計(jì)算結(jié)果亦列于表2-2中。表2-2 函數(shù)的數(shù)值積分方法010203040506070809010011012013014

34、01501601701807205403601800-240-480-720-840-900-840-720-480-24001803604805400.00109.98188.50235.62251.33230.38167.5562.83-73.30-225.15-376.99-513.13-617.85-680.68-701.92-685.91-638.79-565.49-476.4762.0062.5162.3161.5860.5759.4758.4557.5756.9056.4456.1956.1356.2656.5657.0157.5658.1858.8359.470.00000.0

35、0280.00560.00840.01130.01420.017l0.02020.02320.02630.02940.03250.03560.03870.04180.04480.04780.05080.05381902002102202302402502602702802903003103203303403503604202400-180-360-480-600-480-360-1800240480720840960840720-392.70-335.10-314.16-329.87-376.99-450.30-544.54-638.79-712.09-759.22-774.93-753.98

36、-691.15-586.43-450.30-293.22-136.140.0059.9760.2060.1159.8758.9067.3356.5255.1753.9953.1452.7752.9753.8155.2257.0459.0160.7862.000.05670.05960.06250.06540.06830.07130.07440.07750.08070.08400.08730.09060.09380.09700.10020.10320.10610.10892.4.2等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常數(shù)，等效力矩為等效構(gòu)件角速度函數(shù)Je=常數(shù)，Me=Me()是具有定傳動(dòng)比機(jī)械中的一種常見情況。這時(shí)應(yīng)

37、用積分形式的能量方程式(2-11)是不方便的，因?yàn)榉e分中的被積函數(shù)是的函數(shù)，在沒有求出機(jī)械的實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律前，不能直接積分。在這種情況下可應(yīng)用力矩形式的運(yùn)動(dòng)方程式(2-12)進(jìn)行研究。因?yàn)镴e=常數(shù)，故這時(shí)運(yùn)動(dòng)方程式(2-12)可簡化為： (2-34)將方程式(2-34)分離變量后積分得： (2-35)式(2-35)即給出了角速度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。若Me可用的一次函數(shù)表示，即：Me=a+b將上式代入式(2-35)，積分后得： (2-36)若Me是的二次函數(shù)時(shí)，即：Me=a+b+c2將上式代入式(2-35)，積分后得：當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，上式化為： (2-37)當(dāng)b2-4ac>0時(shí)

38、，則為： (2-38)如果需要求出和的函數(shù)關(guān)系，可利用以下積分變換：使運(yùn)動(dòng)方程式(2-34)化為：將上式分離變量并積分得： (2-39)當(dāng)Me=a+b時(shí)得： (2-40)當(dāng)Me=a+b+c2，且b2-4ac<0時(shí)得： (2-40)當(dāng)Me=a+b+c2，且b2-4ac>0時(shí)得：(2-41)在Me不能用簡單的代數(shù)函數(shù)近似表示時(shí)，式(2-35)和式(2-39)中的積分就不易用解析法計(jì)算出來，這時(shí)同樣可以用數(shù)值積分法來計(jì)算，在此不再重復(fù)。例2-5 設(shè)某卷揚(yáng)機(jī)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je=2，等效力矩Me(單位為)可近似用(單位為)的二次函數(shù)表示為：Me=63.55.210.07842若等效構(gòu)件由0=

39、0開始運(yùn)動(dòng)，試確定其以后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：由題意等效力矩為的二次函數(shù)，且a=63.5，b= -5.21，c=0.0784。計(jì)算b2-4ac得：b2-4ac=(-5.21)2-4×6.35×0.0784=7.2305因b2-4ac=7.2305>0，故應(yīng)用式(2-38)得：由上式解得：上式即為用時(shí)間函數(shù)表示的等效構(gòu)件角速度的變化規(guī)律。2.4.3等效力矩是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角和角速度的函數(shù)對(duì)于具有非定傳動(dòng)比的機(jī)構(gòu)，其等效力矩由于與傳動(dòng)速比有關(guān)，所以一般都與等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角有關(guān)。若其發(fā)動(dòng)機(jī)或工作機(jī)的機(jī)械特性與機(jī)械的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，則等效力矩就是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角和角速度的函數(shù)。這是一種在工程中經(jīng)

40、常遇到的較為一般的情況。設(shè)，由力矩形式的運(yùn)動(dòng)方程式(2-12)得：式中，。利用積分變換，可將上式化為關(guān)于的一階微分方程： (2-43)式中，。在已知機(jī)構(gòu)初始運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可用上述微分方程確定等效構(gòu)件角速度與轉(zhuǎn)角的函數(shù)關(guān)系。但是，式(2-43)右邊部分通常都是關(guān)于和的復(fù)雜函數(shù)，因此該微分方程一般無法采用分離變量等解析方法求出其解析解。在實(shí)際應(yīng)用中，常采用數(shù)值方法對(duì)上述微分方程作近似求解。以下介紹兩種常用的數(shù)值解法歐拉法和龍格庫塔法。用數(shù)值方法研究運(yùn)動(dòng)方程式(2-43)時(shí)，將被研究的等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角的區(qū)間分為很多小段，使得在每個(gè)小區(qū)間上可以沒有顯著誤差地對(duì)函數(shù)作出某種近似處理。在已知初始條件，用數(shù)值方法求

41、解方程式(2-43)時(shí)，問題歸結(jié)為：當(dāng)已知時(shí)的i，如何近似求出時(shí)的i+1。據(jù)此，逐步由時(shí)的0求出時(shí)的1，然后再由求出時(shí)的1求出時(shí)的2，從而求出任意位置時(shí)的i。由時(shí)的i求時(shí)的i+1的最簡單的近似方法是歐拉法(也稱折線法)。如果計(jì)算步長取得足夠小，在小區(qū)段上，可以近似認(rèn)為在所研究的小區(qū)段內(nèi)為常數(shù)。令，可得計(jì)算i+1的近似公式為： (2-44)式中，。公式(2-44)稱為歐拉公式。當(dāng)時(shí)的i已求出時(shí)，即可用此公式計(jì)算時(shí)的i+1。用歐拉法得出的結(jié)果，累積誤差較大。在求解精度要求較高的場合，可采用計(jì)算精度較高的四階龍格庫塔法。其遞推公式為： (2-45)式中，當(dāng)時(shí)的i已求出時(shí)，可依次計(jì)算出K1、K2、K3

42、和K4，代入式(2-48)就可計(jì)算出時(shí)的i+1。與歐拉法的計(jì)算類似，可從時(shí)的0開始，依次計(jì)算出、時(shí)相應(yīng)的、，即求出了的函數(shù)關(guān)系。例2-6 對(duì)于例2-3中的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，如果已知曲柄AB和滑塊C各自受到的驅(qū)動(dòng)力矩M1(單位為)和工作阻力F(單位為N)的變化規(guī)律為M1= 60(62.8-1)，F(xiàn)=150vC，其中1(單位為rads)為曲柄AB的實(shí)際角速度，vC(單位為ms)為滑塊C的運(yùn)動(dòng)速度；曲柄AB的初始運(yùn)動(dòng)為，10=62rads。試計(jì)算曲柄AB的運(yùn)動(dòng)情況(重力略去不計(jì))。解：仍取曲柄AB為等效構(gòu)件，并注意有關(guān)公式中的轉(zhuǎn)角和角速度應(yīng)為曲柄AB的轉(zhuǎn)角和角速度1。該機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je及其導(dǎo)數(shù)與轉(zhuǎn)

43、角的函數(shù)關(guān)系已在例2-3中求出(見表2-1)，因此只需計(jì)算等效力矩Me。因，故得：其中與的函數(shù)關(guān)系已在例2-3中求出(見表2-1)。若用歐拉法計(jì)算，取計(jì)算步長h=20º0.349rad。由º，10=62rads開始計(jì)算。44.2 s-1根據(jù)歐拉公式，曲柄轉(zhuǎn)角時(shí)的11為：11=10+f0h=(62+1.569×0.349)rad/s=62.547rad/s由時(shí)的11又可求得： s-111=62.547+(-4.912)×0.349rad/s=60.832rad/s類似地可依次求出曲柄AB的角速度13、14、，曲柄AB在第一周內(nèi)的角速度的計(jì)算結(jié)果如表2-3所

44、示。表2-3 運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值解法/(rad·s-1)/(rad·s-1)歐拉法龍格庫塔法歐拉法龍格-庫塔法02040608010012014016018062.00062.54760.83258.51057.24457.47358.70860.18161.37562.11962.00061.42059.42057.69557.23658.00359.36060.66861.60662.10620022024026028030032034036062.39362.14361.21959.54257.56056.39756.98959.18961.57162.14161.615

45、60.39558.61957.04556.73358.13260.49262.034如果要提高計(jì)算精度，可以縮小計(jì)算步長，也可以用四階龍格庫塔法計(jì)算。若仍取計(jì)算步長為=20º，改用龍格庫塔法計(jì)算，則同樣由º，10=62rads，開始計(jì)算。當(dāng)i=0時(shí)有：rad/s rad/s rad/s rad/s與歐拉法一樣，可依次計(jì)算出12、13、，相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果亦列于表2-3中。2.4.4等效力矩是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角、角速度和時(shí)間的函數(shù)上節(jié)討論了當(dāng)?shù)刃Я貫榈刃?gòu)件轉(zhuǎn)角和角速度的函數(shù)時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程在給定初值條件下的求解方法。而在最一般的情況下，等效力矩Me可以是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角由、角速度和時(shí)間t的

46、函數(shù)，即：此時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程式(2-12)具有以下形式 (2-46)這是一個(gè)無法用前述方法計(jì)算的二階微分方程。為了用數(shù)值法求解微分方程式(2-46)，先將其變換為以下兩個(gè)聯(lián)立的一階微分方程組： (2-47)式中，。對(duì)于二元一階微分方程組(2-47)，在已知初始運(yùn)動(dòng)時(shí)，同樣可以用四階龍格庫塔法近似求解。其計(jì)算公式為 (2-48)式中，；h=t應(yīng)用以上公式，可以由已知的t0時(shí)刻的初始運(yùn)動(dòng)、0開始計(jì)算，逐步計(jì)算出任意時(shí)刻ti時(shí)刻對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角和角速度i，這樣就確定了等效構(gòu)件運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的規(guī)律。§2.5 周期速度波動(dòng)及其調(diào)節(jié)2.5.1機(jī)械的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)及其速度波動(dòng)大多數(shù)機(jī)械的運(yùn)轉(zhuǎn)過程可以分為起動(dòng)、穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)和停車三個(gè)階段，其中起動(dòng)和停車階段常稱為過渡過程。對(duì)于過渡過程的動(dòng)力學(xué)計(jì)算可應(yīng)用上節(jié)介紹的解法解決，這些解法需要預(yù)先確定機(jī)械的初始運(yùn)動(dòng)。過渡過程的初始運(yùn)動(dòng)一般是容易確定的，例如在機(jī)械起動(dòng)時(shí)，初始運(yùn)動(dòng)為t=0，、=0。在機(jī)械的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)期，機(jī)械將出現(xiàn)等速運(yùn)動(dòng)或周期性運(yùn)動(dòng)。這時(shí)等效力矩在一個(gè)周期內(nèi)所做的功等于0，即在一個(gè)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)功等于所有阻力所做的功，但等效力矩并不時(shí)時(shí)等于0，而是時(shí)正時(shí)負(fù)地出現(xiàn)周期性變化。因此，等效構(gòu)件的角速度通常都不為恒值，而是具有一定的周期性波動(dòng)的。穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)期的動(dòng)力學(xué)計(jì)算不能直接應(yīng)用上節(jié)介紹的方法，因?yàn)榇藭r(shí)初始