高等數(shù)學(xué)：第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課

1、1第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí) 題 課教學(xué)要求典型例題2一、教學(xué)要求一、教學(xué)要求1. 理解羅爾理解羅爾(Rolle) 定理和拉格朗日定理和拉格朗日(Lagrange)2. 了解柯西了解柯西(Cauchy)定理和泰勒定理和泰勒(Tayloy)定理定理.3. 理解函數(shù)的極值概念理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)定理定理.的單調(diào)性和求極值的方法的單調(diào)性和求極值的方法.第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課3 5. 會(huì)用洛必達(dá)會(huì)用洛必達(dá)(L,Hospital)法則求不定式的極限法則求不定式的極限. 6. 了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算

2、曲率和了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑曲率半徑. 4. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會(huì)求拐點(diǎn)會(huì)求拐點(diǎn),會(huì)求解最大值和最小值的應(yīng)用問題會(huì)求解最大值和最小值的應(yīng)用問題.會(huì)描繪函數(shù)的圖形會(huì)描繪函數(shù)的圖形(包括水平包括水平,鉛直和斜漸近線鉛直和斜漸近線).第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課4)()(bfaf 1 1. .微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理羅爾定理 0)( f)()()()()()( FfaFbFafbf 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )()()(bfafxxF 10)1()

3、()!1(1 nnxxfn 柯西中值定理柯西中值定理 xxF )( 泰勒中值定理泰勒中值定理 nnxxxfn)(!100)( 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課 ( )f bf afba000( )f xf xfxxx0n 52. 微分中值定理的主要應(yīng)用微分中值定理的主要應(yīng)用(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(3) 證明恒等式或不等式證明恒等式或不等式(4) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論(2) 證明方程根的存在性證明方程根的存在性第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課6利用利用一般解題

4、方法一般解題方法: :證明含一個(gè)中值的等式或根的存在證明含一個(gè)中值的等式或根的存在, ,若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù), ,可考慮用可考慮用若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù), ,若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值, ,3 3. .有關(guān)中值問題的解題方法有關(guān)中值問題的解題方法(1)可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)可用原函數(shù)法找輔助函數(shù). .(2)柯西中值定理柯西中值定理. .中值定理中值定理. .(3)(4)有時(shí)也可考慮有時(shí)也可考慮多考慮用多考慮用泰勒公式泰勒公式, ,逆向思維逆向思維, ,設(shè)設(shè)輔助函數(shù)輔助函數(shù). .多用多用羅爾定

5、理羅爾定理, ,必須必須多次應(yīng)用多次應(yīng)用對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理. .第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課7(1) 研究函數(shù)的性態(tài)研究函數(shù)的性態(tài): :增減增減, ,極值極值, ,凹凸凹凸, ,拐點(diǎn)拐點(diǎn), ,漸近線漸近線, ,曲率曲率(2) 解決最值問題解決最值問題 目標(biāo)函數(shù)的建立目標(biāo)函數(shù)的建立 最值的判別問題最值的判別問題(3)其他應(yīng)用其他應(yīng)用: :求不定式極限求不定式極限; 幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率相關(guān)變化率; 證明不等式證明不等式; 研究方程實(shí)根等研究方程實(shí)根等. .4.4.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定

6、理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課8二、典型例題二、典型例題在在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且,)(Mxf 證明證明在在內(nèi)有界內(nèi)有界. . 證證, ),(0bax 再取異于再取異于0 x的點(diǎn)的點(diǎn), ),(bax 在以在以xx ,0為端點(diǎn)的區(qū)間上用為端點(diǎn)的區(qū)間上用)()()(00 xxfxfxf )(0之間之間與與介于介于xx )()(0abMxf K 定數(shù)定數(shù)對(duì)任意對(duì)任意, ),(bax ,)(Kxf 即證即證. .例例)(xf),(ba取點(diǎn)取點(diǎn)拉氏定理拉氏定理, ,)()()(00 xxfxfxf 00)()(xxfxf 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)

7、題課習(xí)題課( )f x9在在)(xf 1 ,0內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且,0)1( f證明至少存在一點(diǎn)證明至少存在一點(diǎn) )(2)(ff , )1 ,0( 使使上連續(xù)上連續(xù), ,在在)1 ,0(問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù))()(2xfxxF )(xF用用羅爾定理羅爾定理, , )1 ,0( 使使即有即有例例證證上上在在1 , 0 )(2)(ff 分析分析0 )(2xfx x第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課( )2 ( )0ff 2( )2( )0Fff10在在)(xf,ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且,0ba 試證存在試證存在).(2)( fb

8、af ),(,ba 使使上連續(xù)上連續(xù), ,在在),(ba例例欲證欲證,2)()( fbaf f (x)在在 a , b 上用上用故有故有, )()()(abfafbf 即要證即要證.2)()( ff 證證)(ab 22ab ),(ba 又又 f ( x )及及2x在在 a , b 上用上用 22)()(abafbf將將(1)代入代入(2), ,化簡得化簡得故有故有).,(,ba 拉氏定理拉氏定理, ,柯西定理柯西定理, , )(2)( fbaf ),(ba ,2)( f )(xf )(2 x x(1)(2)第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課11例例.)

9、()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使內(nèi)存在不同的內(nèi)存在不同的在在對(duì)任意給定的正數(shù)對(duì)任意給定的正數(shù)試證試證且且內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)證證10 baa 介值定理介值定理,)(baaf ),1 , 0( 存在存在在在)(xf1 , , 0 上分別用上分別用使得使得拉氏定理拉氏定理,),()0()0()( fff ),()1()()1( fff (1)(2), 0( )1 ,( 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課12),()0()0()( fff ),()1()()1(

10、fff 由由(1),有有)()(1bafbbafa )( fbaa 1)( fbab 得得 .)()(bafbfa (1)(2)由由(2),有有), 0( )1 ,( baaf )( .)()(,)1 ,0(,:, 1)1(,0)0(,)1 ,0(,1 ,0)(bafbfabaffxf 使使內(nèi)內(nèi)存存在在不不同同的的在在對(duì)對(duì)任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)試試證證且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課13, sBA兩地間的距離為兩地間的距離為、設(shè)設(shè)地地今有一汽車從今有一汽車從A.,地停下地停下在在經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間開出作直線

11、行駛開出作直線行駛BT在該時(shí)刻汽車加速度在該時(shí)刻汽車加速度時(shí)刻時(shí)刻在行駛過程中必有某一在行駛過程中必有某一,.42Ts的絕對(duì)值不小于的絕對(duì)值不小于提示提示 設(shè)路程函數(shù)為設(shè)路程函數(shù)為),(tss 起始速度為起始速度為0, 即即; 0)0( s終止速度為終止速度為0,即即. 0)( Ts例例證證一階泰勒公式一階泰勒公式 )(ts t 10 21)0(! 2)()0(! 1)0()0( tstss 處展開處展開在在, 0)( tts )(ts22)(! 2)()(! 1)()(TtsTtTsTs Tt 2 )4|(|2Tsa T證明證明:第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

12、 習(xí)題課習(xí)題課14 )(ts t 10 21)0(! 2)()0(! 1)0()0( tstss )(ts22)(! 2)()(! 1)()(TtsTtTsTs Tt 2 2Tt )2(Ts21)2(! 2)()0(Tss )2(Ts22)2(! 2)()(TTsTs 22)2(! 2)()(TsTs (1)(2) 相減相減2122! 2)()()0()(0 TsssTs )()(21232 ssTs 24|Tsa )()(8212 ssTs )1()2( 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課15)()(8212 ssTs 24|Tsa | )(| |,

13、)(|21 ss 記為記為|2 a24|Tsa 所以所以,max 2第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課12|( )|()|ss16例例,)(,)(的兩個(gè)零點(diǎn)之間的兩個(gè)零點(diǎn)之間試證在試證在可導(dǎo)可導(dǎo)若若xfxf一定一定.0)()(的零點(diǎn)的零點(diǎn)有有 xfxf分析分析 構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)F(x),( ) ( )( ),xF xef xfx使則問題轉(zhuǎn)化為則問題轉(zhuǎn)化為)(xF 的零點(diǎn)存在問題的零點(diǎn)存在問題.證證 設(shè)設(shè)),()(xfexFx 設(shè)設(shè), 0)(, 0)(21 xfxf,21xx 羅爾定理羅爾定理),(21xx 使得使得)()()( fefeF 0)

14、()( ffe, 0 e因此必定有因此必定有. 0)()( ff第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課17,0)0( f且在且在),0 上上)(xf 存在存在, ,并并單調(diào)遞減單調(diào)遞減, ,證明對(duì)一切證明對(duì)一切0,0 ba有有)()()(bfafbaf 證證, )()()()(xfafxafx 則則0)0( )()()(xfxafx )0(0 x所以當(dāng)所以當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,)(x 0)0( 令令,bx 得得即所證不等式成立即所證不等式成立. .設(shè)設(shè)例例設(shè)設(shè)第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課 ()( )( )0bf

15、abf af b18例例.)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的次數(shù)為的次數(shù)為分子關(guān)于分子關(guān)于 x 551x)()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx 原式原式.21 51)51(x )1()(21 lim2220 xxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課19例例).0(,11)11ln( xxx證證 法一法一 用單調(diào)性用單調(diào)性設(shè)設(shè)xxxf 11)11ln()(即即xxxxf 11ln)1ln()(由由 2)1(

16、1111)(xxxxf2)1(1xx , 0 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xf證明不等式證明不等式 xxxfxx1111lnlim)(lim0 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課20,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x可知可知, 0)( xf即即).0(,11)11ln( xxx法二法二 用拉格朗日定理用拉格朗日定理).0( ,11)11ln( xxx證明證明設(shè)設(shè),ln)(xxg 1, xx拉格朗日定理拉格朗日定理 xxln)1ln(1 xx ),1(1xx ,111x 由由得得).0(,11)11ln( xxx即即 xxln)1ln(x 11第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

17、用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課21例例 判斷方程判斷方程0|2| xex有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根, 并指出各個(gè)根所在的區(qū)間并指出各個(gè)根所在的區(qū)間.解解 (1)即即,02時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 2 x02 xex設(shè)設(shè), 2)( xexfx, 1)( xexf令令, 0)( xf得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)0 x唯一的駐唯一的駐點(diǎn)點(diǎn)xexf )(又又0 所以所以,0 x是最小值點(diǎn)是最小值點(diǎn),最小值為最小值為, 1)0( f,0 , 2上上在在 , 01)0( f. 0)2(2 ef第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課22,)0 , 2(內(nèi)內(nèi)又在又在 , 0)( xf所以所以,

18、.)0 , 2()(內(nèi)有一實(shí)根內(nèi)有一實(shí)根在在因而因而 xf2lim)(lim xexfxxx 21 limxxxxeexe ,), 0()(內(nèi)有實(shí)根內(nèi)有實(shí)根在在故故xf,), 0(內(nèi)內(nèi)又在又在, 0)( xf,0 , 2)(單減單減在在 xf所以所以,), 0)(單增單增在在xf.), 0()(內(nèi)內(nèi)有有一一實(shí)實(shí)根根在在因因而而 xf(2)自己證自己證!, 2)( xexfx1)( xexf,02時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課23例例1994年考研數(shù)學(xué)二年考研數(shù)學(xué)二, 9分分,11,02僅有一個(gè)解僅有一個(gè)解方程方程時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) xkxx.的取

19、值范圍的取值范圍求求k解解11)(2 xkxxf設(shè)設(shè),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0)( xf)(xf )(lim0 xfx又又且且且且, 0 x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k其圖形必與其圖形必與x軸有一個(gè)交點(diǎn)軸有一個(gè)交點(diǎn).112有唯一的根有唯一的根方程方程 xkx所以所以,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k, 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課32( ),fxkx46( )fxx21lim( )lim11xxf xx lim( )xf x 24第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課得得令令,20kx 3,6)(4xxf

20、, 0)(0 xf所以所以)(xf有極小值有極小值k23k k23221 k3,11,02僅有一個(gè)解僅有一個(gè)解方程方程時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) xkxx.的取值范圍的取值范圍求求k32)(xkxf 11)(2 xkxxf, 0)( xf所以所以, .f令令k23 f1 0 . 392 k,392時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k函數(shù)圖形與函數(shù)圖形與x軸軸相切相切,3920時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k函數(shù)圖形與函數(shù)圖形與x軸無交點(diǎn)或有兩個(gè)交點(diǎn)軸無交點(diǎn)或有兩個(gè)交點(diǎn).,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k又又綜上所述綜上所述,11,02僅有一個(gè)解僅有一個(gè)解方程方程時(shí)時(shí)若若 xkxx. 392 k0 k或或則則25例例.,12并作函數(shù)的圖形并作函數(shù)的圖形漸近線漸近線拐點(diǎn)拐點(diǎn)區(qū)間區(qū)間凹凸凹凸極值極值的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解:定定義義域域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函數(shù)奇函數(shù)y 222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 習(xí)題課習(xí)題課26y 322)1()3(2 xxx, 0 y令令. 0 x得得