2022年[數(shù)學]江蘇初中數(shù)學幾何題目輔助線2

1、三角形中作輔助線的常用方法舉例: 一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1：已知如圖1-1 ：d、e為 abc內(nèi)兩點 , 求證 :abacbd de ce. 證明： （法一）將 de兩邊延長分別交ab 、ac 于 m 、n ，在 amn 中， am an mdde ne;（1）在 bdm 中， mb md bd ；（2）在 cen中， cn nece ；（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得： aman mb md cn ne md de ne bdce ab ac

2、 bdde ec （法二：）如圖 1-2 ， 延長 bd交 ac 于 f，延長 ce交 bf于 g ，在 abf和 gfc和 gde中有： ab af bddg gf （三角形兩邊之和大于第三邊）（1） gf fc ge ce （同上）（2） dg ge de （同上）（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得： ab af gf fc dg ge bd dg gfge ce de ab ac bdde ec 。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如

3、：如圖2-1：已知 d為 abc內(nèi)的任一點，求證：bdc bac 。分析： 因為bdc 與bac 不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使bdc 處于在外角的位置，bac 處于在內(nèi)角的位置；abcdenm11圖abcdefg21圖abcdefg12圖精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -證法一 ：延長 bd交

4、ac于點 e，這時 bdc是 edc的外角， bdc dec ，同理 dec bac ， bdc bac 證法二：連接ad，并延長交bc于 f bdf是 abd的外角 bdf bad ，同理， cdf cad bdf cdf bad cad 即： bdc bac 。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1 ：已知ad為 abc的中線，且1 2, 34, 求證： be cf ef。分析：要證becf ef ，可利用三角形三邊

5、關(guān)系定理證明，須把 be，cf， ef移到同一個三角形中，而由已知12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把en，fn，ef 移到同一個三角形中。證明： 在 da上截取 dn db，連接 ne，nf ，則 dn dc ，在 dbe和 dne中：)()(21)(公共邊已知輔助線的作法ededdbdn dbe dne （sas ）be ne（全等三角形對應邊相等）同理可得： cfnf 在 efn中 en fnef（三角形兩邊之和大于第三邊）be cfef。注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應元素相等。a

6、bcdefn13圖1234精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1 ：ad為 abc的中線，且 1 2， 3 4，求證： be cfef 證明 ：延長 ed至 m ，使 dm=de ，連接cm ，mf 。在 bde 和 cdm 中，)()(1)(輔助線的作法對頂

7、角相等中點的定義mdedcdmcdbdbde cdm （sas ）又1 2， 3 4 （已知）1 2 3 4180（ 平角的定義 ）3 2=90，即 ：edf 90fdm edf 90在 edf和 mdf 中)()()(公共邊已證輔助線的作法dfdffdmedfmdededf mdf （sas ）efmf （全等三角形對應邊相等）在 cmf 中， cf cm mf （三角形兩邊之和大于第三邊）becfef注：上題也可加倍fd，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：

8、如圖5-1 ：ad為 abc 的中線，求證：abac 2ad 。分析：要證abac2ad ，由圖想到：abbd ad,accdad，所以有abac bdcdad ad 2ad ，左邊比要證結(jié)論多bd cd，故不能直接證出此題，而由2ad 想到要構(gòu)造2ad ，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長ad至 e，使 de=ad ，連接 be，則 ae2ad 14圖abcdefm1234精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - -

9、- - - - - - - - - - 第 3 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -ad為abc的中線（已知）bd cd （中線定義）在 acd和ebd中)()()(輔助線的作法對頂角相等已證edadedbadccdbd acd ebd （sas ）beca （全等三角形對應邊相等）在 abe中有： abbeae（三角形兩邊之和大于第三邊）abac 2ad 。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 ：在 abc中， abac ， 1 2，p 為 ad 上任一點。求證：ab acpbpc 。分析：要證：abac pbpc，想到利用三角形三邊

10、關(guān)系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊abac ，故可在 ab 上截取an等于 ac，得 abac bn ， 再連接pn ，則pcpn ，又在pnb 中， pbpn bn ，即： abac pbpc。證明： （截長法）在 ab上截取 an ac連接 pn , 在 apn和 apc中)()(21)(公共邊已知輔助線的作法apapacan apn apc （sas ） pc pn （全等三角形對應邊相等）abcde15圖abcdnmp16圖12精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 49 頁 -

11、 - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -在 bpn中，有 pbpn bn （三角形兩邊之差小于第三邊） bp pc ab ac 證明： （補短法）延長 ac至 m ，使 am ab ，連接 pm ，在 abp和 amp 中)()(21)(公共邊已知輔助線的作法apapamab abp amp （sas ）pbpm （全等三角形對應邊相等）又在 pcm 中有： cm pm pc(三角形兩邊之差小于第三邊) abac pb pc 。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例

12、如：如圖7-1 ：已知 ac bd ，adac于 a ，bc bd于 b，求證： ad bc 分析：欲證ad bc，先證分別含有ad ，bc 的三角形全等，有幾種方案：adc與bcd ， aod 與 boc ， abd 與 bac，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明 ：分別延長da ，cb ，它們的延長交于e點，ad ac bc bd （已知） cae dbe 90 （垂直的定義）在 dbe與 cae中)()()(已知已證公共角acbdcaedbeee dbe cae （ aas ）ed ec ebea （全等三角形對應邊相等）

13、ed ea eceb 即： ad bc 。abcde17圖o精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1 ：ab cd ，ad bc 求證： ab=cd 。分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關(guān)知識，必須

14、把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明 ：連接 ac （或 bd ）ab cd adbc （已知） 1 2， 3 4 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在abc與 cda中)(43)()(21已證公共邊已證caacabc cda （asa ）ab cd （全等三角形對應邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1 ：在 rtabc中， ab ac ， bac 90， 1 2，ce bd的延長于e 。求證： bd 2ce 分析：要證bd 2ce，想到要構(gòu)造線段2ce，同時 ce與abc 的平分線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長ba ，ce交于點 f。be cf （已知） bef

15、bec 90 （垂直的定義）在 bef與 bec中，)()()(21已證公共邊已知becbefbebe19圖dcbaef12abcd18圖1234精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 49 頁 - - - - - - - - - bef bec （asa ） ce=fe=21cf （全等三角形對應邊相等） bac=90 be cf （已知） bac caf 901 bda 90 1

16、bfc 90 bda bfc 在 abd與 acf中)()()(已知已證已證acabbfcbdacafbac abd acf （aas ） bd cf （全等三角形對應邊相等）bd 2ce 十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1 ；ac 、 bd相交于 o點，且 abdc ，ac bd ，求證： a d。分析：要證 ad，可證它們所在的三角形abo 和 dco 全等，而只有abdc 和對頂角兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由abdc，acbd，若連接bc，則abc 和 dcb 全等，所以，證得ad。證明：連接bc，在 abc和 dcb中)()()

17、(公共邊已知已知cbbcdbacdcab abc dcb (sss) a d ( 全等三角形對應邊相等) 十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1 ：ab dc ， a d 求證： abc dcb 。分析：由 abdc，ad ，想到如取ad 的中點 n ，連接 nb ，nc ，再由 sas 公理有abn dcn ，故 bn cn ，abn dcn 。下面只需證 nbc ncb ，再取 bc的中點m ，連接 mn ，則由 sss公理有nbm ncm ，所以 nbc ncb 。問題得證。dcba110圖o精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

18、- 第 7 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -證明：取 ad，bc的中點 n、m ，連接 nb ，nm ， nc 。則 an=dn ，bm=cm ，在 abn和 dcn中)()()(已知已知輔助線的作法dcabdadnan abn dcn （sas ） abn dcn nb nc （全等三角形對應邊、角相等）在 nbm 與 ncm 中)()()(公共邊輔助線的作法已證nmnmcmbmncnb nmb ncm ，(sss) nbc

19、ncb （全等三角形對應角相等） nbc abn ncb dcn 即 abc dcb 。111圖dcbamn精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖1，在 abc中， bd ： dc 1： 3，ae ： ed 2：3，求af ： fc。解：過點 d作 dg/ac ，交 bf于點 g 所以 dg ：fc bd

20、 ：bc 因為 bd ：dc 1：3 所以 bd ：bc 1：4 即 dg ：fc 1：4，fc 4dg 因為 dg ：af de ：ae 又因為 ae ：ed 2：3 所以 dg ：af 3：2 即所以 af ：fc ：4dg 1：6 例 2. 如圖 2，bc cd ，affc ，求 ef：fd 解：過點 c作 cg/de交 ab于點 g ，則有 ef ：gc af：ac 因為 affc 所以 af：ac 1：2 即 ef ：gc 1：2，因為 cg ：de bc ：bd 又因為 bc cd 所以 bc ：bd 1：2 cg：de 1：2 即 de 2gc 因為 fd ed ef所以 ef

21、：fd 小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例， 讓我們感受其中的奧妙！例 3. 如圖 3，bd ：dc 1：3，ae ：eb 2：3，求 af：fd。解：過點 b作 bg/ad，交 ce延長線于點 g 。所以 df ：bg cd ：cb 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 49 頁 - - - -

22、 - - - - -因為 bd ：dc 1：3 所以 cd ：cb 3：4 即 df ：bg 3：4，因為 af：bg ae ：eb 又因為 ae ：eb 2：3 所以 af：bg 2：3 即所以 af：df 例 4. 如圖 4，bd ：dc 1：3，affd，求 ef ：fc。解：過點 d作 dg/ce ，交 ab于點 g 所以 ef：dg af：ad 因為 affd 所以 af ：ad 1：2 圖 4 即 ef ：dg 1：2 因為 dg ：ce bd ：bc ，又因為 bd ：cd 1：3，所以 bd ：bc 1：4 即 dg ：ce 1：4，ce 4dg 因為 fc ce ef所以 e

23、f：fc 1：7 練習：1. 如圖 5，bddc ，ae ：ed 1：5，求 af：fb。2. 如圖 6，ad：db 1：3，ae ：ec 3：1，求 bf：fc。答案： 1、1：10； 2. 9：1 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和

24、概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線

25、，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。注意點輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯

26、。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對稱性；b、角

27、平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下， 出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。 下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖 1-1，aoc= boc ，如取 oe=of ，并連接 de

28、、df ，則有 oed ofd ，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1如圖 1-2，ab/cd，be平分 bcd ，ce平分 bcd ，點 e在 ad上，求證：bc=ab+cd。圖 1-1oabdefc圖1-2adbcef精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -分析：此題中就涉及到角平分線， 可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用

29、解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段bc上截取 bf=ab ，再證明 cf=cd ，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。 此題的證明也可以延長be與 cd的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2已知：如圖 1-3，ab=2ac ，bad= cad ，

30、da=db ，求證 dc ac 分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3已知：如圖 1-4，在 abc中， c=2 b,ad平分 bac ，求證： ab-ac=cd 分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線段的和差倍分問題。 用到的是截取法來證明的， 在長的線段上截取短的線段， 來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習1已知在 abc中，ad平分 bac ，b=2c，求證： ab+bd=ac 2已知：在 abc中，cab=2 b，ae平分 cab交 bc于 e，ab=2ac ，求證： ae=2ce

31、 圖1-3abcde圖1-4abcde精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -3已知：在 abc中，abac,ad 為bac的平分線， m為 ad上任一點。求證： bm-cmab-ac 4已知：d是abc的bac 的外角的平分線 ad上的任一點，連接db 、dc 。求證： bd+cdab+ac。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平

32、分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖 2-1，已知 abad, bac= fac,cd=bc。求證： adc+ b=180 分析：可由 c 向bad的兩邊作垂線。近而證adc與b之和為平角。例2 如圖 2-2，在 abc中， a=90 ，ab=ac ，abd= cbd 。求證： bc=ab+ad 分析：過 d作 de bc于 e，則 ad=de=ce，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3 已知如圖 2-3，abc的角平分線 bm 、cn相交于點 p。求證： bac的平分線也經(jīng)過點p。分析：

33、連接 ap ，證 ap平分 bac即可，也就是證 p到 ab 、ac的距離相等。練習：1如圖 2-4aop= bop=15 ，pc/oa ，pd oa，如果 pc=4 ，則 pd= （）圖 2-1abcdef圖2-2abcde圖2-3pabcmndf圖2-4boapdc精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 49 頁 - - - - - - - - - a 4 b 3 c 2 d

34、1 2已知在 abc 中， c=90 ，ad平分 cab ，cd=1.5,db=2.5. 求 ac 。3已知：如圖 2-5, bac= cad,abad，ce ab ，ae=21（ab+ad ）. 求證： d+ b=180 。4. 已知：如圖 2-6, 在正方形 abcd 中，e為 cd 的中點，f為 bc 上的點， fae= dae 。求證： af=ad+cf。5已知：如圖 2-7，在 rtabc 中， acb=90 ,cdab ，垂足為 d，ae平分 cab交 cd于 f，過 f作 fh/ab 交 bc于 h。求證 cf=bh 。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角

35、平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖 3-1，bad= dac ，abac,cd ad于 d，h是 bc中點。求證： dh=21（ab-ac ）分析：延長 cd交 ab于點 e，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖 3-2，ab=ac ，bac=90 ，ad為abc的平分線， ce be.求證： bd=2ce 。圖2-5abdce圖2-6eabcdf圖2-7fdcbaeh圖示 3-1

36、abcdhe圖3-2dabefc精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例 3已知：如圖 3-3 在abc中，ad 、ae分別 bac的內(nèi)、外角平分線，過頂點 b作 bfad ，交 ad的延長線于 f，連結(jié) fc并延長交 ae于 m 。

37、求證： am=me。分析：由 ad 、ae是bac內(nèi)外角平分線，可得eaaf ，從而有 bf/ae，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖 3-4，在abc中，ad平分 bac ，ad=ab ，cm ad交 ad延長線于 m 。求證： am=21（ab+ac ）分析：題設中給出了角平分線ad ，自然想到以 ad為軸作對稱變換，作 abd關(guān)于 ad的對稱 aed ，然后只需證dm=21ec ，另外由求證的結(jié)果am=21（ab+ac ） ，即 2am=ab+ac，也可嘗試作 acm 關(guān)于 cm 的對稱 fcm ，然后只需證 df=cf即可。練習：1已知：在 abc中，ab=5 ，ac=3 ，

38、d是 bc中點， ae是bac的平分線，且 ce ae于 e，連接 de ，求 de 。2已知 be 、bf分別是 abc的abc的內(nèi)角與外角的平分線，af bf于 f，ae be于 e，連接 ef分別交 ab 、ac于 m 、n ，求證 mn=21bc（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時， 常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1 和圖 4-2 所示。圖3-3dbefnacm圖3-4nebadcmf精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - -

39、- - - - - - 第 16 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -圖4-2圖4-1cabcbafiedhg例 4 如圖，abac, 1=2，求證： ab acbd cd 。例 5 如圖，bcba ，bd平分 abc ，且 ad=cd ，求證： a+c=180 。例 6 如圖，ab cd ，ae 、de分別平分 bad 各ade ，求證： ad=ab+cd。練習：1. 已知，如圖， c=2 a，ac=2bc 。求證： abc 是

40、直角三角形。1 2 a c d b b d c a a b e c d 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -2已知：如圖， ab=2ac ，1=2，da=db ，求證： dc ac 3已知 ce 、ad是abc 的角平分線， b=60，求證： ac=ae+cd 4已知：如圖在 abc 中，a=90 ，ab=ac ，bd是abc的平分線

41、，求證：bc=ab+ad 三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：c a b a b c d a e b d c a b d c 1 2 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條

42、，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式， 通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖 1-1：d、e 為abc 內(nèi)兩點 ,求證:ab+acbd+de+ce. 證明： （法一）將 de兩邊延長分別交 ab 、ac于 m 、n ，在amn 中，am+anmd+de+ne;（

43、1）在bdm 中，mb+mdbd； （2）在cen 中，cn+nece； （3）由（1）+（2）+（3）得：am+an+mb+md+cn+nemd+de+ne+bd+ce ab+acbd+de+ec （法二：圖 1-2）延長 bd交 ac于 f，廷長 ce交 bf于 g ，在abf和gfc 和gde 中有：ab+afbd+dg+gf（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）gf+fcge+ce（同上） （2）dg+gede（同上） （3）由（1）+（2）+（3）得：ab+af+gf+fc+dg+gebd+dg+gf+ge+ce+de ab+acbd+de+ec。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰

44、的內(nèi)abcdenm11圖abcdefg21圖abcdefg12圖精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -角時如直接證不出來時， 可連接兩點或延長某邊， 構(gòu)造三角形， 使求證的大角在某個三角形的外角的位置上， 小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1：已知 d 為abc內(nèi)的任一點，求證：bdcbac。分析： 因為

45、bdc 與bac 不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使bdc 處于在外角的位置， bac 處于在內(nèi)角的位置；證法一 ：延長 bd交 ac于點 e，這時 bdc 是edc 的外角，bdc dec ，同理 dec bac ， bdc bac 證法二 ：連接 ad ，并廷長交 bc于 f，這時 bdf是abd的外角， bdf bad ，同理， cdf cad ， bdf+ cdf bad+ cad ，即： bdc bac 。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時

46、，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知ad為abc的中線，且1=2,3=4,求證： be+cfef 。分析：要證 be+cfef，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把 be，cf，ef 移到同一個三角形中，而由已知 1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把en，fn，ef 移到同個三角形中。證明： 在 dn上截取 dn=db ，連接 ne ，nf ，則 dn=dc，在dbe 和nde中：dn=db （輔助線作法）1=2（已知）ed=ed （公共邊）abcdefn13圖1234精品學習資料 可選擇p d f - - - - - -

47、 - - - - - - - - 第 20 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -dbe nde （sas ）be=ne （全等三角形對應邊相等）同理可得： cf=nf 在efn中 en+fnef（三角形兩邊之和大于第三邊）be+cfef 。注意：當證題有角平分線時， ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質(zhì)得到相等元素。四、 截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在abc中，abac ，1=

48、2，p為 ad上任一點求證：ab-acpb-pc。分析：要證： ab-acpb-pc，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ab-ac ，故可在 ab上截取 an等于 ac ，得 ab-ac=bn ，再連接 pn ，則 pc=pn ，又在 pnb中，pb-pnpb-pc。證明： （截長法）在 ab 上截取 an=ac 連接 pn,在 apn 和 apc 中an=ac （輔助線作法） 1= 2（已知）ap=ap （公共邊） apn apc（sas）, pc=pn （全等三角形對應邊相等）在 bpn 中，有 pb-pnbn （三角形兩邊之差

49、小于第三邊） bp-pcpm-pc( 三角形兩邊之差小于第三邊) ab-acpb-pc 。例 1如圖， ac平分 bad ，ce ab ，且 b+d=180 ，求證： ae=ad+be。例 2 如圖，在四邊形 abcd 中，ac平分 bad ，ce ab于 e，ad+ab=2ae，求證： adc+ b=180 o例 3 已知：如圖，等腰三角形abc中，ab=ac ，a=108 ，bd平分abc 。求證： bc=ab+dc。d a e c b aebcdd c b a 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 49 頁 - - -

50、- - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -例 4 如圖，已知 rtabc中， acb=90 ，ad是cab的平分線， dm ab于 m ，且 am=mb。求證： cd=21db 。1如圖， ab cd ，ae 、de分別平分 bad各ade ，求證： ad=ab+cd。2. 如圖， abc中， bac=90 ，ab=ac ，ae 是過 a 的一條直線，且b，c在 ae的異側(cè)，bd ae于 d，ce ae于 e。求證： bd=de+ce 四 由中點想到的輔助線口訣：三

51、角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中， 如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì) （直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖 1，ad是 abc的中線，則 sabd=sacd=sabc（因為 abd與 acd是等底同高的）。m b d c a e d c b a 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 49 頁 - - - - - - -

52、 - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -例 1如圖 2，abc中，ad是中線，延長 ad到 e，使 de=ad ，df是 dce的中線。已知 abc的面積為 2，求： cdf的面積。解：因為 ad是 abc的中線，所以 sacd=sabc=2=1，又因 cd是 ace的中線，故 scde=sacd=1，因 df是 cde 的中線，所以 scdf=scde=1=。cdf 的面積為。（二）、由中點應想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 abcd 中，ab=cd ，e、f分

53、別是 bc 、ad的中點， ba 、cd的延長線分別交 ef的延長線 g 、h 。求證： bge= che 。證明：連結(jié) bd ，并取 bd的中點為 m ，連結(jié) me 、mf ，me是 bcd 的中位線，mecd ， mef= che ，mf是 abd 的中位線，mfab ， mfe= bge ，ab=cd ，me=mf， mef= mfe ，從而 bge= che 。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

54、 - - 第 24 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -（三）、由中線應想到延長中線例 3圖 4，已知 abc中，ab=5 ，ac=3 ，連 bc上的中線 ad=2 ，求 bc的長。解：延長 ad到 e，使 de=ad ，則 ae=2ad=2 2=4。在 acd 和 ebd中，ad=ed ，adc= edb ，cd=bd ，acd ebd ，ac=be ，從而 be=ac=3 。在 abe中，因 ae2+be2=42+32=25=ab2，故e=90 ，bd=，故 bc=2bd=2。例 4如圖 5，已知 abc中，ad是bac的平分線， ad又是 bc邊上的中線。求證： abc

55、是等腰三角形。證明：延長 ad到 e，使 de=ad 。仿例 3 可證：bed cad ，故 eb=ac ，e=2，又1=2，1=e，ab=eb ，從而 ab=ac ，即 abc是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖 6，已知梯形 abcd 中，ab/dc，ac bc ，ad bd ，求證：ac=bd 。證明：取 ab的中點 e，連結(jié) de 、ce ，則 de 、ce分別為 rtabd ，rtabc斜邊 ab上的中線，故 de=ce= ab ，因此 cde= dce 。ab/dc，cde= 1，dce= 2，1=2，在 ade和 bce中，精品學習資料 可選擇p d f -

56、- - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -de=ce ，1=2，ae=be ，ade bce ，ad=bc ，從而梯形 abcd 是等腰梯形，因此ac=bd 。（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例 6如圖 7，abc是等腰直角三角形， bac=90 ， bd平分 abc交 ac于點 d，ce垂直于 bd ，交 bd的延長線于點 e。求證： bd=2ce 。證

57、明：延長 ba ，ce交于點 f，在 bef和 bec 中，1=2，be=be ，bef= bec=90 ，bef bec ，ef=ec ，從而 cf=2ce 。又1+f=3+f=90，故 1=3。在 abd和 acf中， 1=3，ab=ac ，bad= caf=90，abd acf ，bd=cf ，bd=2ce 。注：此例中 be是等腰 bcf的底邊 cf的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段 ，再將端點連結(jié)， 便可得到全等三角形。例一：如圖 4-1：ad為abc的中線，且 1=2，3=4，求證： be+cfef。證明：廷長

58、 ed至 m ，使 dm=de，連接 cm ，mf 。在bde 和cdm 中，bd=cd （中點定義）1=5（對頂角相等）ed=md（輔助線作法）bde cdm （sas ）又1=2，3=4（已知）14圖abcdefm1234精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -1+2+3+4=180（平角的定義 ）3+2=90即：edf=90 fdm

59、= edf=90 在edf和mdf 中ed=md（輔助線作法）edf= fdm （已證）df=df （公共邊）edf mdf （sas ）ef=mf （全等三角形對應邊相等）在cmf 中，cf+cmmf（三角形兩邊之和大于第三邊）be+cfef上題也可加倍 fd ，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段， 構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖 5-1：ad為abc的中線，求證： ab+ac2ad。分析：要證 ab+ac2ad，由圖想到： ab+bdad,ac+cdad，所以有 ab+ac+bd+cdad+ad=2ad，左邊比要證結(jié)論多bd+cd ，

60、故不能直接證出此題，而由2ad想到要構(gòu)造 2ad ，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長 ad至 e，使 de=ad ，連接 be ，ce ad為abc的中線（已知）bd=cd （中線定義）在acd 和ebd中bd=cd （已證）1=2（對頂角相等）ad=ed （輔助線作法）acd ebd （sas ）be=ca （全等三角形對應邊相等）在 abe中有： ab+beae（三角形兩邊之和大于第三邊）abcde15圖精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 49 頁 - - - - - - - - -精品學習資料