專題五幾何中中點(diǎn)的妙用

1、專題五中點(diǎn)的妙用聯(lián)想是一種非常重要的數(shù)學(xué)品質(zhì)。善于聯(lián)想，才能更好的尋求解決問題的方法。同學(xué)們當(dāng)你遇到中點(diǎn)時(shí)，你會(huì)產(chǎn)生哪些聯(lián)想呢？學(xué)習(xí)完這個(gè)專題后，能給你帶來一定的啟示。看到中點(diǎn)該想到什么？1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)；2、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”；4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）；5、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線；6、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）；7、倍長中線8、圓中遇到弦的中點(diǎn)，

2、常聯(lián)想“垂徑定理”一、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)1、如圖 1 所示，在 ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6，點(diǎn) M為 BC 中點(diǎn)， MN AC 于點(diǎn) N，則 MN 等于（）691216A BCD 5555二、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想 “斜邊上的中線，等于斜邊的一半”A2、如圖，在 ABC 中， A=90 ° ,AC=AB,M、N 分別在 AC 、MAB 上。且 AN=BM ，O 為斜邊 BC 的中點(diǎn)，試判斷OMN 的形狀，并說明理由 .NBOC3、如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2, 將長為2 的線段 QF 的兩端放在正方形相鄰的兩邊上

3、同時(shí)滑動(dòng)如果點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿圖中所示方向按AB C DA滑動(dòng)到點(diǎn) A 為止，同時(shí)點(diǎn) F 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿圖中所示方向按BC DAB 滑動(dòng)到點(diǎn) B 為止，那么在這個(gè)過程中，線段QF 的中點(diǎn) M 所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為（）ADA. 2B.4C.D.1QMBFC第 8題圖精品文庫三、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”D4、（直接找線段的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理）A如圖，已知四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，且 AC=BD ，EFNM 、N 分別是 AB 、CD 的中點(diǎn)， MN 分別交 BD 、AC 于點(diǎn) E、F.你能說出MOE 與 OF 的大

4、小關(guān)系并加以證明嗎？B圖2-1C5、（利用等腰三角形的三線合一找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理）如圖所示，在三角形 ABC 中， AD 是三角形 ABC BAC 的角平分線， BD AD ，點(diǎn) D 是垂足，點(diǎn) E 是邊 BC 的中點(diǎn)，如果 AB=6,AC=14 ，求 DE 的長6、（利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理）如圖所示， AB CD ， BCAD，DE BE ， DF=EF ，甲從 B 出發(fā)，沿著 BA 、 AD 、 DF 的方向運(yùn)動(dòng)，乙B 出發(fā)，沿著BC 、CE、EF 的方向運(yùn)動(dòng)， 如果兩人的速度是相同的，且同時(shí)從 B 出發(fā)，則誰先到達(dá)F 點(diǎn)？7、（綜合使用斜邊中線及中位線性質(zhì)，

5、證明相等關(guān)系問題）DC如圖，等腰梯形ABCD 中， CD AB ，對(duì)角線 AC 、 BD相交于點(diǎn)O，ACD 60 ，點(diǎn) S、 P、Q 分別是 DO、 AO 、 BC 的中點(diǎn) .S求證： SPQ 是等邊三角形。OQPA圖6-1B四、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，AD常聯(lián)想“八字型”全等三角形）8、如圖：梯形ABCD中， A=90° ,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3,E 為 AB 中點(diǎn)，求證： DE ECEBC歡迎下載2精品文庫9、如圖甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（ CG BC）中，點(diǎn)B、 C、 G 在同一直線上，M 是AE 的中點(diǎn)，（

6、 1）探究線段MD 、 MF 的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；（ 2）將圖甲中的正方形CGEF 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF 的對(duì)角線CE 恰好與正方形ABCD的邊 BC 在同一條直線上， 原問題中的其他條件不變。 （ 1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明FEFDAADMMBCEBCG圖甲圖乙GA五、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線1BDC10、如圖所示，在 ABC 中，AD 是 BC 邊上中線， C=2 B.AC= 2 BC。求證： ADC 為等邊三角形。六、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）11、（1）探索：已知ABC 的面積為 a ，如圖 1，延長ABC

7、 的邊 BC 到點(diǎn) D ，使 CD=BC ，連接 DA ，若ACD 的面積為 S1 ，則 S1 =（用含 a 的代數(shù)式表示）如圖 2，延長ABC 的邊 BC 到點(diǎn) D，延長邊 CA 到點(diǎn) E，使 CD=BC ，AE=CA ，連接 DE，若DEC 的面積為 S2 ，則 S2 =（用含 a 的代數(shù)式表示）在圖 2 的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn) F, 使 BF=AB,連接 FD，F(xiàn)E, 得到DEF（如圖 3），若陰影部分的面積為S3 ， S3 =（用含 a 的代數(shù)式表示）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC 各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到DEF （如圖 4），此時(shí)，我們稱ABC 向外擴(kuò)展了一次。 可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)

8、展一次后得到的DEF 的面積是原來ABC 面積的倍應(yīng)用：如圖5，若 ABC面積為 1，第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點(diǎn) A1，B1，C1，使得 A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，順次連結(jié)A1，B1， C1，得到 A1B1C1.第二次操作：分別延長A1B1， B1C1， C1A1 至點(diǎn) A2，B2， C2，使 A2B1= A1 B1， B2C1= B 1C1， C2A1= C1A1，順次連結(jié)A2，B2， C2，得到 A2B2C2，第三次操作 ，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2010，最少 要經(jīng)過次操作 .歡迎下載3精品文庫12、如圖所示，已知梯形ABCD ， AD BC，

9、點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，連接AE 、 BE，求證： SABE =1。S 四邊形 ABCD213、如圖， M 是ABCD 中 AB 邊的中點(diǎn)。 CM 交 BD 于點(diǎn) E, 則圖DC中陰影部分面積與ABCD 面積之比為EAMB14、如圖所示，點(diǎn)E、 F 分別是矩形ABCD的邊 AB、 BC 的中點(diǎn)，連S四邊形 AGCD等于： A、5B 、4C 、3AF、CE交于點(diǎn) G，則D 、S矩形 ABCD65423七、倍長中線15、如圖， ABC中， D為 BC中點(diǎn)， AB=5， AD=6， AC=13。求證： AB AD16、如圖，點(diǎn)D、 E 三等分 ABC的 BC邊，求證： AB+AC>AD+AE

10、17、如圖， D 為線段 AB 的中點(diǎn)，在 AB 上取異于D 的點(diǎn) C，分別以 AC 、 BC 為斜邊在 AB 同側(cè)作等腰直角三角形ACE 與 BCF，連結(jié) DE、 DF 、EF，求證： DEF 為等腰直角三角形。八、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理”18、半徑是5 cm 的圓中，圓心到8 cm 長的弦的距離是_19、半徑為 5cm 的圓 O 中有一點(diǎn) P， OP=4，則過 P 的最短弦長 _，歡迎下載4精品文庫最長弦是 _，20、如圖，在圓 O 中，AB 、AC 為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB ，OE AC ，垂足分別為D 、E，若 AC=2cm ，則圓 O 的半徑為 _cm 。AOC

11、BD21、如圖，在 O中，直徑AB和弦 CD的長分別為10 cm 和 8 cm ，則 A、B 兩點(diǎn)到直線CD的距離之和是 _.22、如圖， O的直徑 AB和弦 CD相交于 E，若 AE2cm， BE 6cm， CEA 300，求： CD的長；23、某市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、 B、C 三根木柱，使得 A、B 之間的距離與A、C 之間的距離相等，并測得BC長為 240 米， A 到 BC的距離為5 米，如圖5 所示。請你幫他們求出滴水湖的半徑。BCA歡迎下載5精品文庫倍長中線：1（ 2011 平谷二模） 24. 已知：如圖，正方形ABCD 中， E 為對(duì)角線BD 上一點(diǎn)，過 E 點(diǎn)作 EFBD 交 BC 于 F，連接 DF，G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG，CG（ 1）求證： EG=CG；（ 2）將圖中 BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，如圖所示，取DF 中點(diǎn) G，連接 EG， CG問（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由（ 3）將圖中 BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）2（ 2011 朝陽一模） 25已知： ABC